Fredholm alternativ

Inom matematiken är Fredholmsalternativet , uppkallat efter Ivar Fredholm , en av Fredholms satser och är ett resultat i Fredholmsteorin . Det kan uttryckas på flera sätt, som en sats av linjär algebra , en sats av integralekvationer , eller som en sats om Fredholm-operatorer . En del av resultatet säger att ett komplext tal som inte är noll i spektrumet av en kompakt operator är ett egenvärde.

Linjär algebra

Om V är ett n -dimensionellt vektorrum och $T:V\to V$ är en linjär transformation , så gäller exakt en av följande:

För varje vektor v i V finns en vektor u i V så att $T(u)=v$ . Med andra ord: T är surjektivt (och så också bijektivt, eftersom V är ändligt dimensionellt).
$\dim(\ker(T))>0.$

En mer elementär formulering, i termer av matriser, är följande. Givet en m × n matris A och en m × 1 kolumnvektor b måste exakt en av följande gälla:

Antingen: A x = b har en lösning x
Eller: A ^T y = 0 har en lösning y med y ^T b ≠ 0.

Med andra ord, A x = b har en lösning $(\mathbf {b} \in \operatorname {rng} (A))$ om och endast om för något y st A ^T y = 0, y ^T b = 0 $(\mathbf {b} \in \ker(A^{T})^{\bot })$ .

Integralekvationer

Låt $K(x,y)$ vara en integralkärna , och betrakta den homogena ekvationen , Fredholms integralekvation ,

\lambda \varphi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\ varphi (y)\,dy=0

och den inhomogena ekvationen

\lambda \varphi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\varphi (y)\,dy=f(x).

Fredholm-alternativet är påståendet att för varje fast komplext tal som inte är noll ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} } ,$ antingen har den första ekvationen en icke-trivial lösning, eller så har den andra ekvationen en lösning för alla $f(x)$ .

Ett tillräckligt villkor för att detta påstående ska vara sant är att $[a ,b]\ gånger [a,b]$ $\displaystyle K(x,y)}$ är kvadratisk integrerbar på rektangeln (där a och/eller b kan vara minus eller plus oändligt). Integraloperatorn som definieras av ett sådant K kallas en Hilbert–Schmidt-integraloperator .

Funktionsanalys

Resultat på Fredholm-operatorn generaliserar dessa resultat till vektorrum med oändliga dimensioner, Banach-rum .

Integralekvationen kan omformuleras i termer av operatornotation enligt följande. Skriv (något informellt)

T=\lambda -K

att mena

T(x,y)=\lambda \;\delta (xy)-K(x,y)

med $\delta (xy)$ Dirac deltafunktionen , betraktad som en fördelning , eller generaliserad funktion , i två variabler. Genom faltning inducerar T sedan en linjär operator som verkar på ett Banach-rum V med funktionerna ${\displaystyle \varphi (x)} ,$ som vi också kallar T , så att

T:V\to V

ges av

\varphi \mapsto \psi

med $\psi$ ges av

\psi (x)=\int _{a}^{b}T(x,y)\varphi (y)\,dy=\lambda \;\varphi (x)-\int _{a} ^{b}K(x,y)\varphi (y)\,dy.

I detta språk ses Fredholm-alternativet för integralekvationer vara analogt med Fredholm-alternativet för finitdimensionell linjär algebra.

Operatorn K som ges av faltning med en L ² -kärna, enligt ovan, är känd som en Hilbert-Schmidt-integraloperator . Sådana operatörer är alltid kompakta . Mer generellt gäller Fredholm-alternativet när K är vilken kompaktoperatör som helst. Fredholm-alternativet kan omformuleras i följande form: en icke-noll $\lambda$ är antingen ett egenvärde för K eller ligger i resolventets domän

R(\lambda ;K)=(K-\lambda \operatörsnamn {Id} )^{-1}.

Elliptiska partiella differentialekvationer

Fredholm-alternativet kan användas för att lösa linjära elliptiska gränsvärdesproblem . Det grundläggande resultatet är: om ekvationen och lämpliga Banach-mellanslag har ställts in korrekt, då antingen

(1) Den homogena ekvationen har en icke-trivial lösning, eller

(2) Den inhomogena ekvationen kan lösas unikt för varje val av data.

