Sobolev-utrymmen för plana domäner

Inom matematik är Sobolev-utrymmen för plana domäner en av de huvudsakliga teknikerna som används i teorin om partiella differentialekvationer för att lösa Dirichlet och Neumann gränsvärdeproblem för Laplacian i en avgränsad domän i planet med jämn gräns . Metoderna använder teorin om avgränsade operatorer på Hilbert-rymden . De kan användas för att härleda regularitetsegenskaper hos lösningar och för att lösa motsvarande egenvärdesproblem.

Sobolev-utrymmen med randvillkor

Låt Ω ⊂ R ² vara en avgränsad domän med jämn gräns. Eftersom Ω finns i en stor kvadrat i R ² kan den betraktas som en domän i T ² genom att identifiera motsatta sidor av kvadraten. Teorin om Sobolev-utrymmen på T ² finns i Bers, John & Schechter (1979), en redogörelse som följs i flera senare läroböcker som Warner (1983) och Griffiths & Harris (1994) .

För k ett heltal, definieras det (begränsade) Sobolev-utrymmet H ^k
₀ (Ω) som stängningen av C
^∞ _c (Ω) i standard Sobolev-utrymmet H ^k ( T ² ) .

• ⁰
  ₀ H (Q) = L2 ⁽ Q) .
• Försvinnande egenskaper på gränsen: För k > 0 benämns elementen i H ^k
  ₀ (Ω) som " L ² -funktioner på Ω som försvinner med sina första k − 1 derivator på ∂Ω ." Faktum är att om   f ∈ C ^k ( Ω ) överensstämmer med en funktion i H ^k
  ₀ (Ω) , så är g = ∂ ^α f   i C ¹ . Låt   f _n ∈ C
  ^∞ _c (Ω) vara sådan att   f _n → f   i Sobolev-normen, och sätt g _n = ∂ ^α f _n   . Således g _n → g i H ¹
  ₀ (Ω) . Därför för h ∈ C ^∞ ( T ² ) och D = a ∂ _x + b ∂ _y ,

$\iint _{\Omega }\left(g(Dh)+(Dg)h\right)\,dx\,dy=\lim _{n\to 0}\iint _{\Omega }\left(g( Dh_{n})+(Dg)h_{n}\right)\,dx\,dy=0.$

Enligt Greens teorem innebär detta

$\int _{\partial \Omega } gk=0,$

där

$k=h\cos \left(\mathbf {n} \cdot (a,b)\right),$

med n enheten vinkelrät mot gränsen. Eftersom sådana k bildar ett tätt delrum av L ² (Ω) , följer det att g = 0 på ∂Ω .

• Stödegenskaper: Låt Ω ^c vara komplementet till Ω och definiera begränsade Sobolev-utrymmen analogt för Ω ^c . Båda uppsättningarna av utrymmen har en naturlig parning med C ^∞ ( T ² ) . Sobolev-utrymmet för Ω är annihilatorn i Sobolev-utrymmet för T ² av C
  ^∞ _c (Ω ^c ) och det för Ω ^c är annihilatorn av C
  ^∞ _c (Ω) . I själva verket bevisas detta genom att lokalt tillämpa en liten översättning för att flytta domänen inuti sig själv och sedan utjämna av en smidig faltningsoperator.

Antag att g i H ^k ( T ² ) förstör C
^∞ _c (Ω ^c ) . Genom kompakthet finns det ändligt många öppna uppsättningar ₀ U , U ₁ , ... , U _N som täcker Ω så att stängningen av U ₀ är disjunkt från ∂Ω och varje U _i är en öppen skiva kring en gränspunkt z _i sådan att i U _i små translationer i riktningen för normalvektorn n _i bär Ω till Ω . Lägg till en öppen U _{N +1} med stängning i Ω ^c för att producera en täckning av T ² och låt ψ _i vara en partition av enhet underordnad detta lock. Om translation med n betecknas med λ _n , då funktionerna

$g_{t}=\psi _{0}g+\sum _{ i=1}^{N}\psi _{n}\lambda _{tn_{i}}g$

0 tenderar att g när t minskar till och fortfarande ligger i annihilatorn, de är faktiskt i annihilatorn för en större domän än Ω ^c , vars komplement ligger i Ω . Konvolvering av smidiga funktioner av litet stöd ger smidiga approximationer i annihilatorn av en något mindre domän fortfarande med komplement i Ω . Dessa är nödvändigtvis smidiga funktioner för kompakt stöd i Ω .

• 0 Ytterligare försvinnande egenskaper på gränsen: Karakteriseringen i termer av annihilatorer visar att   f ∈ C ^k ( Ω ) ligger i H ^k
  ₀ (Ω) om (och endast om) den och dess derivator av ordning mindre än k försvinner på ∂Ω . Faktum är att   f   kan utökas till T ² genom att ställa in den på Ω ^c . Denna förlängning F definierar ett element i H ^k ( T ² ) med formeln för normen

$\|h\|_{(k)}^{2}=\summa _{j=0}^{k}{k \choose j}\left\|\partial _{x}^{j }\partial _{y}^{kj}h\right\|^{2}.$

Dessutom uppfyller F ( F , g ) = 0 för g i C
^∞ _c (Ω ^c ) .

• Dualitet: För k ≥ 0 , definiera H ^{− k} (Ω) som det ortogonala komplementet av H ^{− k}
  ₀ (Ω ^c ) i H ^{− k} ( T ² ) . Låt P _k vara den ortogonala projektionen på H ^{− k} (Ω) , så att Q _k = I − P _k är den ortogonala projektionen på H ^{− k}
  ₀ (Ω ^c ) . När k = 0 ger detta bara ⁰ H (Ω) = L ² (Ω) . Om   f ∈ H ^k
  ₀ (Ω ^c ) och g ∈ H ^{− k} ( T ² ) , då

$(f,g)=(f,P_{k}g).$

Detta innebär att under parningen mellan H ^k ( T ² ) och H ^{− k} ( T ² ) , H ^k
₀ (Ω ^c ) och H ^{− k} (Ω) är varandras dualer.

• Approximation med jämna funktioner: Bilden av C
  ^∞ _c (Ω) är tät i H ^{− k} (Ω) för k ≤ 0 . Detta är uppenbart för k = 0 eftersom summan C
  ^∞ _c (Ω) + C
  ^∞ _c (Ω ^c ) är tät i L ² ( T ² ) . Densitet för k < 0 följer eftersom bilden av L ² ( T ² ) är tät i H ^{− k} ( T ² ) och P _k förstör C
  ^∞ _c (Ω ^c ) .
• Kanoniska isometrier: Operatorn ( I + ∆) ^k ger en isometri av H ^{2 k}
  ₀ (Ω) till ⁰ H (Ω) och av H ^k
  ₀ (Ω) till H ^{− k} (Ω) . I själva verket följer det första påståendet eftersom det är sant på T ² . Att ( I + ∆) ^k är en isometri på H ^k
  ₀ (Ω) följer med densiteten av C
  ^∞ _c (Ω) i H ^{− k} (Ω) : för   f , g ∈ C
  ^∞ _c (Ω) har vi:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|P_{k}(I+\Delta )^{k}f\right\|_{(-k)}&=\sup _{\|g\|_ {(-k)}=1}\left|\left((I+\Delta )^{k}f,g\right)_{(-k)}\right|\\&=\sup _{\| g\|_{(-k)}=1}|(f,g)|\\&=\|f\|_{(k)}.\end{aligned}}} Eftersom den angränsande kartan mellan$

dualerna kan identifieras med denna karta, följer det att ( I + ∆) ^k är en enhetlig karta.

