Kakeya set

Nålen visas roterande inuti en deltoid . I varje skede av dess rotation (förutom när en ändpunkt är vid en cusp av deltoideus), är nålen i kontakt med deltoideus vid tre punkter: två ändpunkter (blå) och en tangentpunkt (svart). Nålens mittpunkt (röd) beskriver en cirkel med diameter lika med halva nålens längd.

I matematik är en Kakeya-uppsättning , eller Besicovitch-uppsättning , en uppsättning punkter i det euklidiska rummet som innehåller ett enhetslinjesegment i varje riktning. Till exempel bildar en skiva med radie 1/2 i det euklidiska planet , eller en boll med radie 1/2 i tredimensionellt utrymme, en Kakeya-uppsättning. Mycket av forskningen inom detta område har studerat problemet med hur små sådana uppsättningar kan vara. Besicovitch visade att det finns Besicovitch-uppsättningar av måtten noll .

Ett Kakeya-nålset (ibland även känt som ett Kakeya-set) är ett (Besicovitch) set i planet med en starkare egenskap, att ett enhetslinjesegment kan roteras kontinuerligt 180 grader inom det, och återgå till sin ursprungliga position med omvänd orientering . Återigen är skivan med radie 1/2 ett exempel på en Kakeya-nålsats.

Kakeya nål problem

Kakeya -nålproblemet frågar om det finns en minimiarea av ett område $D$ i planet, i vilket en nål med enhetslängd kan vridas 360°. Denna fråga ställdes först, för konvexa regioner, av Sōichi Kakeya ( 1917 ) . Minimiarean för konvexa uppsättningar uppnås med en liksidig triangel med höjd 1 och area 1/ √ 3 , som Pál visade.

Kakeya verkar ha föreslagit att Kakeya-uppsättningen $D$ med minimiarea, utan konvexitetsbegränsningen, skulle vara en treuddig deltoidform . Detta är dock falskt; det finns mindre icke-konvexa Kakeya-set.

Besicovitch nåluppsättningar

En "groddande" metod för att konstruera en Kakeya-uppsättning av små mått. Här visas två möjliga sätt att dela vår triangel och överlappa bitarna för att få en mindre uppsättning, det första om vi bara använder två trianglar och det andra om vi använder åtta. Lägg märke till hur små storlekarna på de slutliga figurerna är i jämförelse med den ursprungliga startfiguren.

Besicovitch kunde visa att det inte finns någon nedre gräns > 0 för arean av en sådan region ${\displaystyle D} ,$ där en nål med enhetslängd kan vändas runt. Det vill säga, för varje $\varepsilon >0$ finns det område med area $\varepsilon$ inom vilket nålen kan röra sig genom en kontinuerlig rörelse som roterar den hela 360 grader. Detta byggde på hans tidigare arbete, på plana uppsättningar som innehåller ett enhetssegment i varje orientering. En sådan uppsättning kallas nu en Besicovitch-uppsättning . Besicovitchs arbete som visar att en sådan uppsättning kunde ha en godtyckligt liten måttstock var från 1919. Problemet kan ha övervägts av analytiker innan dess.

En metod för att konstruera en Besicovitch-uppsättning (se figur för motsvarande illustrationer) är känd som ett "Perron-träd" efter Oskar Perron som kunde förenkla Besicovitchs ursprungliga konstruktion:

Den första observationen att göra är att nålen kan röra sig i en rak linje så långt den vill utan att svepa något område. Detta beror på att nålen är ett linjesegment med noll bredd. Det andra tricket av Pál , känd som Pál joins beskriver hur man flyttar nålen mellan två ställen som är parallella samtidigt som man sveper ett försumbart område. Nålen kommer att följa formen av ett "N". Den rör sig från den första platsen en bit $r$ upp till vänster om "N", sveper ut vinkeln till mittdiagonalen, flyttar sig nedåt diagonalen, sveper ut den andra vinkeln, och de flyttar sig uppåt parallellt till höger sidan av "N" tills den når den önskade andra platsen. De enda områden som inte är noll är de två trianglarna med höjd ett och vinkeln överst på "N". Det svepande området är proportionellt mot denna vinkel som är proportionell mot $1/r$ .

Konstruktionen börjar med valfri triangel med höjd 1 och någon rejäl vinkel upptill genom vilken nålen lätt kan svepa. Målet är att göra många operationer på den här triangeln för att göra dess yta mindre och samtidigt behålla riktningarna som nålen kan svepa på samma sätt. Överväg först att dela triangeln i två och översätta bitarna över varandra så att deras baser överlappar varandra på ett sätt som minimerar den totala arean. Nålen kan svepa ut samma riktningar genom att svepa ut de som ges av den första triangeln, hoppa över till den andra och sedan svepa ut riktningarna som ges av den andra. Nålen kan hoppa trianglar med "N"-tekniken eftersom de två linjerna där den ursprungliga triangeln skars är parallella.

