Asymptotisk analys

Inom matematisk analys är asymptotisk analys , även känd som asymptotik , en metod för att beskriva begränsande beteende.

Som en illustration, anta att vi är intresserade av egenskaperna hos en funktion $f (n)$ eftersom $n$ blir mycket stort. Om $f (n) = n 2 + 3 n$ , då $n$ blir mycket stort, blir termen $3 n$ obetydlig jämfört med $n 2$ . Funktionen $f (n)$ sägs vara " asymptotiskt ekvivalent med $n 2$ , som $n \to \infty$ ". Detta skrivs ofta symboliskt som $f (n) ~ n 2$ , vilket läses som " $f (n)$ är asymptotiskt till $n 2$ ".

Ett exempel på ett viktigt asymptotiskt resultat är primtalssatsen . Låt $π(x)$ beteckna primräkningsfunktionen (som inte är direkt relaterad till konstanten pi ), dvs $π(x)$ är antalet primtal som är mindre än eller lika med $x$ . Sedan säger satsen det

\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.

Asymptotisk analys används ofta inom datavetenskap som en del av analysen av algoritmer och uttrycks där ofta i termer av stor O-notation .

Definition

Formellt, givna funktioner $f (x)$ och $g (x)$ , definierar vi en binär relation

f(x)\sim g(x)\quad ({\text{som }}x\to \infty )

om och bara om ( de Bruijn 1981 , §1.4)

\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.

Symbolen $~$ är tilden . Relationen är en ekvivalensrelation på mängden funktioner av $x$ ; funktionerna $f$ och $g$ sägs vara asymptotiskt ekvivalenta . Domänen för $f$ och $g$ kan vara vilken uppsättning som helst för vilken gränsen är definierad: t.ex. reella tal, komplexa tal, positiva heltal .

Samma notation används även för andra sätt att övergå till en gräns: t.ex. $x \to 0$ , $x ↓ 0$ , $| x | \to 0$ . Sättet att passera till gränsen anges ofta inte explicit, om det framgår av sammanhanget.

Även om ovanstående definition är vanlig i litteraturen är det problematiskt om $g (x)$ är noll oändligt ofta då $x$ går till gränsvärdet. Av den anledningen använder vissa författare en alternativ definition. Den alternativa definitionen, i little-o notation , är att $f ~ g$ om och endast om

f(x)=g(x)(1+o(1)).

Denna definition är ekvivalent med den tidigare definitionen om $g (x)$ inte är noll i någon omgivning av gränsvärdet.

Egenskaper

Om $f(x)\sim g(x)$ och $a(x)\sim b(x)$ , som $x\to \infty$ , sedan håller följande:

$f^{r}\sim g^{r}$ , för varje riktig $r$
$\log(f)\sim \log(g)$ if $\lim g\neq 1$
$f\times a\sim g\times b$
$f/a\sim g/b$

Sådana egenskaper tillåter asymptotiskt ekvivalenta funktioner att fritt utbytas i många algebraiska uttryck.

Observera att dessa egenskaper endast är korrekta om och endast om $x$ tenderar till oändlighet (med andra ord, dessa egenskaper tillämpas endast för ett tillräckligt stort värde av $x$ ). Om $x$ inte tenderar till oändlighet, utan istället till några godtyckliga ändliga konstanter $c$ , då följer följande gräns från ovanstående definition:

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}} ≠$ 1 , för någon konstant ${\ displaystil c}$

Liknande:

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {a(x)}{b(x)}}} ≠ 1 ,$ för någon konstant ${\ displaystil c}$

Således är dessa respektive funktioner inte längre asymptotiskt ekvivalenta och kan inte tillämpas ovanför egenskaperna.

Ett enkelt exempel på detta, låt $f(x)={x^{3}}+2x$ och $g(x) ={x^{3}}$ , vi kan se att:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {{x^{3}}+2x}{x^{3}}}=1$

Dock:

$\lim _{x\to 0,5}{\frac {{x^{3}}+2x}{x^{3}}}=9$

Därför är $f(x)$ och $g(x)$ inte asymptotiskt ekvivalenta som $x\to 0,5$ .