Ansökan till Dirichlet problem

Se även: Dirichlet-problem

Inverterbarhet av ∆

0 Operatorn ∆ definierar en isomorfism mellan H ¹
₀ (Ω) och H ⁻¹ (Ω) . I själva verket är det en Fredholm-operatör av index . Kärnan av ∆ i H ¹ ( T ² ) består av konstanta funktioner och ingen av dessa utom noll försvinner på gränsen för Ω . Därför är kärnan av H ¹
₀ (Ω) (0) och ∆ är inverterbar.

Speciellt har ekvationen ∆ f = g en unik lösning i H ¹
₀ (Ω) för g i H ⁻¹ (Ω) .

Egenvärdesproblem

Låt T vara operatorn på L ² (Ω) definierad av

$T=R_{1}\Delta ^{-1}R_{0},$

där R ₀ är inkluderingen av L ² (Ω) i H ⁻¹ (Ω) och R ₁ av H ¹
₀ (Ω) i L ² (Ω) , båda kompakta operatorer enligt Rellichs teorem. Operatören T är kompakt och självanslutande med ( Tf , f ) > 0 för alla f . Genom spektralsatsen finns det en komplett ortonormal uppsättning egenfunktioner f _n i L ² (Ω) med

$Tf_{n}=\mu _{n}f_{n},\qquad \mu _{n}>0,\mu _{n}\till 0.$

Eftersom μ _n > 0 ligger f _n i H ¹
₀ (Ω ) . Inställningen λ _n = μ _{− n} , f _n är egenfunktioner för Laplacian:

$\Delta f_{n}=\lambda _{n}f_{n},\qquad \lambda _{n}>0,\lambda _{n}\to \infty .$

Sobolev utrymmen utan gränsvillkor

För att bestämma regularitetsegenskaperna för egenfunktionerna   f _n   och lösningar av

$\Delta f=u,\qquad u\in H^{-1}(\Omega ),f\in H_{0}^{1}(\Omega ),$

Förstoringar av Sobolev-utrymmena H ^k
₀ (Ω) måste beaktas. Låt C ^∞ (Ω ⁻ ) vara rymden av jämna funktioner på Ω som med sina derivator sträcker sig kontinuerligt till Ω . Enligt Borels lemma är detta just begränsningarna för smidiga funktioner på T ² . Sobolev-utrymmet H ^k (Ω) definieras till Hilbert-utrymmets komplettering av detta utrymme för normen

$\|f\|_{(k)}^{2}=\summa _{j=0}^{k}{k \choose j}\left\|\partial _{x}^{j }\partial _{y}^{kj}f\right\|^{2}.$

Denna norm överensstämmer med Sobolev-normen på C
^∞ _c (Ω) så att H ^k
₀ (Ω) kan betraktas som ett slutet delrum av H ^k (Ω) . Till skillnad från H ^k
₀ (Ω) är H ^k (Ω) inte naturligt ett delrum av H ^k ( T ² ) , men kartan som begränsar jämna funktioner från T ² till Ω är kontinuerlig för Sobolev-normen så att den sträcker sig genom kontinuitet till en karta ρ _k : Hk ⁽ T2 ) ^→ Hk ⁽ Ω) .

• Invarians under diffeomorfism: All diffeomorfism mellan stängningarna av två släta domäner inducerar en isomorfism mellan Sobolev-rummet. Detta är en enkel konsekvens av kedjeregeln för derivat.
• Extension theorem: Begränsningen av ρ _k till det ortogonala komplementet av dess kärna definierar en isomorfism på H ^k (Ω) . Förlängningskartan Ek ₎ definieras som inversen av denna karta: den är en isomorfism (inte nödvändigtvis normbevarande) av H ^k
  ₀ (Ω ^c H k ⁽ Ω) på det ortogonala komplementet av så att ρ _k ∘ E _k = jag . På C
  ^∞ _c (Ω) stämmer det överens med kartan för naturlig inkludering. Avgränsade förlängningskartor Ek ₍ av detta slag från H ^k (Ω) till H ^k . T ² ) konstruerades först konstruerade av Hestenes och Lions För jämna kurvor ger Seeleys förlängningssats en förlängning som är kontinuerlig i alla Sobolev-normer. En version av förlängningen som gäller i det fall där gränsen bara är en Lipschitz-kurva konstruerades av Calderón med användning av singulära integraloperatorer och generaliserades av Stein (1970) .

Det är tillräckligt att konstruera en förlängning E för ett område av en sluten ring, eftersom en krage runt gränsen är diffeomorf till en ring I × T med I ett slutet intervall i T . Om du tar en jämn bumpfunktion ψ med 0 ≤ ψ ≤ 1 , lika med 1 nära gränsen och 0 utanför kragen, kommer E ( ψf ) + (1 − ψ ) f   att ge en förlängning på Ω . På Ck ( T ⁾ annulus reduceras problemet till att hitta en förlängning för ^. Ck ( I ) i Genom att använda en enhetspartition reduceras uppgiften att sträcka sig till ett område av ändpunkterna av I. Om vi ​​antar att 0 är den vänstra ändpunkten, ges en förlängning lokalt av

${\displaystyle E(f)=\summa _{m=0}^{k}a_{m}f\left(-{\frac {x}{m+1}}\right).} Matchar de första$

derivatorna av ordningen k eller mindre vid 0, ger

$\sum _{m=0}^{k}(-m-1)^{- k}a_{m}=1.$

Denna matrisekvation är lösbar eftersom determinanten är icke-noll enligt Vandermondes formel . Det är enkelt att kontrollera att formeln för E ( f ) , när den är lämpligt modifierad med bump-funktioner, leder till en förlängning som är kontinuerlig i ovanstående Sobolev-norm.

• Restriktionssats: Restriktionskartan ρ _k är surjektiv med ker ρ _k = H ^k
  ₀ (Ω ^c ) . Detta är en omedelbar konsekvens av förlängningssatsen och stödegenskaperna för Sobolev-rum med randvillkor.
• ₀ Dualitet: H ^k (Ω) är naturligtvis dualen av H ^{− k} (Ω). Återigen är detta en omedelbar konsekvens av restriktionssatsen. Sålunda bildar Sobolev-utrymmena en kedja:

$\cdots \subset H^{2} \subset H^{1}(\Omega )\subset H^{0}(\Omega )\subset H_{0}^{-1}(\Omega )\subset H_{0}^{-2}(\ Omega )\delmängd \cdots$

Differentieringsoperatorerna ∂ _x , ∂ _y bär varje Sobolev-utrymme till det större med index 1 mindre.

