Kvadratsumman fungerar

I talteorin är kvadratsummans funktion en aritmetisk funktion som ger antalet representationer för ett givet positivt heltal $n$ som summan av $k$ kvadrater , där representationer som skiljer sig endast i ordningen på summan eller i talens tecken som kvadrerats räknas som olika och betecknas med $r k (n)$ .

Definition

Funktionen definieras som

r_{k}(n)=|\{(a_{1},a_{2},\ldots,a_{k})\in \mathbb {Z} ^{k}\ :\ n=a_ {1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\}|

var $|\,\ |$ anger kardinaliteten av en mängd . Med andra ord, $r k (n)$ är antalet sätt $n$ kan skrivas som summan av $k$ kvadrater.

Till exempel, $r_{2}(1)=4$ eftersom $1=0^{2 }+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}$ där varje summa har två teckenkombinationer, och även $r_{ 2}(2)=4$ eftersom $2=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}$ med fyrtecken kombinationer. Å andra sidan, $r_{2}(3)=0$ eftersom det inte finns något sätt att representera 3 som summan av två kvadrater.

Formler

k = 2

Antalet sätt att skriva ett naturligt tal som summan av två kvadrater ges av $r 2 (n)$ . Det ges uttryckligen av

r_{2}(n)=4(d_{1}(n)-d_{3}(n))

där $d 1 (n)$ är antalet divisorer av $n$ som är kongruenta med 1 modulo 4 och $d 3 (n)$ är antalet divisorer av $n$ som är kongruenta med 3 modulo 4. Med hjälp av summor kan uttrycket skrivas som :

r_{2}(n)=4\summa _{d\mid n \atop d\,\equiv \,1,3{\pmod {4}}}(-1)^{(d-1)/2}

Primfaktoriseringen $}p_{1}^{f_{1}}p_{2} ^{f_{2}}\cdots q_{1}^{h_{1}}q_{2}^{h_{2}}\cdots } , där$ 2 p $\displaystyle p_{i}}$ är primtalsfaktorerna av formen $p_{i}\equiv 1{\pmod {4}},$ och $q_{i}$ är primtalsfaktorerna för formen $q_{i}\equiv 3{\pmod {4}}$ ger en annan formel

r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots

, om alla exponenter

h_{1},h_{2},\cdots

är jämna . Om en eller flera

h_{i}

är udda , då är

r_{2}(n)=0

.

k = 3

Gauss bevisade att för ett kvadratfritt tal $n > 4$ ,

\displaystyle r_{3}(n )={\begin{cases}24h(-n),&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {8}},\\0&{\text{if }}n\equiv 7{\ pmod {8}},\\12h(-4n)&{\text{annars}},\end{cases}}}

där $h (m)$ anger klassnumret för ett heltal $m$ .

Det finns utökningar av Gauss formel till godtyckligt heltal $n$ .

k = 4

Antalet sätt att representera $n$ som summan av fyra kvadrater berodde på Carl Gustav Jakob Jacobi och det är åtta gånger summan av alla dess divisorer som inte är delbara med 4, dvs.

r_{4}(n)=8\sum _{d\,\mid \,n,\ 4\,\nmid \,d}d.

Representerar $n = 2 k m$ , där m är ett udda heltal, kan man uttrycka $r_{4}(n)$ i termer av divisorfunktionen enligt följande:

r_{4}(n)=8\sigma (2^{\min\{k,1\}}m).

k = 6

Antalet sätt att representera $n$ som summan av sex kvadrater ges av

r_{6}(n)=4\summa _{d\mid n }d^{2}{\big (}4\left({\tfrac {-4}{n/d}}\right)-\left({\tfrac {-4}{d}}\right){ \big )},

där $\left({\tfrac {\cdot }{\cdot }}\right)$ är Kronecker-symbolen .

k = 8

Jacobi hittade också en explicit formel för fallet $k = 8$ :

r_{8}(n)=16\sum _{d\,\mid \,n}(-1)^{n+d}d^{3}.

Genererande funktion

Genereringsfunktionen för sekvensen $r_{k}(n)$ för fast $k$ kan uttryckas i termer av Jacobi theta- funktionen :

\vartheta (0;q)^{k}=\vartheta _{3}^{k }(q)=\summa _{n=0}^{\infty }r_{k}(n)q^{n},

var

\vartheta (0;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}=1+2q+2q^{4}+2q^{9 }+2q^{16}+\cdots .

Numeriska värden

De första 30 värdena för $r_{k}(n),\;k=1,\dots ,8$ listas i tabellen nedan:

n	=	r ₁ ( n )	r ₂ ( n )	r ₃ ( n )	r ₄ ( n )	r ₅ ( n )	r ₆ ( n )	r ₇ ( n )	r ₈ ( n )
0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	2	4	6	8	10	12	14	16
2	2	0	4	12	24	40	60	84	112
3	3	0	0	8	32	80	160	280	448
4	2 ²	2	4	6	24	90	252	574	1136
5	5	0	8	24	48	112	312	840	2016
6	2×3	0	0	24	96	240	544	1288	3136
7	7	0	0	0	64	320	960	2368	5504
8	2 ³	0	4	12	24	200	1020	3444	9328
9	3 ²	2	4	30	104	250	876	3542	12112
10	2×5	0	8	24	144	560	1560	4424	14112
11	11	0	0	24	96	560	2400	7560	21312
12	2 ² × 3	0	0	8	96	400	2080	9240	31808
13	13	0	8	24	112	560	2040	8456	35168
14	2×7	0	0	48	192	800	3264	11088	38528
15	3×5	0	0	0	192	960	4160	16576	56448
16	2 ⁴	2	4	6	24	730	4092	18494	74864
17	17	0	8	48	144	480	3480	17808	78624
18	2×3 ²	0	4	36	312	1240	4380	19740	84784
19	19	0	0	24	160	1520	7200	27720	109760
20	2 ² × 5	0	8	24	144	752	6552	34440	143136
21	3×7	0	0	48	256	1120	4608	29456	154112
22	2×11	0	0	24	288	1840	8160	31304	149184
23	23	0	0	0	192	1600	10560	49728	194688
24	2 ³ × 3	0	0	24	96	1200	8224	52808	261184
25	5 ²	2	12	30	248	1210	7812	43414	252016
26	2×13	0	8	72	336	2000	10200	52248	246176
27	3 ³	0	0	32	320	2240	13120	68320	327040
28	2 ² × 7	0	0	0	192	1600	12480	74048	390784
29	29	0	8	72	240	1680	10104	68376	390240
30	2×3×5	0	0	48	576	2720	14144	71120	395136

Se även

externa länkar

Weisstein, Eric W. "Sum of Squares Function" . MathWorld .
Sloane, N.J.A. (red.). "Sekvens A122141 (antal sätt att skriva n som summan av d kvadrater)" . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . Stiftelsen OEIS.
Sloane, N.J.A. (red.). "Sekvens A004018 (Theta-serien av kvadratiska gitter, r_2(n))" . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . Stiftelsen OEIS.