Fraktionell faktoriell design

Inom statistik är fraktionella faktordesigner experimentella designs som består av en noggrant vald delmängd (fraktion) av de experimentella körningarna av en fullständig faktoriell design . Delmängden är vald för att utnyttja sparsity-of-effects-principen för att exponera information om de viktigaste egenskaperna hos det studerade problemet, samtidigt som man använder en bråkdel av ansträngningen för en fullständig faktoriell design i termer av experimentella körningar och resurser. Med andra ord använder den det faktum att många experiment i full faktoriell design ofta är överflödiga , vilket ger lite eller ingen ny information om systemet.

Notation

Bråkmönster uttrycks med beteckningen l ^{k − p} , där l är antalet nivåer av varje undersökt faktor, k är antalet faktorer som undersökts och p beskriver storleken på fraktionen av hela faktorialet som används. Formellt p antalet generatorer , tilldelningar om vilka effekter eller interaktioner som förväxlas , dvs inte kan uppskattas oberoende av varandra (se nedan). En design med p sådana generatorer är en 1/( l ^p )= l ^−p fraktion av den fullständiga faktoriella designen.

Till exempel är en 2 ^{5 − 2} design 1/4 av en tvånivås femfaktorsfaktoriell design. Istället för de 32 körningar som skulle krävas för hela 2 ⁵ faktoriella experimentet, kräver detta experiment bara åtta körningar.

I praktiken stöter man sällan på l > 2 nivåer i fraktionerad faktoriell design, eftersom responsytmetodik är ett mycket mer experimentellt effektivt sätt att bestämma förhållandet mellan det experimentella svaret och faktorer på flera nivåer. Dessutom är metoden för att generera sådana mönster för mer än två nivåer mycket mer besvärlig.

Nivåerna för en faktor kodas vanligtvis som +1 för den högre nivån och −1 för den lägre nivån. För en trenivåfaktor kodas det mellanliggande värdet som 0.

För att spara utrymme förkortas punkterna i ett tvånivås faktorexperiment ofta med strängar av plus- och minustecken. Strängarna har lika många symboler som faktorer, och deras värden dikterar nivån för varje faktor: konventionellt $-$ för den första (eller låga) nivån och $+$ för den andra (eller höga) nivå. Punkterna i detta experiment kan alltså representeras som $--$ , $+-$ , $-+$ och $++$ .

Faktoriella poäng kan också förkortas med (1), a, b och ab, där närvaron av en bokstav indikerar att den specificerade faktorn är på sin höga (eller andra) nivå och frånvaron av en bokstav indikerar att den specificerade faktorn är på sin låga (eller första) nivå (till exempel "a" indikerar att faktor A är på sin höga inställning, medan alla andra faktorer är på sin låga (eller första) inställning). (1) används för att indikera att alla faktorer har sina lägsta (eller första) värden.

Generation

I praktiken förlitar sig experimentörer vanligtvis på statistiska referensböcker för att tillhandahålla de "standardiserade" fraktionella faktorialdesignerna, som består av huvudfraktionen . Den huvudsakliga fraktionen är uppsättningen behandlingskombinationer för vilka generatorerna utvärderar till + under behandlingskombinationsalgebra. Men i vissa situationer kan experimentörer ta på sig att skapa sin egen fraktionella design.

Ett fraktionerat faktorexperiment genereras från ett fullständigt faktorexperiment genom att välja en aliasstruktur . Aliasstrukturen avgör vilka effekter som förväxlas med varandra. Till exempel kan femfaktorn 2 ^{5 − 2} genereras genom att använda ett fullständigt trefaktorsfaktoriellt experiment som involverar tre faktorer (säg A , B och C ) och sedan välja att blanda ihop de två återstående faktorerna D och E med interaktioner som genereras av D = A * B och E = A * C . Dessa två uttryck kallas designens generatorer . Så till exempel, när experimentet körs och försöksledaren uppskattar effekterna för faktor D , är det som verkligen uppskattas en kombination av huvudeffekten av D och tvåfaktorinteraktionen som involverar A och B.