• Sobolevs inbäddningsteorem: H ^{k +2} (Ω) ingår i C ^k (Ω ⁻ ) . Detta är en omedelbar konsekvens av förlängningssatsen och Sobolevs inbäddningssats för H ^{k +2} ( T ² ) .
• Karakterisering: H ^k (Ω) består av   f   i ⁰ L ² (Ω) = H (Ω) så att alla derivator ∂ ^α f ligger i L ² (Ω) för |α| ≤ k . Här tas derivaten inom kedjan av Sobolev-utrymmen ovan. Eftersom C
  ^∞ _c (Ω) är svagt tät i H ^k (Ω) , är detta tillstånd ekvivalent med förekomsten av L ² funktioner f _α så att

$\left(f_{\alpha},\varphi \right)=(-1)^{|\alpha |}\left(f,\partial ^{\alpha}\varphi \right),\qquad | \alpha |\leq k,\varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega ).$

För att bevisa karaktäriseringen, notera att om   f   är i H ^k (Ω) så ligger ∂ ^α f   i H ^{k −|α|} (Ω) och därmed i ⁰ H (Ω) = L ² (Ω) . Omvänt ^är L ² ( T2 ) och resultatet välkänt för Sobolev-utrymmena ^{. för} Hk ( T2 ) : antagandet innebär att motsvarande _{Fourierkoefficienterna}   (∂ _x − i∂y ) ^kf är   i villkor på   f   visar att   f   ligger i H ^k ( T ² ) . På liknande sätt kan resultatet bevisas direkt för en annulus [− δ , δ ] × T . Faktum är att genom argumentet på T _{2 ligger} begränsningen av   f   till vilken som helst mindre ring [−δ',δ'] × T i H ^k : likaså begränsningen av funktionen   f _R ( x , y ) = f ( Rx , y ) ligger i H ^k för R > 1 . Å andra sidan    ∂ ^α f _R → ∂ ^α f i L ² som R → 1 , så att   f   måste ligga i H ^k . Fallet för en generell domän Ω reduceras till dessa två fall eftersom   f   kan skrivas som   f = ψf + (1 − ψ ) f   med ψ en bumpfunktion som stöds i Ω så att 1 − ψ stöds i en krage av gränsen.

• Regularitetssats: Om   f   i L ² (Ω) har båda derivatorna   ∂ _x f och   ∂ _y f i H ^k (Ω) så ligger   f   i H ^{k +1} (Ω) . Detta är en omedelbar konsekvens av karakteriseringen av H ^k (Ω) ovan. Faktum är att om detta är sant även när det är uppfyllt på fördelningsnivån: om det finns funktioner g , h i H ^k (Ω) så att ( g ,φ) = ( f , φ _x ) och ( h ,φ) = ( f ,φ _y ) för φ i C
  ^∞ _c (Ω) , då är   f   i H ^{k +1} (Ω) .
• Rotationer på en ring: För en ring I × T är förlängningsavbildningen till T ² genom konstruktion ekvivariant med avseende på rotationer i den andra variabeln,

$R_{t}f(x,y)=f(x,y+t).$

På T ² är det känt att om   f   är i H ^k så är skillnadskvoten _ δ _h f = h ⁻¹ ( _{_} Rhf − f → _∂yf   −   ) i Hk ^{1 ;} om skillnadskvoterna är begränsade i H ^{k så} ligger ∂ _y f i H ^k . Båda påståendena är konsekvenser av formeln:

${\displaystyle {\widehat {\delta _{h}f}}(m,n)=h^{-1}(e^{-ihn}-1){\widehat {f}}(m,n) =-\int _{0}^{1}ine^{-inht}\,dt\,\,{\widehat {f}}(m,n).} Dessa resultat$

på T ² antyder analoga resultat på annulus använder tillägget.

Regelbundenhet för Dirichlet problem

Regelbundenhet för dubbla Dirichlet-problem

Om ∆ u = f med u i H ¹
₀ (Ω) och f i H ^{k −1} (Ω) med k ≥ 0 , så ligger u i H ^{k +1} (Ω) .

Ta en sönderdelning u = ψu + (1 − ψ ) u med ψ stödd i Ω och 1 − ψ stödd i en krage av gränsen. Standard Sobolev-teori för T ² kan appliceras på ψu : elliptisk regularitet antyder att den ligger i H ^{k +1} ( T ² ) och därmed H ^{k +1} (Ω) . v = (1 − ψ ) u ligger i H ¹
₀ av en krage, diffeomorf till en ringform, så det räcker att bevisa resultatet med Ω en krage och ∆ ersatt av

${\begin{aligned}\Delta _{1}&=\Delta -[\Delta ,\psi ]\\&=\Delta +\left(p\partial _{x}+q\partial _{ y}-\Delta \psi \right)\\&=\Delta +X.\end{aligned}}$

Beviset fortsätter genom induktion på k , vilket samtidigt bevisar olikheten

$\|u\|_{(k+1)}\leq C\| \Delta _{1}u\|_{(k-1)}+C\|u\|_{(k)},$

för någon konstant C endast beroende av k . Det är enkelt att fastställa denna olikhet för k = 0 , där densiteten u kan anses vara jämn för kompakt stöd i Ω :

${\begin{aligned}\|u\|_{(1)}^{2}&=|(\Delta u,u)|\\&\leq |(\Delta _{1}u, u)|+|(Xu,u)|\\&\leq \|\Delta _{1}u\|_{(-1)}\|u\|_{(1)}+C^{\ primtal }\|u\|_{(1)}\|u\|_{(0)}.\end{aligned}}$

Kragen är diffeomorf till en annulus. Rotationsflödet Rt _vektorfält på ringen inducerar ett flöde _St på kragen med motsvarande Y = r ∂ _x + s ∂ _y . Y motsvarar alltså vektorfältet ∂ _θ . Det radiella vektorfältet på ringen r ∂ _r är ett pendlande vektorfält som på kragen ger ett vektorfält Z = p ∂ _x + q ∂ _y proportionellt mot det normala vektorfältet. Vektorfälten Y och Z pendlar.

0 Skillnadskvoterna δ _h u kan bildas för flödet S _t . Kommutatorerna [ δ _h , ∆ ₁ ] är andra ordningens differentialoperatorer från H ^{k +1} (Ω) till H ^{k −1} (Ω) . Deras operatörsnormer är enhetligt begränsade för h nära ; för beräkningen kan utföras på annulus där kommutatorn bara ersätter koefficienterna för ∆ ₁ med deras differenskvoter sammansatta med S _h . Å andra sidan v = δ _h u i H ¹
₀ (Ω) , så ojämlikheterna för u gäller lika bra för v :

${\begin{aligned}\|\delta _{h}u\|_{(k+1)}&\leq C\|\Delta _{1}\delta _{h}u\|_ {(k-1)}+C\|\delta _{h}u\|_{(k)}\\&\leq C\|\delta _{h}\Delta _{1}u\|_ {(k-1)}+C\|[\delta _{h},\Delta _{1}]u\|_{(k-1)}+C\|\delta _{h}u\| _{(k)}\\&\leq C\|\Delta _{1}u\|_{(k)}+C^{\prime }\|u\|_{(k+1)}. \end{aligned}}$

Den enhetliga begränsningen av skillnadskvotienterna δ _h u innebär att Yu ligger i H ^{k +1} (Ω) med

$\|Yu\|_{(k+1)}\leq C\|\Delta _{1}u\|_{(k)}+C^{\prime }\|u\|_{ (k+1)}.$

Det följer att Vu ligger i H ^{k +1} (Ω) där V är vektorfältet

$V={\frac {Y}{\sqrt {r^{2}+s^{2 }}}}=a\partial _{x}+b\partial _{y},\qquad a^{2}+b^{2}=1.$

Dessutom uppfyller Vu en liknande ojämlikhet som Yu .

