Weyl algebra

I abstrakt algebra är Weyl -algebra ringen av differentialoperatorer med polynomkoefficienter (i en variabel), nämligen uttryck för formen

f_{m}(X)\partial _{X}^{m}+f_{m-1}(X)\partial _{X}^{m-1}+\cdots +f_{1} (X)\partial _{X}+f_{0}(X).

Mer exakt, låt F vara det underliggande fältet och låt F [ X ] vara ringen av polynom i en variabel, X , med koefficienter i F . Då ligger varje f _i i F [ X ].

∂ _X är derivatan med avseende på X . Algebra genereras av X och ∂ _X .

Weylalgebra är ett exempel på en enkel ring som inte är en matrisring över en divisionsring . Det är också ett icke-kommutativt exempel på en domän och ett exempel på en Ore-förlängning .

Weyl-algebra är isomorf till kvoten av den fria algebra på två generatorer, X och Y , av idealet som genereras av elementet

YX-XY=1~.

Weyl algebra är den första i en oändlig familj av algebror, även känd som Weyl algebror. Den n :e Weyl-algebra , An _, är ringen av differentialoperatorer med polynomkoefficienter i n variabler. Den genereras av X _i och ∂ _{X _i} , i = 1, ..., n .

Weyl algebror är uppkallade efter Hermann Weyl , som introducerade dem för att studera Heisenbergs osäkerhetsprincip i kvantmekanik . Det är en kvot av den universella enveloping algebra av Heisenberg algebra , Lie algebra av Heisenberg gruppen , genom att sätta det centrala elementet i Heisenberg algebra (nämligen [ X , Y ]) lika med enheten för den universella enveloping algebra (kallad). 1 ovan).

Weyl algebra kallas också den symplectic Clifford algebra . Weylalgebror representerar samma struktur för symplektiska bilinjära former som Clifford-algebror representerar för icke-degenererade symmetriska bilinjära former.

Generatorer och relationer

Man kan ge en abstrakt konstruktion av algebrorna A _n i termer av generatorer och relationer. Börja med ett abstrakt vektorrum V (av dimensionen 2 n ) utrustat med en symbolisk form ω . Definiera Weyl algebra W ( V ) att vara

W(V):=T(V) /(\!(v\otimes uu\otimes v-\omega (v,u),{\text{ för }}v,u\in V)\!),

där T ( V ) är tensoralgebra på V , och notationen $(\!()\!)$ betyder " idealet genererat av".

Med andra ord, $W vu - uv = ω (v , u)$ ( V ) är den algebra som genereras av V endast föremål för relationen . Sedan W ( V ) isomorf till A _n via valet av en Darboux-bas för $ω$ .

Kvantisering

Algebran W ( V ) är en kvantisering av den symmetriska algebran Sym( V ). Om V är över ett fält med karakteristisk noll, så är W ( V ) naturligt isomorf till det underliggande vektorutrymmet i den symmetriska algebran Sym( V ) utrustad med en deformerad produkt – kallad Groenewold– Moyal-produkten (med tanke på att den symmetriska algebra är polynomfunktioner på V ^∗ , där variablerna spänner över vektorrymden V , och ersätter iħ i Moyals produktformel med 1).

Isomorfismen ges av symmetriskartan från Sym( V ) till W ( V )

a_{1}\cdots a_{n}\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}a_{\sigma (1)}\otimes \ cdots \otimes a_{\sigma (n)}~.

Om man föredrar att ha iħ och arbeta över de komplexa talen, kunde man istället ha definierat Weyl-algebra ovan som genererad av X _i och iħ∂ _{X _i} (enligt kvantmekanikens användning).

Således är Weylalgebra en kvantisering av den symmetriska algebra, som i huvudsak är densamma som Moyal- kvantiseringen (om man för den senare begränsar sig till polynomfunktioner), men den förra är i termer av generatorer och relationer (anses som differentialoperatorer ) och den senare är i termer av en deformerad multiplikation.

När det gäller yttre algebror är den analoga kvantiseringen till Weyl en Clifford-algebra , som också kallas den ortogonala Clifford-algebra .

Egenskaper för Weyl algebra

I det fall att markfältet $F$ har karakteristisk noll, är den n: te Weyl-algebra en enkel Noetherian domän . Den har global dimension n , i motsats till ringen den deformerar, Sym( V ), som har global dimension 2 n .