Anta nu att vi delar upp vår triangel i 2 ⁿ subtrianglar. Figuren visar åtta. För varje på varandra följande trianglar, utför samma överlappande operation som vi beskrev tidigare för att få hälften så många nya former, som var och en består av två överlappande trianglar. Därefter överlappar du på varandra följande par av dessa nya former genom att flytta dem så att deras baser överlappar varandra på ett sätt som minimerar den totala ytan. Upprepa detta n gånger tills det bara finns en form. Återigen kan nålen svepa ut samma riktningar genom att svepa ut dem i var och en av de 2 ⁿ subtrianglarna i ordningsföljd. Nålen kan hoppa på varandra följande trianglar med hjälp av "N"-tekniken eftersom de två linjerna vid vilka dessa trianglar skars är parallella.

₀ Det som återstår är att beräkna arean av den slutliga formen. Beviset är för svårt att presentera här. Istället kommer vi bara att diskutera hur siffrorna kan gå. När man tittar på figuren ser man att de 2 ⁿ subtrianglarna överlappar mycket. Alla av dem överlappar i botten, hälften av dem längst ner på den vänstra grenen, en fjärdedel av dem längst ner på den vänstra vänstra grenen, och så vidare. Antag att arean av varje form som skapas med i sammanslagningsoperationer från 2 ⁱ subtrianglar begränsas av A _i . Innan två av dessa former slås samman har de en area avgränsad till 2 A _i . Sedan flyttar vi ihop de två formerna på ett sätt som överlappar dem så mycket som möjligt. I värsta fall är dessa två områden två 1 gånger ε rektanglar vinkelräta mot varandra så att de överlappar varandra vid en area av endast ε ² . Men de två formerna som vi har konstruerat, om de är långa och smala, pekar i mycket åt samma håll eftersom de är gjorda av på varandra följande grupper av subtrianglar. Handviftandet säger att de överlappar med minst 1 % av sin yta. skulle det sammanslagna området begränsas av A _i+1 = 1,99 Ai _. Arean av den ursprungliga triangeln begränsas av 1. Därför är arean för varje subtriangel avgränsad av A = 2 ^-n och den slutliga formen har area som begränsas av A _n = 1,99 ⁿ × 2 ^-n . I själva verket ger en noggrann summering av alla områden som inte överlappar att området för den slutliga regionen är mycket större, nämligen 1/n . När n växer krymper detta område till noll. En Besicovitch-uppsättning kan skapas genom att kombinera sex rotationer av ett Perron-träd skapat från en liksidig triangel. En liknande konstruktion kan göras med parallellogram

Det finns andra metoder för att konstruera Besicovitch-uppsättningar med måtten noll förutom "groddningsmetoden". Till exempel använder Kahane Cantor-uppsättningar för att konstruera en Besicovitch-uppsättning med måtten noll i det tvådimensionella planet.

Ett Kakeya-nålset konstruerat av Perron-träd.

1941 visade HJ Van Alphen att det finns godtyckliga små Kakeya-nålsuppsättningar inuti en cirkel med radien 2 + ε (godtycklig ε > 0). Enkelt kopplade Kakeya nåluppsättningar med mindre yta än deltatoiden hittades 1965. Melvin Bloom och IJ Schoenberg presenterade oberoende Kakeya nåluppsättningar med ytor som närmade sig ${\tfrac {\pi }{24 }}(5-2{\sqrt {2}})$ , Bloom-Schoenberg-numret . Schoenberg antog att detta nummer är den nedre gränsen för området för enkelt anslutna Kakeya-nålsuppsättningar. Men 1971 visade F. Cunningham att, givet ε > 0, finns det en enkelt ansluten Kakeya-nålsuppsättning med area mindre än ε i en cirkel med radie 1.

Även om det finns Kakeya-nålsuppsättningar med godtyckligt små positiva mått och Besicovich-uppsättningar med mått 0, finns det inga Kakeya-nålsuppsättningar med mått 0.

Kakeya gissning

Påstående

Samma fråga om hur små dessa Besicovitch-uppsättningar kunde vara ställdes sedan i högre dimensioner, vilket gav upphov till ett antal gissningar som kollektivt kallas Kakeya-förmodan, och har hjälpt till att initiera matematikområdet som kallas geometrisk måttteori . I synnerhet, om det finns Besicovitch-uppsättningar av måtten noll, skulle de också kunna ha ett s-dimensionellt Hausdorff-mått noll för någon dimension som är mindre än dimensionen för det utrymme där de ligger? Denna fråga ger upphov till följande gissningar:

Kakeya-uppsättningsförmodan : Definiera en Besicovitch-mängd i Rn för att vara ^en uppsättning som innehåller ett enhetslinjesegment i varje riktning. Är det sant att sådana uppsättningar nödvändigtvis har Hausdorff-dimension och Minkowski-dimension lika med n ?

