Fisher transformation

"Fisher z-transformation" omdirigerar hit. Ej att förväxla med Fishers z-distribution .

För standard z-poäng i statistik, se Standardpoäng . För z-transformation till komplexa taldomän, se Z-transform .

En graf över transformationen (i orange). Den otransformerade sampelkorrelationskoefficienten plottas på den horisontella axeln och den transformerade koefficienten plottas på den vertikala axeln. Identitetsfunktionen (grå) visas också för jämförelse.

I statistik är Fisher-transformationen ( eller Fisher z -transformationen ) av en Pearson-korrelationskoefficient dess inversa hyperboliska tangent (artanh). När provkorrelationskoefficienten r är nära 1 eller -1 är dess fördelning mycket skev , vilket gör det svårt att uppskatta konfidensintervall och tillämpa signifikanstest för populationskorrelationskoefficienten ρ. Fisher-transformationen löser detta problem genom att ge en variabel vars fördelning är ungefärligen normalfördelad , med en varians som är stabil över olika värden på r .

Definition

Givet en uppsättning av N bivariata sampelpar ( Xi _, Y _i ), i = 1, …, N , ges provkorrelationskoefficienten r av

$r={\frac {\operatörsnamn {cov} (X,Y)}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}={\frac {\sum _{i=1}^{ N}(X_{i}-{\bar {X}})(Y_{i}-{\bar {Y}})}{{\sqrt {\summa _{i=1}^{N}(X_ {i}-{\bar {X}})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{N}(Y_{i}-{\bar {Y}})^{ 2}}}}}.$

Här står ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)} för$ kovariansen mellan variablerna $X$ och $Y$ och $\sigma$ står för standardavvikelsen för respektive variabel. Fishers z-transformation av r definieras som

$z={1 \over 2}\ln \left({1+r \over 1-r}\right) =\operatörsnamn {artanh} (r),$

där "ln" är den naturliga logaritmfunktionen och "artanh" är den inversa hyperboliska tangentfunktionen .

Om ( X , Y ) har en bivariat normalfördelning med korrelation ρ och paren ( X _i , Y _i ) är oberoende och identiskt fördelade , så är z ungefär normalfördelad med medelvärde .

${1 \over 2}\ln \left({{1+\rho } \over {1-\rho }}\right),$

och standardfel

${1 \over {\sqrt {N-3}}},$

där N är urvalsstorleken och ρ är den sanna korrelationskoefficienten.

Denna omvandling och dess invers

$r={\frac {\exp(2z)-1}{\exp(2z)+1 }}=\operatörsnamn {tanh} (z),$

kan användas för att konstruera ett stort urvalskonfidensintervall för r med hjälp av standardnormalteori och härledningar. Se även tillämpning på partiell korrelation .

Härledning

Fisher Transformation med $\rho =0,9$ och $N=30$ . Illustrerad är den exakta sannolikhetstäthetsfunktionen för $r$ (i svart), tillsammans med sannolikhetstäthetsfunktionerna för den vanliga Fisher-transformationen (blå) och den som erhålls genom att inkludera extra termer som beror på $N$ ( röd). Den senare approximationen är visuellt omöjlig att skilja från det exakta svaret (dess maximala fel är 0,3 %, jämfört med 3,4 % för grundläggande Fisher).

Hotelling ger en kortfattad härledning av Fisher-transformationen.

För att härleda Fisher-transformationen börjar man med att betrakta en godtyckligt ökande, dubbelt differentierbar funktion av $r$ , säg $G(r)$ . Att hitta den första termen i den stora $N$ expansionen av motsvarande skevhet $\kappa _{3}$ resulterar i

$\kappa _{3}={\frac {6\rho -3(1-\rho ^{2})G^{\prime \prime }(\rho )/G^{\prime }(\ rho )}{\sqrt {N}}}+O(N^{-3/2}).$

Att sätta $\kappa _{3}=0$ och lösa motsvarande differentialekvation för $G$ ger den inversa hyperboliska tangenten $G(\ rho )=\operatörsnamn {artanh} (\rho )$ funktion.

Om man på liknande sätt expanderar medelvärdet m och varians v för ${\displaystyle \operatorname {artanh} (r)} ,$ får man

m = $\operatorname {artanh} (\rho )+{\frac {\rho }{2N}}+O(N^{-2 })$

och

v = ${\frac {1}{N}}+{\frac {6-\rho ^{2}}{2N^{ 2}}}+O(N^{-3})$

respektive.