$\|Vu\|_{(k+1)}\leq C^{\prime \prime }\left(\|\Delta _{1}u\|_{(k)}+\|u \|_{(k+1)}\höger).$

Låt W vara det ortogonala vektorfältet

$W=-b\partial _{x}+a\partial _{y}.$

Det kan också skrivas som ξZ för någon smidig ingenstans försvinnande funktion ξ på ett område av kragen.

Det räcker med att visa att Wu ligger i H ^{k +1} (Ω) . Ty då

$(V\pm iW)u=(a\mp ib)\left(\partial _{x} \pm i\partial _{y}\right)u,$

så att ∂ _x u och ∂ _y u ligger i H ^{k +1} (Ω) och u måste ligga i H ^{k +2} (Ω) .

För att kontrollera resultatet på Wu räcker det att visa att VWu och W ² u ligger i H ^k (Ω) . Anteckna det

${\begin{aligned}A&=\Delta -V^{2}-W^{2},\\B&=[V ,W],\end{aligned}}$

är vektorfält. Men då

${\begin{aligned}W^{2}u&=\Delta uV^{2}u- Au,\\VWu&=WVu+Bu,\end{aligned}}$

med alla termer på höger sida i H ^k (Ω) . Dessutom visar ojämlikheterna för Vu det

${\begin{aligned}\|Wu\|_{(k+1)}&\leq C\left(\|VWu\|_{(k)}+\left\|W^{2} u\right\|_{(k)}\right)\\&\leq C\left\|\left(\Delta -V^{2}-A\right)u\right\|_{(k) }+C\|(WV+B)u\|_{(k)}\\&\leq C_{1}\|\Delta _{1}u\|_{(k)}+C_{1} \|u\|_{(k+1)}.\end{aligned}}$

Därav

${\begin{aligned}\|u\|_{(k+2)}&\leq C\left(\|Vu\|_{(k+1)}+\|Wu\|_{ (k+1)}\right)\\&\leq C^{\prime }\|\Delta _{1}u\|_{(k)}+C^{\prime }\|u\|_ {(k+1)}.\end{aligned}}$

Jämnhet av egenfunktioner

Det följer genom induktion från regularitetssatsen för det dubbla Dirichlet-problemet att egenfunktionerna för ∆ i H ¹
₀ (Ω) ligger i C ^∞ (Ω ⁻ ) . Dessutom måste varje lösning av ∆ u = f med f i C ^∞ (Ω ⁻ ) och u i H ¹
₀ (Ω) ha u i C ^∞ (Ω ⁻ ) . I båda fallen av försvinnande egenskaper försvinner egenfunktionerna och u på gränsen för Ω .

Löser Dirichlet-problemet

Det dubbla Dirichlet-problemet kan användas för att lösa Dirichlet-problemet:

${\begin{cases}\Delta f|_{\Omega }=0\\f|_{\partial \Omega }=g&g\in C^{ \infty }(\partial \Omega )\end{cases}}$

Med Borels lemma g är begränsningen av en funktion G i C ^∞ (Ω ⁻ ) . Låt F vara den jämna lösningen av ∆ F = ∆ G med F = 0 på ∂Ω . Då f = G − F Dirichlet-problemet. Enligt maximalprincipen är lösningen unik.

Tillämpning för att jämna ut Riemanns kartläggningssats

Lösningen på Dirichlet-problemet kan användas för att bevisa en stark form av Riemanns kartläggningssats för enkelt sammankopplade domäner med jämn gräns. Metoden är även tillämplig på en region som är diffeomorf till en annulus. För flerfaldigt anslutna regioner med jämn gräns Schiffer & Hawley (1962) gett en metod för att kartlägga regionen på en skiva med cirkulära hål. Deras metod går ut på att lösa Dirichlet-problemet med ett icke-linjärt randvillkor. De konstruerar en funktion g så att:

• g är harmonisk i det inre av Ω ;
• På ∂Ω har vi: ∂ _n g = κ − Ke ^G , där κ är gränskurvans krökning, ∂ _n är derivatan i riktningen normal till ∂Ω och K är konstant på varje gränskomponent.

0 Taylor (2011) ger ett bevis på Riemanns kartläggningssats för en enkelt ansluten domän Ω med jämn gräns. Om man översätter vid behov kan det antas att 0 ∈ Ω . Lösningen av Dirichlet-problemet visar att det finns en unik jämn funktion U ( z ) på Ω som är harmonisk i Ω och är lika med −log| z | på ∂Ω . Definiera Greens funktion med G ( z ) = log| z | + U ( z ) . Den försvinner på ∂Ω och är harmonisk på Ω borta från . Det harmoniska konjugatet V av U är den unika reella funktionen på Ω så att U + iV är holomorft. Som sådan måste den uppfylla Cauchy-Riemanns ekvationer :

${\begin{aligned}U_{x}&=-V_{y},\\U_{y}&=V_{x}.\end{aligned}}$

Lösningen ges av

$V(z)=\int _{0}^{z}-U_{y}dx+V_{x}dy,$

0 där integralen tas över valfri väg i Ω . Det är lätt att verifiera att V _x och V _y existerar och ges av motsvarande derivator av U . V är alltså en jämn funktion på Ω , som försvinner vid . Enligt Cauchy-Riemann   f = U + iV jämn på Ω , holomorf på Ω och   f (0) = 0 . Funktionen H = arg z + V ( z ) definieras endast upp till multiplar av 2 π , men funktionen

$F(z)=e^{G(z)+iH(z)}=ze^{f( z)}$

är en holomorf på Ω och slät på Ω . Genom konstruktion F (0) = 0 och | F ( z )| = 1 för z ∈ ∂Ω . Eftersom z har lindningsnummer 1 , har F ( z ) det också . Å andra sidan är F ( z ) = 0 endast för z = 0 där det finns en enkel nolla. Så genom argumentprincipen antar F varje värde i enhetsskivan, D , exakt en gång och F′ försvinner inte inuti Ω . Att kontrollera att derivatan på gränskurvan är icke-noll motsvarar att beräkna derivatan av e ^iH , dvs derivatan av H bör inte försvinna på gränskurvan. Genom Cauchy-Riemann-ekvationerna är dessa tangentiella derivator upp till ett tecken riktningsderivatan i riktning mot normalen till gränsen. Men G försvinner på gränsen och är strikt negativ i Ω eftersom | F | = eG ^_ . Hopf -lemmat antyder att riktningsderivatan av G i riktning mot den utåtriktade normalen är strikt positiv. Så på gränskurvan F ingen försvinnande derivata. Eftersom gränskurvan har lindning nummer ett, F en diffeomorfism av gränskurvan på enhetscirkeln. Följaktligen F : Ω → D en jämn diffeomorfism, som begränsar till en holomorf karta Ω → D och en jämn diffeomorfism mellan gränserna.