Detta är känt för att vara sant för n = 1, 2 men endast partiella resultat är kända i högre dimensioner.

Kakeya maximal funktion

Ett modernt sätt att närma sig detta problem är att betrakta en speciell typ av maximal funktion , som vi konstruerar enligt följande: Beteckna S ^{n −1} ⊂ R ⁿ för att vara enhetssfären i n -dimensionellt rum. Definiera $T_{e}^{\delta }(a)$ som cylindern med längden 1, radien δ > 0, centrerad vid punkten a ∈ R ⁿ , och vars långsida är parallellt med riktningen för enhetsvektorn e ∈ S ^{n −1} . Sedan för en lokalt integrerbar funktion f definierar vi Kakeyas maximala funktion för f att vara

f_{*}^{\delta }(e)=\sup _{a\in \mathbf {R} ^{n}}{\frac {1}{m(T_{e }^{\delta }(a))}}\int _{T_{e}^{\delta }(a)}|f(y)|dm(y)

där m betecknar det n -dimensionella Lebesgue-måttet . Lägg märke till att $f_{*}^{\delta }$ är definierad för vektorer e i sfären S ^{n −1} .

Sedan finns det en gissning för dessa funktioner som, om den är sann, kommer att antyda Kakeya-uppsättningens gissning för högre dimensioner:

Kakeya maximala funktionsförmodan : För alla ε > 0 finns det en konstant C _ε > 0 så att för vilken funktion

\left\|f_{*}^{\delta}\right\|_{L^{n}(\mathbf {S} ^{n-1})}\leqslant C_{\epsilon }\delta ^{-\epsilon }\|f\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})}.

som helst och alla δ > 0, (se lp-utrymme för notation)

Resultat

Några resultat för att bevisa Kakeya-förmodan är följande:

Kakeya-förmodan är sann för n = 1 (trivialt) och n = 2 (Davies).
I vilket n -dimensionellt utrymme som helst, visade Wolff att dimensionen för en Kakeya-uppsättning måste vara minst ( n +2)/2.
2002 förbättrade Katz och Tao Wolffs bundna till ${\displaystyle (2-{\sqrt {2}})(n-4)+3} ,$ vilket är bättre för n > 4.
År 2000 bevisade Katz , Łaba och Tao att Minkowski-dimensionen av Kakeya-uppsättningar i 3 dimensioner är strikt större än 5/2.
År 2000 kopplade Jean Bourgain Kakeya-problemet till aritmetisk kombinatorik som involverar harmonisk analys och additiv talteori .
Under 2017 förbättrade Katz och Zahl den nedre gränsen för Hausdorff-dimensionen av Besicovitch-uppsättningar i 3 dimensioner till $5/2+\epsilon$ en absolut konstant $\displaystyle \epsilon >0}$ .

Tillämpningar på analys

Något överraskande har dessa gissningar visat sig vara kopplade till ett antal frågor inom andra områden, särskilt inom harmonisk analys . Till exempel, 1971, Charles Fefferman använda Besicovitch-uppsättningskonstruktionen för att visa att i dimensioner större än 1, stympade Fourier-integraler som tog över kulor centrerade vid origo med radier som tenderar mot oändligheten inte behöver konvergera i L p ^- norm när p ≠ 2 (detta är i motsats till det endimensionella fallet där sådana trunkerade integraler konvergerar).

Analoger och generaliseringar av Kakeya-problemet

Uppsättningar som innehåller cirklar och sfärer

Analoger till Kakeya-problemet inkluderar att överväga uppsättningar som innehåller mer allmänna former än linjer, såsom cirklar.

1997 och 1999 bevisade Wolff att uppsättningar som innehåller en sfär med varje radie måste ha full dimension, det vill säga dimensionen är lika med dimensionen på utrymmet den ligger i, och bevisade detta genom att bevisa gränser för en cirkulär maximal funktion analogt till Kakeyas maximala funktion.

Det förmodades att det fanns uppsättningar som innehöll en sfär runt varje mått noll. Resultat av Elias Stein visade att alla sådana uppsättningar måste ha ett positivt mått när n ≥ 3, och Marstrand visade detsamma för fallet n=2 .