En viktig egenskap hos en bråkdesign är den definierande relationen , som ger uppsättningen interaktionskolumner lika i designmatrisen med en kolumn med plustecken, betecknad med I . För exemplet ovan, eftersom D = AB och E = AC , är ABD och ACE båda kolumner med plustecken, och följaktligen så är BDCE . I detta fall är den definierande relationen för bråkdesignen I = ABD = ACE = BCDE . Den definierande relationen gör att aliasmönstret för designen kan bestämmas.

Behandlingskombinationer för en 2 ^{5 − 2} design

Behandlingskombination	jag	A	B	C	D = AB	E = AC
de	+	−	−	−	+	+
a	+	+	−	−	−	−
vara	+	−	+	−	−	+
abd	+	+	+	−	+	−
CD	+	−	−	+	+	−
ess	+	+	−	+	−	+
före Kristus	+	−	+	+	−	−
abcde	+	+	+	+	+	+

Upplösning

En viktig egenskap hos en fraktionerad design är dess upplösning eller förmåga att separera huvudeffekter och interaktioner av låg ordning från varandra. Formellt, om faktorerna är binära är designens upplösning den minsta ordlängden i den definierande relationen exklusive ( 1 ). De viktigaste fraktionella designerna är de med upplösning III, IV och V: Upplösningar under III är inte användbara och upplösningar över V är slösaktiga (med binära faktorer) eftersom det utökade experimentet inte har någon praktisk nytta i de flesta fall - huvuddelen av ytterligare ansträngning går till att uppskatta interaktioner av mycket hög ordning som sällan förekommer i praktiken. 2 ^{5 − 2} designen ovan är upplösning III eftersom dess definierande relation är I = ABD = ACE = BCDE.

Upplösning	Förmåga	Exempel
jag	Inte användbart: ett experiment med exakt en körning testar bara en nivå av en faktor och kan därför inte ens skilja mellan de höga och låga nivåerna av den faktorn	2 1 − 1 med definierande relation I = A
II	Inte användbart: huvudeffekter förväxlas med andra huvudeffekter	2 2 − 1 med definierande relation I = AB
III	Beräkna huvudeffekterna, men dessa kan förväxlas med tvåfaktorsinteraktioner	2 3 − 1 med definierande relation I = ABC
IV	Uppskatta huvudeffekter som inte förväxlas av tvåfaktorsinteraktioner Uppskatta tvåfaktorsinteraktionseffekter, men dessa kan förväxlas med andra tvåfaktorsinteraktioner	2 4 − 1 med definierande relation I = ABCD
V	Uppskatta huvudeffekter som inte förväxlas av trefaktors (eller mindre) interaktioner Uppskatta tvåfaktorsinteraktionseffekter som inte förväxlas av tvåfaktorsinteraktioner Uppskatta trefaktorsinteraktionseffekter, men dessa kan förväxlas med andra tvåfaktorsinteraktioner	2 5 − 1 med definierande relation I = ABCDE
VI	Uppskatta huvudeffekter som inte förväxlas av fyra-faktors (eller mindre) interaktioner Uppskatta två-faktors interaktionseffekter oförblandade av tre-faktor (eller mindre) interaktioner Uppskatta tre-faktor interaktionseffekter, men dessa kan förväxlas med andra tre-faktor interaktioner	2 6 − 1 med definierande relation I = ABCDEF

Den beskrivna upplösningen används endast för vanliga mönster. Vanliga mönster har körstorlekar som motsvarar en potens av två, och endast fullständig aliasing är närvarande. Oregelbundna mönster är mönster där körstorleken är en multipel av 4; dessa designs introducerar partiell aliasing, och generaliserad upplösning används som designkriterium istället för upplösningen som beskrivits tidigare.