Liknande argument kan användas för att bevisa Riemanns avbildningssats för en dubbelt sammankopplad domän Ω Co _som begränsas av enkla jämna kurvor Ci _. (den inre kurvan) och (den yttre kurvan) Genom att översätta kan vi anta att 1 ligger på den yttre gränsen. Låt u vara den jämna lösningen av Dirichlet-problemet med U = 0 på den yttre kurvan och −1 på den inre kurvan. Enligt maximiprincipen 0 < u ( z ) < 1 för z i Ω och så enligt Hopf-lemmat är normalderivatorna av u negativa på den yttre kurvan och positiva på den inre kurvan. Integralen av − u _y dx + u _y dx över gränsen är noll enligt Stokes sats så bidragen från gränskurvorna upphävs. Å andra sidan, på varje gränskurva är bidraget integralen av normalderivatan längs gränsen. Så det finns en konstant c > 0 så att U = cu uppfyller

$\int _{C}\left(-U_{y}\,dx+U_{x}\,dy\right)=2 \pi$

på varje gränskurva. Det harmoniska konjugatet V av U kan återigen definieras av

$V(z)=\int _{1}^{z}-u_{y}\,dx+u_{x}\ ,dy$

och är väldefinierad upp till multiplar av 2 π . Funktionen

$\displaystyle {F(z)=e^{U(z)+iV(z)}}$

0 är jämn på Ω och holomorf i Ω . På den yttre kurvan | F | = 1 och på den inre kurvan | F | = e ^{- c} = r < 1 . De tangentiella derivatorna på de yttre kurvorna försvinner ingenstans av Cauchy-Riemann-ekvationerna, eftersom normalderivatorna ingenstans försvinner. Normaliseringen av integralerna innebär att F begränsar till en diffeomorfism mellan gränskurvorna och de två koncentriska cirklarna. Eftersom bilderna av yttre och inre kurva har lindningsnummer 1 och ungefär vilken punkt som helst i ringen, innebär en tillämpning av argumentprincipen att F antar varje värde inom ringen r < | z | < 1 exakt en gång; eftersom det inkluderar multipliciteter försvinner den komplexa derivatan av F ingenstans i Ω . Detta F är en jämn diffeomorfism av Ω på den slutna ringen r ≤ | z | ≤ 1 , begränsande till en holomorf karta i det inre och en jämn diffeomorfism på båda gränskurvorna.

Spåra karta

Restriktionskartan τ : C∞ ⁽ T2 ) C∞ ⁽ T ) ⁽ C∞ ⁽ 1× T ) sträcker T ) ^{för sig} ( T2 ) →Hk ^{− ½} → = till en kontinuerlig karta k≥1 Hk . Faktiskt

$\displaystyle {{\widehat {\tau f}}(n)=\summa _{m}{\widehat {f}}( m,n),}$

så Cauchy–Schwarz-ojämlikheten ger

${\begin{aligned}\left|{\widehat {\tau f}}(n)\right|^{2}\left(1+n^ {2}\right)^{k-{\frac {1}{2}}}&\leq \left(\summa _{m}{\frac {\left(1+n^{2}\right) ^{k-{\frac {1}{2}}}}{\left(1+m^{2}+n^{2}\right)^{k}}}\right)\left(\summa _{m}\left|{\widehat {f}}(m,n)\right|^{2}\left(1+m^{2}+n^{2}\right)^{k}\ höger)\\&\leq C_{k}\summa _{m}\left|{\widehat {f}}(m,n)\right|^{2}\left(1+m^{2}+ n^{2}\right)^{k},\end{aligned}}$

där, genom integraltestet ,

${\begin{aligned}C_{k}&=\sup _{n}\sum _{m}{\frac {\left(1+n^{2 }\right)^{k-{\frac {1}{2}}}}{\left(1+m^{2}+n^{2}\right)^{k}}}<\infty , \\c_{k}&=\inf _{n}\sum _{m}{\frac {\left(1+n^{2}\right)^{k-{\frac {1}{2} }}}{\left(1+m^{2}+n^{2}\right)^{k}}}>0.\end{aligned}}$

Kartan τ är på eftersom en − ^{½ (} T ) Hk ⁽ T2 ) . ^kontinuerlig förlängningskarta E kan konstrueras från Hk till Faktiskt inställd

${\widehat {Eg}}( m,n)=\lambda _{n}^{-1}{\widehat {g}}(n){\frac {\left(1+n^{2}\right)^{k-{\frac {1}{2}}}}{\left(1+n^{2}+m^{2}\right)^{k}}},$

var

$\lambda _{n}=\summa _{m}{\frac {\left(1+n^{2}\right)^{k-{\frac {1}{2}}}}{ \left(1+m^{2}+n^{2}\höger)^{k}}}.$

Således c _k < λ _n < C _k . Om g är jämn, så begränsas genom konstruktion Egen till g på 1 × T . Dessutom är E en avgränsad linjär karta sedan dess

${\begin{aligned}\|Eg\|_{(k)}^{2}&=\sum _{m,n}\left|{\widehat {Eg}}(m,n)\ höger|^{2}\left(1+m^{2}+n^{2}\right)\\&\leq c_{k}^{-2}\summa _{m,n}\left| {\widehat {g}}(n)\right|^{2}{\frac {\left(1+n^{2}\right)^{2k-1}}{\left(1+m^{ 2}+n^{2}\höger)^{k}}}\\&\leq c_{k}^{-2}C_{k}\|g\|_{k-{\frac {1} {2}}}^{2}.\end{aligned}}$

Det följer att det finns en spårkarta τ av H ^k (Ω) på H ^{k − ½} (∂Ω). Ta faktiskt ett rörformigt område av gränsen och en jämn funktion ψ stödd i kragen och lika med 1 nära gränsen. Multiplikation med ψ överför funktioner till H ^k i kragen, som kan identifieras med H ^k i en ring för vilken det finns en spårkarta. Invariansen under diffeomorfismer (eller koordinatförändring) för halvheltals Sobolev-rymden på cirkeln följer av det faktum att en ekvivalent norm på H ^{k + ½} ( T ) ges av

$\|f\|_{[k+{\frac {1}{2}}]}^{2}=\|f\|_{(k)}^{2}+\int _{0 }^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|f^{(k)}(s)-f^{(k)}(t)\right| ^{2}}{\left|e^{är}-e^{it}\right|^{2}}}\,ds\,dt.$

Det är också en konsekvens av egenskaperna hos τ och E ("spårsatsen"). Faktum är att varje diffeomorfism f av T inducerar en diffeomorfism F av T ² genom att endast verka på den andra faktorn. Invarians av H ^k ( T ² ) under den inducerade kartan F * innebär därför invarians av H ^{k − ½} ( T ) under f *, eftersom f * = τ ∘ F * ∘ E .