De extra villkoren är inte en del av den vanliga Fisher-transformationen. För stora värden på $\rho$ och små värden på $N$ representerar de en stor förbättring av noggrannheten till minimal kostnad, även om de avsevärt komplicerar beräkningen av inversen – ett uttryck i sluten form är inte tillgängligt . Den nästan konstanta variansen av transformationen är resultatet av att dess skevhet har tagits bort – den faktiska förbättringen uppnås av den senare, inte av de extra termerna. Inklusive de extra termerna, dvs. computing (zm)/v ^1/2 , ger:

${\frac {z-\operatörsnamn {artanh} (\rho )-{\frac {\rho }{2N} }}{\sqrt {{\frac {1}{N}}+{\frac {6-\rho ^{2}}{2N^{2}}}}}}$

som har, till en utmärkt approximation, en standardnormalfördelning .

Kalkylator för konfidensbältet av r-kvadratvärden (eller bestämningskoefficient/förklaring eller god passform).

Ansökan

Tillämpningen av Fishers transformation kan förbättras med hjälp av en mjukvarukalkylator som visas i figuren. Om man antar att det hittade r-kvadratvärdet är 0,80, att det finns 30 data och accepterar ett 90% konfidensintervall, kan r-kvadratvärdet i ett annat slumpmässigt urval från samma population variera från 0,588 till 0,921. När r-kvadrat ligger utanför detta intervall anses populationen vara annorlunda. Men om en viss datamängd analyseras med två olika regressionsmodeller medan den första modellen ger r-kvadrat = 0,80 och den andra r-kvadrat är 0,49, kan man dra slutsatsen att den andra modellen är insignifikant eftersom värdet 0,49 är under det kritiska värde 0,588.

Diskussion

Fisher-transformationen är en ungefärlig variansstabiliserande transformation för r när X och Y följer en bivariat normalfördelning. Detta betyder att variansen för z är ungefär konstant för alla värden på populationskorrelationskoefficienten ρ . Utan Fisher-transformationen blir variansen av r mindre som | ρ | kommer närmare 1. Eftersom Fisher-transformationen är ungefär identitetsfunktionen när | r | < 1/2, är det ibland användbart att komma ihåg att variansen för r är väl approximerad med 1/ N så länge som | ρ | är inte för stor och N är inte för liten. Detta är relaterat till det faktum att den asymptotiska variansen av r är 1 för bivariat normaldata.

Beteendet för denna transformation har studerats omfattande sedan Fisher introducerade den 1915. Fisher hittade själv den exakta fördelningen av z för data från en bivariat normalfördelning 1921; Gayen 1951 bestämde den exakta fördelningen av z för data från en bivariat typ A Edgeworth-fördelning. Hotelling 1953 beräknade Taylor-serieuttrycken för momenten av z och flera relaterad statistik och Hawkins upptäckte 1989 den asymptotiska fördelningen av z för data från en fördelning med avgränsade fjärde moment.

Ett alternativ till Fisher-transformationen är att använda den exakta konfidensfördelningstätheten för ρ som ges av

$$\pi (\rho |r)={\frac {\Gamma (\nu +1)} {{\sqrt {2\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}(1-r^{2})^{\frac {\nu -1}{2 }}\cdot (1-\rho ^{2})^{\frac {\nu -2}{2}}\cdot (1-r\rho )^{\frac {1-2\nu }{2 }}F\!\left({\frac {3}{2}},-{\frac {1}{2}};\nu +{\frac {1}{2}};{\frac {1 +r\rho }{2}}\right)$$

där $F$ är den Gaussiska hypergeometriska funktionen och $\nu =N-1>1$ .

Andra användningsområden

Medan Fisher-transformationen huvudsakligen är associerad med Pearsons produkt-moment-korrelationskoefficient för bivariata normala observationer, kan den också tillämpas på Spearmans rangkorrelationskoefficient i mer allmänna fall. Ett liknande resultat för den asymptotiska fördelningen gäller, men med en mindre justeringsfaktor: se den senare artikeln [ för detaljer.

Se även

• Datatransformation (statistik)
• Metaanalys (denna transformation används i metaanalys för att stabilisera variansen)
• Partiell korrelation
• Pearson korrelationskoefficient § Inferens

externa länkar

• R implementering