Exempel på fraktionerad faktoriellt experiment

Montgomery ger följande exempel på ett fraktionerat faktoriellt experiment. En ingenjör utförde ett experiment för att öka filtreringshastigheten (produktionen) av en process för att producera en kemikalie och för att minska mängden formaldehyd som används i processen. Det fullständiga faktorexperimentet beskrivs på Wikipedia-sidan Faktoriellt experiment . Fyra faktorer beaktades: temperatur (A), tryck (B), formaldehydkoncentration (C) och omrörningshastighet (D). Resultaten i det exemplet var att huvudeffekterna A, C och D och AC- och AD-interaktionerna var signifikanta. Resultaten från det exemplet kan användas för att simulera ett fraktionerat faktorexperiment med användning av en halvfraktion av den ursprungliga 2 ⁴ = 16 körningsdesignen. Tabellen visar 2 ^{4 - 1} = 8 körda halvfraktionsexperimentdesign och den resulterande filtreringshastigheten, extraherad från tabellen för hela 16 körningar av faktoriellt experiment .

A	B	C	D	Filtreringshastighet
-1	-1	-1	-1	45
1	-1	-1	1	100
-1	1	-1	1	45
1	1	-1	-1	65
-1	-1	1	1	75
1	-1	1	-1	60
-1	1	1	-1	80
1	1	1	1	96

I denna fraktionella design är varje huvudeffekt aliaserad med en 3-faktorinteraktion (t.ex. A = BCD), och varje 2-faktorinteraktion aliaseras med en annan 2-faktorinteraktion (t.ex. AB = CD). Aliasingrelationerna visas i tabellen. Detta är en resolution IV-design, vilket innebär att huvudeffekterna aliaseras med 3-vägsinteraktioner och 2-vägsinteraktioner aliaseras med 2-vägsinteraktioner.

Alias
​​A = BCD
B = ACD
C = ABD
D = ABC
AB = CD
AC = BD
BC = AD

Analysen av variansskattningar av effekterna visas i tabellen nedan. Vid granskning av tabellen verkar det finnas stora effekter på grund av A, C och D. Koefficienten för AB-interaktionen är ganska liten. Om inte AB- och CD-interaktionerna har ungefär lika men motsatta effekter, verkar dessa två interaktioner vara försumbara. Om A, C och D har stora effekter, men B har liten effekt, är AC- och AD-interaktionerna troligen signifikanta. Dessa slutsatser överensstämmer med resultaten av det fullständiga 16-körningsexperimentet.

Koefficient	Uppskatta	Alias ​​struktur
A	19,0	A + BCD
B	1.5	B + ACD
C	14,0	C + ABD
D	16.5	D + ABC
A:B	-1,0	AB + CD
A:C	-18.5	AC + BD
A:D	19,0	AD + f.Kr

Eftersom B och dess interaktioner verkar vara obetydliga, kan B tas bort från modellen. Att släppa B resulterar i en fullständig faktoriell 2 ³ -design för faktorerna A, C och D. Genom att utföra anovan med hjälp av faktorerna A, C och D, och interaktionstermerna A:C och A:D, får du resultaten som visas i tabell, som liknar resultaten för det fullständiga faktorexperimentet , men har fördelen av att endast kräva en halvfraktion 8 körningar snarare än 16.

Koefficient	Uppskatta	Std. Fel	t värde	P-värde
Genskjuta	70,75	0,64	111	8.11E-05
A	9.5	0,64	14.9	0,00447
C	7	0,64	10,98	0,00819
D	8.25	0,64	12,94	0,00592
A:C	-9.25	0,64	-14.51	0,00471
A:D	9.5	0,64	14.9	0,00447

externa länkar

• Fullständiga faktor- och fraktionella faktorexperiment: Vanliga frågor (The Methodology Center, Penn State University)
• Fractional Factorial Designs (National Institute of Standards and Technology)

Se även

• Robusta parameterdesigner