Ytterligare konsekvenser av spårsatsen är de två exakta sekvenserna

$(0)\to H_{0}^{1}(\Omega )\to H^{ 1}(\Omega )\to H^{\frac {1}{2}}(\partial \Omega )\to (0)$

och

$(0)\to H_{0}^{2} (\Omega )\to H^{2}(\Omega )\to H^{\frac {3}{2}}(\partial \Omega )\oplus H^{\frac {1}{2}}( \partial \Omega )\to (0),$

där den sista kartan tar f i H ² (Ω) till f | _∂Ω och ∂ _n f | _∂Ω . Det finns generaliseringar av dessa sekvenser till H ^k (Ω) som involverar högre potenser av normalderivatan i spårningskartan:

$(0)\to H_{0}^{k}(\Omega )\to H^{k}(\Omega )\to \bigoplus _{j=1}^{k}H^{j- {\frac {1}{2}}}(\partial \Omega )\to (0).$

Spåravbildningen till H ^{j − ½} (∂Ω) tar f till ∂
^{k − j} _n f | _∂Ω

Abstrakt formulering av gränsvärdesproblem

Sobolevs rymdsyn på Neumann-problemet kan inte formuleras lika direkt som den för Dirichlet-problemet. Det främsta skälet är att för en funktion f i H ¹ (Ω) , normalderivatan ∂ _n f | _∂Ω kan inte a priori definieras på nivån för Sobolev-utrymmen. Istället används en alternativ formulering av gränsvärdesproblem för Laplacian Δ på ett avgränsat område Ω i planet. Den använder Dirichlet-former , sesqulinjära bilinjära former på H ¹ (Ω) , H ¹
₀ (Ω) eller ett mellanliggande slutet underrum. Integration över gränsen är inte involverad i att definiera Dirichlet-formen. Istället, om Dirichlet-formen uppfyller ett visst positivitetsvillkor, kallat tvångskraft , kan lösningen visa sig existera i en svag mening, så kallade "svaga lösningar". En generell regularitetssats antyder att lösningarna av gränsvärdesproblemet måste ligga i H ² (Ω) , så att de är starka lösningar och uppfyller randvillkor som involverar begränsning av en funktion och dess normalderivata till gränsen. Dirichlet-problemet kan lika väl formuleras i dessa termer, men eftersom spårkartan f | _∂Ω är redan definierad på H ¹ (Ω) , Dirichlet-former behöver inte nämnas explicit och operatorformuleringen är mer direkt. En enhetlig diskussion ges i Folland (1995) och sammanfattas kort nedan. Det förklaras hur Dirichlet-problemet, som diskuterats ovan, passar in i detta ramverk. Därefter ges en detaljerad behandling av Neumann-problemet ur denna synvinkel efter Taylor (2011) .

Hilberts rymdformulering av gränsvärdesproblem för Laplacian Δ på ett avgränsat område Ω i planet utgår från följande data:

• Ett slutet delrum H ¹
  ₀ (Ω) ⊆ H ⊆ H ¹ (Ω) .
• En Dirichlet-form för Δ given av en avgränsad hermitisk bilinjär form D ( f , g ) definierad för f , g ∈ H ¹ (Ω) så att D ( f , g ) = (∆ f , g ) för f , g ∈ H ¹
  ₀ (Ω) .
• D är tvångsmässigt, dvs det finns en positiv konstant C och en icke-negativ konstant λ så att D ( f , f ) ≥ C ( f , f ) ₍₁₎ − λ ( f , f ) .

En svag lösning av gränsvärdesproblemet givet initiala data f i L ² (Ω) är en funktion u uppfyller

$D(f,g)=(u,g)$

för alla g .

För både Dirichlet och Neumann problemet

$D(f,g)=\left(f_{x},g_{x}\right)+\left(f_{y},g_{y}\right).$

För Dirichlet-problemet H = H ¹
₀ (Ω) . I detta fall

$D(f,g)=(\Delta f,g),\qquad f,g\in H.$

Med spårsatsen uppfyller lösningen u | _Ω = 0 i H ^½ (∂Ω) .

För Neumann-problemet antas H vara H ¹ (Ω) .

Applikation på Neumann-problem

Det klassiska Neumann-problemet på Ω består i att lösa gränsvärdesproblemet

${\begin{cases}\Delta u=f,&f,u\in C^{\infty } (\Omega ^{-}),\\\partial _{n}u=0&{\text{on }}\partial \Omega \end{cases}}$

Greens teorem innebär att för u , v ∈ C ^∞ (Ω ⁻ )

$(\Delta u,v)=(u_{x},v_{x})+(u_{y},v_{y})-(\partial _{n}u,v)_{\partial \Omega }.$

Således om Δ u = 0 i Ω och uppfyller Neumann-gränsvillkoren, u _x = u _y = 0 , och så är u konstant i Ω .

Därför har Neumann-problemet en unik lösning till att lägga till konstanter.

Betrakta den hermitiska formen på H ¹ (Ω) definierad av

$\displaystyle {D(f,g)=(u_{x},v_{x})+(u_{y},v_{y}).}$

Eftersom H ¹ (Ω) är i dualitet med H ⁻¹
₀ (Ω) , finns det ett unikt element Lu i H ⁻¹
₀ (Ω) så att

$\displaystyle {D(u,v)=(Lu,v).}$

Kartan I + L är en isometri av H ¹ (Ω) till H ⁻¹
₀ (Ω) , så i synnerhet är L avgränsad.

Faktiskt

$((L+I)u,v)=(u,v)_{(1)}.$

Så

$\|(L+I)u\|_{(-1)}=\sup _{\|v\|_{(1)}=1}|((L+I)u,v) |=\sup _{\|v\|_{(1)}=1}|(u,v)_{(1)}|=\|u\|_{(1)}.$

Å andra sidan definierar vilken f ( f , v )   i   H −1 ⁽
₀ Ω) som helst en avgränsad konjugat-linjär form på H ¹ (Ω) som skickar v till . Enligt Riesz–Fischer-satsen finns det u ∈ H ¹ (Ω) så att

$\displaystyle {(f,v)=(u,v)_{(1)}.}$

Därför ( L + I ) u = f   och så L + I är surjektiv. Definiera en avgränsad linjär operator T på L ² (Ω) med

$T=R_{1}(I+L)^{-1}R_{0},$

där R ₁ är kartan H ¹ (Ω) → L ² (Ω) , en kompakt operator, och R ₀ är kartan L ² (Ω) → H ⁻¹
₀ (Ω) , dess adjoint, alltså också kompakt.

Operatören T har följande egenskaper:

• T är en sammandragning eftersom det är en sammansättning av sammandragningar
• T är kompakt, eftersom R ₀ och R ₁ är kompakta enligt Rellichs teorem
• T är självadjoint, eftersom om   f , g ∈ L ² (Ω) , kan de skrivas   f = ( L + I ) u , g = ( L + I ) v med u , v ∈ H ¹ (Ω) så

$(Tf,g)=(u,(I+L)v)=(u,v)_{(1)}=((I+L)u,v)=(f,Tg).$

• T har positivt spektrum och kärna (0) , för

$(Tf,f)=(u,u)_{(1)}\geq 0,$

och Tf = 0 innebär u = 0 och därmed f = 0 .

• Det finns en fullständig ortonormal bas   f _n av L ² (Ω) som består av egenfunktioner av T . Således

$Tf_{n}=\mu _{n}f_{n}$

0 med 0 < μ _n ≤ 1 och μ _n minskar till .