Argumentationen lyder som följer. En typisk enkel att förstå elliptisk operator L skulle vara laplacian plus några lägre ordningstermer. Kombinerat med lämpliga randvillkor och uttryckt på ett lämpligt Banach-utrymme X (som kodar både randvillkoren och lösningens önskade regelbundenhet), blir L en obegränsad operator från X till sig själv, och man försöker lösa

Lu=f,\qquad u\in \operatörsnamn {dom} (L)\subseteq X,

där f ∈ X är någon funktion som fungerar som data som vi vill ha en lösning på. Fredholm-alternativet, tillsammans med teorin om elliptiska ekvationer, kommer att göra det möjligt för oss att organisera lösningarna av denna ekvation.

Ett konkret exempel skulle vara ett elliptiskt gränsvärdesproblem som

(*)\qquad Lu:=-\Delta u+h(x)u=f\qquad {\text{ i }}\Omega ,

kompletterat med randvillkoret

(**)\qquad u=0\qquad {\text{on }}\partial \Omega ,

där Ω ⊆ R ⁿ är en begränsad öppen mängd med jämn gräns och h ( x ) är en fix koefficientfunktion (en potential, i fallet med en Schrödinger-operator). Funktionen f ∈ X är den variabeldata som vi vill lösa ekvationen för. Här skulle man ta X för att vara rymden L ² (Ω) för alla kvadratintegrerbara funktioner på Ω, och dom( L ) är då Sobolev-rummet W ^2,2 (Ω) ∩ W ^1,2
₀ (Ω), vilket uppgår till mängden av alla kvadratintegrerbara funktioner på Ω vars svaga första- och andraderivator finns och är kvadratintegrerbara och som uppfyller ett nollgränsvillkor på ∂Ω.

₀₀₀₀ Om X har valts korrekt (som det har gjort i det här exemplet), så är operatorn L + μ för μ >> 0 positiv , och med elliptiska uppskattningar kan man bevisa att L + μ : dom( L ) → X är en bijektion, och dess invers är en kompakt, överallt definierad operator K från X till X , med bild lika med dom( L ). Vi fixar en sådan μ , men dess värde är inte viktigt eftersom det bara är ett verktyg.

Vi kan då omvandla Fredholm-alternativet, som anges ovan för kompakta operatorer, till ett uttalande om gränsvärdeproblemets lösbarhet (*)–(**). Fredholm-alternativet hävdar, som nämnts ovan:

För varje λ ∈ R , är antingen λ ett egenvärde av K , eller så är operatorn K − λ bijektiv från X till sig själv.

Låt oss utforska de två alternativen när de spelar ut för gränsvärdeproblemet. Antag att λ ≠ 0. Sedan antingen

₀₀ (A) λ är ett egenvärde av K ⇔ det finns en lösning h ∈ dom( L ) av ( L + μ ) h = λ ⁻¹ h ⇔ – μ + λ ⁻¹ är ett egenvärde av L .

₀₀₀ (B) Operatorn K − λ : X → X är en bijektion ⇔ ( K − λ ) ( L + μ ) = Id − λ ( L + μ ) : dom( L ) → X är en bijektion ⇔ L + μ − λ ⁻¹ : dom( L ) → X är en bijektion.

₀₀ Genom att ersätta - μ + λ ⁻¹ med λ och behandla fallet λ = − μ separat, ger detta följande Fredholm-alternativ för ett elliptiskt gränsvärdeproblem:

För varje λ ∈ R , har antingen den homogena ekvationen ( L − λ ) u = 0 en icke-trivial lösning, eller så har den inhomogena ekvationen ( L − λ ) u = f en unik lösning u ∈ dom( L ) för varje given datum f ∈ X .

Den senare funktionen u löser gränsvärdesproblemet (*)–(**) som introducerats ovan. Detta är den dikotomi som hävdades i (1)–(2) ovan. Genom spektralsatsen för kompakta operatorer erhåller man också att mängden λ för vilken lösbarheten misslyckas är en diskret delmängd av R (egenvärdena för L ). Egenvärdenas associerade egenfunktioner kan ses som "resonanser" som blockerar ekvationens lösbarhet.

Se även

Fredholm, EI (1903). "Sur une classe d'equations fonctionnelles" . Acta Math . 27 : 365-390. doi : 10.1007/bf02421317 .
AG Ramm, " A Simple Proof of the Fredholm Alternative and a Characterization of the Fredholm Operators ", American Mathematical Monthly , 108 (2001) sid. 855.
Khvedelidze, BV (2001) [1994], "Fredholms teorem för integralekvationer" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Weisstein, Eric W. "Fredholm Alternative" . MathWorld .