Exempel på asymptotiska formler

Faktoriell $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$ – det här är Stirlings uppskattning
Partitionsfunktion För ett positivt heltal n anger partitionsfunktionen, p ( n ), antalet sätt att skriva heltal n som en summa av positiva heltal, där ordningen av tillägg inte beaktas. $p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\ frac {2n}{3}}}}$
Luftig funktion Luftfunktionen, Ai( x ), är en lösning av differentialekvationen $y″ - xy = 0$ ; den har många tillämpningar inom fysik. $\operatorname {Ai} (x)\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}} x^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}$
Hankel funktioner ${\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z- {\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{ \pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\end{aligned}}$

Asymptotisk expansion

En asymptotisk expansion av ett ändligt fält $f (x)$ är i praktiken ett uttryck för den funktionen i termer av en serie , vars partiella summor inte nödvändigtvis konvergerar, men sådana att ta en initial delsumma ger en asymptotisk formel för $f$ . Tanken är att successiva termer ger en allt mer exakt beskrivning av tillväxtordningen för $f$ .

I symboler betyder det att vi har $f\sim g_{1},$ men också $f-g_{1}\sim g_{2}$ och $f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}$ för varje fast k . Med tanke på definitionen av $\sim$ betyder den sista ekvationen $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})$ i den lilla o-notationen , dvs $f-(g_{1}+\cdots +g_{ k})$ är mycket mindre än $g_{k}.$

Relationen $f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}$ får sin fulla betydelse om $g_{k+1}=o(g_{k})$ för alla k , vilket betyder att $g_{k}$ bildar en asymptotisk skala . I så fall kan vissa författare felaktigt skriva $f\sim g_{1}+\cdots +g_{k}$ för att beteckna påståendet ${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k}).} Man bör$ dock vara försiktig så att detta inte är en standardanvändning av $\sim$ symbol, och att den inte motsvarar definitionen i § Definition .

I den aktuella situationen följer faktiskt denna relation $g_{k}=o(g_{k-1})$ från att kombinera stegen k och k −1; genom att subtrahera $f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}=g_{k- 1}+o(g_{k-1})$ från ${\displaystyle f-g_{1}- \cdots -g_{k-2}-g_{k-1}=g_{k}+o(g_{k}),} man$ får $g_{k}+o(g_{k})=o(g_{k-1}),$ dvs $g_{k}=o(g_{k-1}).$

Om den asymptotiska expansionen inte konvergerar, för ett visst värde av argumentet kommer det att finnas en viss delsumma som ger den bästa approximationen och att lägga till ytterligare termer kommer att minska noggrannheten. Denna optimala delsumma kommer vanligtvis att ha fler termer när argumentet närmar sig gränsvärdet.

Exempel på asymptotiska expansioner

Gamma funktion ${\frac {e^{x}}{ x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2 }}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )$
Exponentiell integral $xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n !}{x^{n}}}\ (x\till \infty )$
Felfunktion ${\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}\operatörsnamn {erfc} (x)\sim 1+\summa _{n=1 }^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{n!(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )$ var $m!!$ är dubbelfaktorial .

Arbetat exempel

Asymptotiska expansioner uppstår ofta när en vanlig serie används i ett formellt uttryck som tvingar tagandet av värden utanför dess konvergensdomän. Vi kan till exempel börja med den vanliga serien

{\frac {1}{1-w}}=\summa _{n=0}^{\infty }w^{n}

Uttrycket till vänster är giltigt på hela det komplexa planet $w\neq 1$ , medan den högra sidan endast konvergerar för $|w|<1$ . Multiplicera med $e^{-w/t}$ och integrera båda sidor ger avkastning

\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{ -{\frac {w}{t}}}}{1-w}}\,dw=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n+1}\int _{0}^ {\infty }e^{-u}u^{n}\,du

Integralen på vänster sida kan uttryckas i termer av exponentialintegralen . Integralen på höger sida, efter substitutionen $u=w/t$ , kan kännas igen som gammafunktionen . Genom att utvärdera båda får man den asymptotiska expansionen

e^{-{\frac {1}{t}}}\operatörsnamn {Ei} \left({\frac {1}{t}}\right)=\summa _{n= 0}^{\infty }n!\;t^{n+1}

Här är den högra sidan uppenbarligen inte konvergent för något värde som inte är noll på t . Men genom att hålla t liten och trunkera serien till höger till ett ändligt antal termer kan man få en ganska bra approximation av värdet av $\operatorname {Ei} (1/ t)$ . Ersätter $x=-1/t$ och noterar att $\operatorname {Ei} (x)=-E_{1} (-x)$ resulterar i den asymptotiska expansionen som ges tidigare i den här artikeln.