• Egenfunktionerna ligger alla i H ¹ (Ω) eftersom bilden av T ligger i H ¹ (Ω) .
• fn är   _{egenfunktioner} till L med

$\displaystyle {Lf_{n}=\lambda _{n}f_{n},\qquad \lambda _{n}= \mu _{n}^{-1}-1.}$

Således är λ _n icke-negativa och ökar till ∞ .

• 0 Egenvärdet uppstår med multiplicitet ett och motsvarar konstantfunktionen. För om u ∈ H ¹ (Ω) uppfyller Lu = 0 , då

$(u_{x},u_{ x})+(u_{y},u_{y})=(Lu,u)=0,$

så u är konstant.

Regelbundenhet för Neumann-problem

Svaga lösningar är starka lösningar

Det första huvudsakliga regularitetsresultatet visar att en svag lösning uttryckt i termer av operatorn L och Dirichletformen D är en stark lösning i klassisk mening, uttryckt i termer av de laplaciska Δ och Neumann-gränsvillkoren. Således om u = Tf   med u ∈ H ¹ (Ω), f ∈ L ² (Ω) , så uppfyller u ∈ H ² (Ω) , Δ u + u = f   och ∂ _n u | _∂Ω = 0 . Dessutom, för en konstant C oberoende av u ,

$\|u\|_{(2)}\leq C\|\Delta u\|_{(0)}+C\|u\|_{(1)}.$

Anteckna det

$\|u\|_{(1)}\leq \|Lu\|_{(-1)} +\|u\|_{(0)},$

eftersom

${\begin{aligned}\|u\|_{(1)}^{2}&=|(Lu,u)|+\|u\|_{(0)}^{2}\ \&\leq \|Lu\|_{(-1)}\|u\|_{(1)}+\|u\|_{(0)}\|u\|_{(1)} .\end{aligned}}$

Ta en sönderdelning u = ψu + (1 − ψ ) u med ψ stödd i Ω och 1 − ψ stödd i en krage av gränsen.

Operatören L kännetecknas av

$(Lf,g)=\left(f_{x},g_{x}\right)+\left(f_{y},g_{y}\right)=(\Delta f,g)_{ \Omega }-\left(\partial _{n}f,g\right)_{\partial \Omega },\qquad f,g\in C^{\infty }(\Omega ^{-}).$

Sedan

$([L,\psi ]f,g)=([\Delta ,\psi ]f,g),$

så att

$\displaystyle {[L,\psi ]=-[L,1-\psi ]=\Delta \psi +2\psi _{x}\partial _{x}+2\psi _{y}\ partiell _{y}.}$

Funktionen v = ψu och w = (1 − ψ ) u behandlas separat, varvid v i huvudsak är föremål för vanliga elliptiska regularitetsöverväganden för inre punkter medan w kräver specialbehandling nära gränsen med användning av differenskvotienter. När de starka egenskaperna väl har etablerats i termer av ∆ och Neumann-gränsvillkoren, kan "bootstrap"-regelbundenhetsresultaten bevisas exakt som för Dirichlet-problemet.

Inredningsuppskattningar

Funktionen v = ψu ligger i H ¹
₀ (Ω ₁ ) där Ω ₁ är en region med stängning i Ω . Om   f ∈ C
^∞ _c (Ω) och g ∈ C ^∞ (Ω ⁻ )

$(Lf,g)=(\Delta f,g)_{\Omega }.$

Med kontinuitet gäller samma sak med   f   ersatt av v och därmed Lv = ∆ v . Så

$\Delta v=Lv=L(\psi u)=\psi Lu+[L,\psi ]u=\psi (fu)+[\Delta ,\psi ]u.$

Därför betraktar v som ett element av H ¹ ( T ² ) , ∆ v ∈ L ² ( T ² ) . Därför v ∈ H ² ( T ² ) . Eftersom v = φv för φ ∈ C
^∞ _c (Ω) , har vi v ∈ H ²
₀ (Ω) . Dessutom,

$\|v\|_{(2)}^{2}=\|\Delta v\|^ {2}+2\|v\|_{(1)}^{2},$

så att

$\|v\|_{(2)}\leq C\left(\|\Delta (v)\|+\|v\|_{(1)}\right).$

Gränsuppskattningar

Funktionen w = (1 − ψ ) u stöds i en krage som finns i ett rörformigt område av gränsen. Skillnadskvotienterna δ _h w kan bildas för flödet S _t och ligga i H ¹ (Ω) , så den första olikheten är tillämplig:

${\begin{aligned}\|\delta _{h}w\|_{(1)}&\leq \|L\delta _{h}w\|_{(-1)}+\ |\delta _{h}w\|_{(0)}\\&\leq \|[L,\delta _{h}]w\|_{(-1)}+\|\delta _{ h}Lw\|_{(-1)}+\|\delta _{h}w\|_{(0)}\\&\leq \|[L,\delta _{h}]w\| _{(-1)}+C\|Lw\|_{(0)}+C\|w\|_{(1)}.\end{aligned}}$

Kommutatorerna [ L , δ _h ] är enhetligt bundna som operatorer från H ¹ (Ω) till H ⁻¹
₀ (Ω) . Detta motsvarar att kontrollera ojämlikheten

$\left|\left(\left[L,\delta _{h}\right]g,h\right)\right|\leq A \|g\|_{(1)}\|h\|_{(1)},$

för g , h smidiga funktioner på en krage. Detta kan kontrolleras direkt på en annulus, med användning av invarians av Sobolev Rh _- rum under dffeomorfismer och det faktum att för annulus erhålls kommutatorn för δ _h med en differentialoperator genom att tillämpa skillnadsoperatorn på koefficienterna efter att ha applicerat på funktionen :

$\left[\delta ^{h},\sum a_{\alpha }\partial ^{\alpha }\right]=\left(\delta ^{h}(a_{\alpha})\circ R_ {h}\right)\partial ^{\alpha }.$

Därför är skillnadskvotienterna δ _h w enhetligt begränsade, och därför är Yw ∈ H ¹ (Ω) med

$\|Yw\|_{(1)}\leq C\|Lw\|_{(0)}+C^{\prime }\|w\|_{(1)}.$

Därför uppfyller Vw ∈ H ¹ (Ω) och Vw en liknande olikhet som Yw :

$\|Vw\|_{(1)}\leq C^{\prime \prime }\left(\|Lw\|_{(0)}+\|w\|_{(1)} \höger).$

Låt W vara det ortogonala vektorfältet. När det gäller Dirichlet-problemet, för att visa att w ∈ H ² (Ω) , räcker det att visa att Ww ∈ H ¹ (Ω) .