Uppsättningar som innehåller k -dimensionella skivor

En generalisering av Kakeya-förmodan är att betrakta mängder som innehåller, istället för segment av linjer i alla riktningar, men, säg, delar av k -dimensionella delrum. Definiera en ( n , k )-Besicovitch-mängd K för att vara en kompakt mängd i Rn som innehåller en översättning av varje k -dimensionell enhetsskiva som har Lebesgue-mått noll ^{. Det vill}^säga , om B betecknar enhetskulan centrerad vid noll, för varje k -dimensionellt delrum P , existerar det x ∈ Rn så att ( P ∩ B ) + x ⊆ K . Följaktligen är en ( n , 1)-Besicovitch-uppsättning standard-Besicovitch-uppsättningen som beskrivits tidigare.

( n , k )-Besicovitch-förmodan: Det finns inga ( n , k )-Besicovitch-uppsättningar för k > 1.

1979 bevisade Marstrand att det inte fanns några (3, 2)-Besicovitch-set. Men ungefär samtidigt Falconer att det inte fanns några ( n , k )-Besicovitch-uppsättningar för 2 k > n . Den bästa bundna hittills är av Bourgain, som bevisade att inga sådana mängder existerar när 2 ^{k −1} + k > n .

Kakeya sätter in vektorutrymmen över ändliga fält

1999 ställde Wolff det finita fältet analogt till Kakeya-problemet, i hopp om att teknikerna för att lösa denna gissning skulle kunna överföras till det euklidiska fallet.

Finita Field Kakeya Conjecture : Låt F vara ett finit fält, låt K ⊆ F ⁿ vara en Kakeya-mängd, dvs för varje vektor y ∈ F ⁿ finns det x ∈ F ⁿ så att K innehåller en linje { x + ty : t ∈ F }. Då har mängden K storleken minst c _n | F | ⁿ där c _n >0 är en konstant som bara beror på n .

Zeev Dvir bevisade denna gissning 2008 och visade att påståendet gäller för c _n = 1/ n !. I sitt bevis observerade han att varje polynom i n variabler av grad mindre än | F | försvinnande på ett Kakeya-set måste vara identiskt noll. Å andra sidan, polynomen i n variabler av grad mindre än | F | bilda ett vektorrum av dimension

{|\mathbf {F} |+n-1 \choose n}\geq {\frac {|\mathbf {F} |^{n}}{n!}}.

Därför finns det minst ett icke-trivialt polynom med grad mindre än | F | som försvinner på en given uppsättning med mindre än detta antal poäng. Att kombinera dessa två observationer visar att Kakeya-uppsättningar måste ha minst | F | ⁿ / n ! poäng.

Det är inte klart om teknikerna kommer att sträcka sig till att bevisa den ursprungliga Kakeya-förmodan men detta bevis ger den ursprungliga gissningen trovärdighet genom att göra i huvudsak algebraiska motexempel osannolika. Dvir har skrivit en enkätartikel om de senaste framstegen i det finita fältet Kakeya-problemet och dess förhållande till slumpextraktorer .

Se även

Nikodym set

Anteckningar

Besicovitch, Abram (1963). "Kakeya-problemet". American Mathematical Monthly . 70 (7): 697–706. doi : 10.2307/2312249 . JSTOR 2312249 . MR 0157266 .
Dvir, Zeev (2009). "På storleken på Kakeya uppsättningar i ändliga fält". Journal of the American Mathematical Society . 22 (4): 1093–1097. arXiv : 0803.2336 . Bibcode : 2009JAMS...22.1093D . doi : 10.1090/S0894-0347-08-00607-3 . MR 2525780 . S2CID 3358826 .
Falconer, Kenneth J. (1985). Geometrin av fraktaluppsättningar . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 85. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-25694-1 . MR 0867284 .
Kakeya, Soichi (1917). "Några problem på max och minimum angående ovaler". Tohoku vetenskapsrapporter . 6 : 71–88.
Katz, Nets Hawk ; Łaba, Izabella ; Tao, Terence (2000). "En förbättrad gräns för Minkowski-dimensionen av Besicovitch finns i ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}" ($ PDF ) . Annals of Mathematics . 152 (2): 383–446. doi : 10.2307/2661389 . JSTOR 2661389 . MR 1804528 . S2CID 17007027 .

Wolff, Thomas (1999). "Senaste arbete i samband med Kakeya-problemet". I Rossi, Hugo (red.). Prospects in Mathematics: Invited Talks an the Occasion of the 250th Anniversary of Princeton University . Providence, RI: American Mathematical Society. s. 129–162. ISBN 978-0-8218-0975-4 . MR 1660476 .
Wolff, Thomas (2003). Łaba, Izabella ; Shubin, Carol (red.). Föreläsningar om harmonisk analys . Universitetets föreläsningsserie. Vol. 29. Med ett förord av Charles Fefferman och förord av Izabella Łaba. Providence, RI: American Mathematical Society. doi : 10.1090/ulect/029 . ISBN 0-8218-3449-5 . MR 2003254 .

externa länkar