Asymptotisk fördelning

I matematisk statistik är en asymptotisk fördelning en hypotetisk fördelning som på sätt och vis är den "begränsande" fördelningen av en sekvens av distributioner. En fördelning är en ordnad uppsättning slumpvariabler $Z i$ för $i = 1, \dots, n$ , för något positivt heltal $n$ . En asymptotisk fördelning tillåter $i$ att variera utan bunden, det vill säga $n$ är oändlig.

Ett specialfall av en asymptotisk fördelning är när de sena posterna går till noll – det vill säga Z $i går$ till 0 när $i$ går till oändligheten. Vissa fall av "asymptotisk fördelning" hänvisar endast till detta specialfall.

Detta är baserat på föreställningen om en asymptotisk funktion som rent närmar sig ett konstant värde ( asymptoten ) när den oberoende variabeln går till oändligheten; "ren" i denna mening betyder att för varje önskad närhet epsilon finns det något värde på den oberoende variabeln varefter funktionen aldrig skiljer sig från konstanten med mer än epsilon.

En asymptot är en rät linje som en kurva närmar sig men aldrig möter eller korsar. Informellt kan man tala om att kurvan möter asymptoten "i oändligheten", även om detta inte är en exakt definition. I ekvationen ${\displaystyle y={\frac {1}{x}},} blir$ y godtyckligt liten i storlek när x ökar.

Ansökningar

Asymptotisk analys används inom flera matematiska vetenskaper . Inom statistik ger asymptotisk teori begränsande approximationer av sannolikhetsfördelningen av urvalsstatistik , såsom sannolikhetsförhållandestatistiken och det förväntade värdet av avvikelsen . Asymptotisk teori tillhandahåller dock ingen metod för att utvärdera de finita urvalsfördelningarna av provstatistik. Icke-asymptotiska gränser tillhandahålls av metoder för approximationsteori .

Exempel på tillämpningar är följande.

I tillämpad matematik används asymptotisk analys för att bygga numeriska metoder för att approximera ekvationslösningar .
Inom matematisk statistik och sannolikhetsteori används asymptotik i analys av långtids- eller stort urvalsbeteende hos slumpvariabler och estimatorer.
Inom datavetenskap i analys av algoritmer , med tanke på prestanda av algoritmer.
Fysiska systems beteende , ett exempel är statistisk mekanik .
I olycksanalys vid identifiering av orsaken till krasch-through-count-modellering med ett stort antal kraschräkningar i en given tid och rum.

Asymptotisk analys är ett nyckelverktyg för att utforska de ordinarie och partiella differentialekvationerna som uppstår i den matematiska modelleringen av verkliga fenomen. Ett illustrativt exempel är härledningen av gränsskiktsekvationerna från de fullständiga Navier-Stokes-ekvationerna som styr vätskeflödet. I många fall beror den asymptotiska expansionen på en liten parameter, $ε$ : i gränsskiktsfallet är detta det icke-dimensionella förhållandet mellan gränsskiktets tjocklek och en typisk längdskala för problemet. Faktum är att tillämpningar av asymptotisk analys i matematisk modellering ofta kretsar kring en icke-dimensionell parameter som har visat sig, eller antagits, vara liten genom att ta hänsyn till problemets skalor.

Asymptotiska expansioner uppstår vanligtvis i approximationen av vissa integraler ( Laplaces metod , sadelpunktsmetod , metod för brantaste nedstigning ) eller i approximationen av sannolikhetsfördelningar ( Edgeworth-serien ). Feynman -graferna i kvantfältteorin är ett annat exempel på asymptotiska expansioner som ofta inte konvergerar.