För att kontrollera detta räcker det att visa att VWw , W ² u ∈ L ² (Ω) . Som förut

${\begin{aligned}A&=\Delta -V^{2}-W^{2}\\B&=[V,W] \end{aligned}}$

är vektorfält. Å andra sidan, ( Lw , φ ) = (∆ w , φ ) för φ ∈ C
^∞ _c (Ω) , så att Lw och ∆ w definierar samma fördelning på Ω . Därav

${\begin{aligned}\left(W^{2}w,\varphi \right)&=\left(Lw-V^{2}w-Au,\varphi \right),\\(VWw ,\varphi )&=(WVw+Bw,\varphi ).\end{aligned}}$

Eftersom termerna på höger sida är parningar med funktioner i L ² (Ω) visar regularitetskriteriet att Ww ∈ H ² (Ω) . Därför är Lw = ∆ w eftersom båda termerna ligger i L ² (Ω) och har samma inre produkter med φ :s.

visar ojämlikheterna för Vw det

${\begin{aligned}\|Ww\|_{(1)}&\leq C\left(\|VWw\|_{(0)}+\left\|W^{2}w\ höger\|_{(0)}\höger)\\&\leq C\left\|\left(\Delta -V^{2}-A\right)w\right\|_{(0)}+ C\|(WV+B)w\|_{(0)}\\&\leq C_{1}\|Lw\|_{(0)}+C_{1}\|w\|_{( 1)}.\end{aligned}}$

Därav

${\begin{aligned}\|w\|_{(2)}&\leq C\left(\|Vw\|_{(1)}+\|Ww\|_{(1)} \right)\\&\leq C^{\prime }\|\Delta w\|_{(0)}+C^{\prime }\|w\|_{(1)}.\end{aligned }}$

Det följer att u = v + w ∈ H ² (Ω) . Dessutom,

${\begin{aligned}\|u\|_{(2)}&\leq C\left(\|\Delta v\|+\|\Delta w\|+\|v\|_{ (1)}+\|w\|_{(1)}\höger)\\&\leq C^{\prime }\left(\|\psi \Delta u\|+\|(1-\psi )\Delta u\|+2\|[\Delta ,\psi ]u\|+\|u\|_{(1)}\right)\\&\leq C^{\prime \prime }\left (\|\Delta u\|+\|u\|_{(1)}\right).\end{aligned}}$

Neumann randvillkor

Eftersom u ∈ H ² (Ω) , är Greens sats applicerbar genom kontinuitet. Alltså för v ∈ H ¹ (Ω) ,

${\begin{aligned}(f,v)&=(Lu,v)+(u,v)\\&=(u_{x},v_{x})+(u_{y},v_ {y})+(u,v)\\&=((\Delta +I)u,v)+(\partial _{n}u,v)_{\partial \Omega }\\&=(f ,v)+(\partial _{n}u,v)_{\partial \Omega }.\end{aligned}}$

Därför är Neumann-gränsvillkoren uppfyllda:

$\partial _{n}u|_{\partial \Omega }=0,$

där den vänstra sidan betraktas som ett element av H ^½ (∂Ω) och därmed L ² (∂Ω) .

Regelbundenhet hos starka lösningar

Huvudresultatet här anger att om u ∈ H ^{k +1} ( k ≥ 1), ∆ u ∈ H ^k och ∂ _n u | _∂Ω = 0 , sedan u ∈ H ^{k +2} och

$\|u\|_{(k+2)}\leq C\|\ Delta u\|_{(k)}+C\|u\|_{(k+1)},$

för vissa konstant oberoende av u .

Liksom motsvarande resultat för Dirichlet-problemet, bevisas detta genom induktion på k ≥ 1 . För k = 1 är u också en svag lösning på Neumann-problemet , så det uppfyller uppskattningen ovan för k = 0 . Neumann-gränsvillkoret kan skrivas

$Zu|_{\partial \Omega }=0.$

Eftersom Z pendlar med vektorfältet Y som motsvarar periodflödet S _t , fungerar den induktiva bevismetoden som används för Dirichlet-problemet lika bra i detta fall: för skillnadskvoterna δ ^h bevara gränsvillkoret när det uttrycks i termer av Z .

Jämnhet av egenfunktioner

Det följer genom induktion från regularitetssatsen för Neumannproblemet att egenfunktionerna för D i H ¹ (Ω) ligger i C ^∞ (Ω ⁻ ) . Dessutom måste varje lösning av Du = f   med   f   i C ^∞ (Ω ⁻ ) och u i H ¹ (Ω) ha u i C ^∞ (Ω ⁻ ) . I båda fallen av försvinnande egenskaper försvinner normalderivatorna av egenfunktionerna och u på ∂Ω .

Löser det associerade Neumann-problemet

Metoden ovan kan användas för att lösa det associerade Neumann-gränsvärdesproblemet:

${\begin{cases}\Delta f|_{\Omega }=0\\\partial _{n}f|_{\partial \Omega }= g&g\in C^{\infty }(\partial \Omega )\end{cases}}$

Med Borels lemma g är begränsningen av en funktion G ∈ C ^∞ (Ω ⁻ ) . Låt F vara en jämn funktion så att ∂ _n F = G nära gränsen. Låt u vara lösningen av ∆ u = −∆ F med ∂ _n u = 0 . Då   f = u + F gränsvärdesproblemet.

Anteckningar

•   John, Fritz (1982), Partiella differentialekvationer , Applied Mathematical Sciences, vol. 1 (4:e upplagan), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6
•   Bers, Lipman; John, Fritz; Schechter, Martin (1979), Partiella differentialekvationer, med tillägg av Lars Gȧrding och AN Milgram , Lectures in Applied Mathematics, vol. 3A, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0049-3
•   Agmon, Shmuel (2010), Föreläsningar om elliptiska gränsvärdesproblem , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4910-1
• Stein, Elias M. (1970), Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions , Princeton University Press
•   Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2006), Funktionsteori för en komplex variabel , Graduate Studies in Mathematics, vol. 40 (3:e upplagan), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3962-4
•   Taylor, Michael E. (2011), Partiella differentialekvationer I. Basic theory , Applied Mathematical Sciences, vol. 115 (andra upplagan), Springer, ISBN 978-1-4419-7054-1
•   Zimmer, Robert J. (1990), Essential results of functional analysis , Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, ISBN 0-226-98337-4
•   Folland, Gerald B. (1995), Introduktion till partiella differentialekvationer (2:a upplagan), Princeton University Press, ISBN 0-691-04361-2
•   Chazarain, Jacques; Piriou, Alain (1982), Introduktion till teorin om linjära partiella differentialekvationer , Studier i matematik och dess tillämpningar, vol. 14, Elsevier, ISBN 0-444-86452-0
•   Bell, Steven R. (1992), The Cauchy transform, potential theory, and conformal mapping , Studies in Advanced Mathematics, CRC Press, ISBN 0-8493-8270-X
•   Warner, Frank W. (1983), Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups , Graduate Texts in Mathematics, vol. 94, Springer, ISBN 0-387-90894-3
•   Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of Algebraic Geometry , Wiley Interscience, ISBN 0-471-05059-8
• Courant, R. (1950), Dirichlet's Principle, Conformal Mapping, and Minimal Surfaces , Interscience
• Schiffer, M.; Hawley, NS (1962), "Connections and conformal mapping", Acta Math. , 107 (3–4): 175–274, doi : 10.1007/bf02545790
•   Hörmander, Lars (1990), Analysen av linjära partiella differentialoperatorer, I. Distribution theory and Fourier analysis (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-52343-X
•   Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004), An Introduction to Partial Differential Equations , Texts in Applied Mathematics, vol. 13 (andra upplagan), Springer, ISBN 0-387-00444-0