Andersons teorem

Den här artikeln handlar om Andersons teorem i matematik. För Andersons ortogonalitetssats i fysik, se Andersons ortogonalitetssats . För supraledningssatsen, se Andersons sats (superledningsförmåga) .

Inom matematiken är Andersons sats ett resultat i real analys och geometri som säger att integralen av en integrerbar, symmetrisk, unimodal, icke-negativ funktion f över en n -dimensionell konvex kropp K inte minskar om K translateras inåt mot origo . Detta är ett naturligt påstående, eftersom grafen för f kan ses som en kulle med en enda topp över ursprunget; dock för n ≥ 2 är beviset inte helt uppenbart, eftersom det kan finnas punkter x i kroppen K där värdet f ( x ) är större än vid motsvarande translate av x .

Andersons teorem, uppkallad efter Theodore Wilbur Anderson , har också en intressant tillämpning på sannolikhetsteori .

Uttalande av satsen

Låt K vara en konvex kropp i det n - dimensionella euklidiska rummet R ⁿ som är symmetrisk med avseende på reflektion i origo, dvs K = − K . Låt f : R ⁿ → R vara en icke- negativ , symmetrisk, globalt integrerbar funktion; dvs

• f ( x ) ≥ 0 för alla x ∈ Rn ^;
• f ( x ) = f ⁽ − x ) för alla x ∈ Rn ;
• $\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,\mathrm {d} x<+\infty .$

Antag också att supernivån sätter L ( f , t ) av f , definierad av

$L(f,t)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}|f(x)\geq t\},$

är konvexa delmängder av R ⁿ för varje t ≥ 0. (Denna egenskap kallas ibland för att vara unimodal .) Sedan ^, för alla 0 ≤ c ≤ 1 och y ∈ Rn ,

$\int _{K}f(x+cy)\,\mathrm {d} x\geq \int _{K}f(x+y)\,\mathrm {d} x.$

Tillämpning på sannolikhetsteori

Givet ett sannolikhetsutrymme (Ω, Σ, Pr), antag att X : Ω → R ⁿ är en R ⁿ -värderad stokastisk variabel med sannolikhetstäthetsfunktion f : R ⁿ → [0, +∞) och att Y : Ω → R ⁿ är en oberoende slumpvariabel. Sannolikhetstäthetsfunktionerna för många välkända sannolikhetsfördelningar är p - konkava för vissa p , och därmed unimodala. Om de också är symmetriska (t.ex. Laplace- och normalfördelningen ), så gäller Andersons sats, i så fall

$\Pr(X\in K)\geq \Pr(X+Y\in K)$

för varje ursprungssymmetrisk konvex kropp K ⊆ R ⁿ .

• Gardner, Richard J. (2002). "Brunn-Minkowski-ojämlikheten" . Tjur. Amer. Matematik. Soc. (NS) . 39 (3): 355–405 (elektroniska). doi : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 .