Den har inga änddimensionella representationer. Även om detta följer av enkelheten, kan det visas mer direkt genom att ta spåret av σ ( X ) och σ ( Y ) för någon änddimensionell representation σ (där [ X , Y ] = 1 ).

\mathrm {tr} ([\sigma (X),\sigma (Y)])=\mathrm {tr} (1)~.

Eftersom spåret av en kommutator är noll, och spåret av identiteten är representationens dimension, måste representationen vara nolldimensionell.

Faktum är att det finns starkare uttalanden än frånvaron av finita dimensionella representationer. Till varje ändligt genererad A _n -modul M finns det en motsvarande undervarietet Char( M ) av V × V ^∗ som kallas den "karakteristiska varianten" ^{[ förtydligande behövs ]} vars storlek ungefär motsvarar storleken ^{[ förtydligande behövs ]} av M (en finit -dimensionell modul skulle ha nolldimensionell karaktäristisk variation). Sedan Bernsteins ojämlikhet att för M icke-noll,

\dim(\operatörsnamn {char} (M))\geq n

Ett ännu starkare påstående är Gabbers teorem, som säger att Char( M ) är en ko-isotrop subvarietet av V × V ^∗ för den naturliga symplektiska formen.

Positiv egenskap

Situationen är avsevärt annorlunda i fallet med en Weyl-algebra över ett fält med karakteristiken p > 0 .

I det här fallet, för alla element D i Weyl-algebra, är elementet D ^p centralt, och därför har Weyl-algebra ett mycket stort centrum. I själva verket är det en ändligt genererad modul över dess centrum; ännu mer så är det en Azumaya-algebra över dess centrum. Som en konsekvens finns det många finita dimensionella representationer som alla är byggda av enkla representationer av dimension p .

Konstant centrum

Centrum för Weyl algebra är konstanternas fält. För alla element $h=f_{m} (X)\partial _{X}^{m}+f_{m-1}(X)\partial _{X}^{m-1}+\cdots +f_{1}(X)\partial _{ X}+f_{0}(X)$ i mitten, $h\partial _{X}=\partial _{X}h$ innebär $f_ {i}'=0$ för alla $i$ och $hX=Xh$ innebär $f_{i}=0$ för $i> 0$ . Således $h=f_{0}$ en konstant.

Generaliseringar

För mer detaljer om denna kvantisering i fallet n = 1 (och en förlängning som använder Fourier-transformen till en klass av integrerbara funktioner som är större än polynomfunktionerna), se Wigner–Weyl-transform .

Weyl algebras och Clifford algebras medger en ytterligare struktur av en *-algebra , och kan förenas som jämna och udda termer av en superalgebra , som diskuteras i CCR och CAR algebra .

Affina sorter

Weylalgebror generaliserar också när det gäller algebraiska varianter. Tänk på en polynomring

R={\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{I}}.

Då definieras en differentialoperator som en sammansättning av $\mathbb {C}$ -linjära härledningar av $R$ . Detta kan uttryckligen beskrivas som kvotringen

{\text{Diff}}(R)={\frac {\{D\in A_{n}:D(I)\subseteq I\}}{I\cdot A_{n}}}.

Se även

de Traubenberg, M. Rausch; Slupinski, MJ; Tanasa, A. (2006). "Finite-dimensional Lie subalgebras of the Weyl algebra". J. Lie Theory . 16 : 427–454. arXiv : math/0504224 . (Klassificerar subalgebra för den endimensionella Weyl-algebra över de komplexa talen; visar förhållandet till SL(2,C) )
Tsit Yuen Lam (2001). En första kurs i icke-kommutativa ringar . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 131 (andra upplagan). Springer. sid. 6. ISBN 978-0-387-95325-0 .
Coutinho, SC (1997). "De många avatarerna i en enkel algebra" . American Mathematical Monthly . 104 (7): 593–604. doi : 10.1080/00029890.1997.11990687 .
Traves, Will (2010). "Differentiella operationer på Grassmann-varianter". I Campbell, H.; Helminck, A.; Kraft, H.; Wehlau, D. (red.). Symmetri och mellanrum . Framsteg i matematik. Vol. 278. Birkhäuse. s. 197–207. doi : 10.1007/978-0-8176-4875-6_10 . ISBN 978-0-8176-4875-6 .