Artin–Rees lemma

I matematik är Artin –Rees-lemmat ett grundläggande resultat om moduler över en Noetherian ring , tillsammans med resultat som Hilbert-bassatsen . Det bevisades på 1950-talet i oberoende verk av matematikerna Emil Artin och David Rees ; ett speciellt fall var känt för Oscar Zariski innan deras arbete.

En konsekvens av lemma är Krulls skärningssats . Resultatet används också för att bevisa exakthetsegenskapen för färdigställande . Lemmat spelar också en nyckelroll i studiet av ℓ-adiska kärvar .

Påstående

Låt mig vara ett ideal i en Noethersk ring R ; låt M vara en ändligt genererad R -modul och låt N en submodul till M . Då finns det ett heltal k ≥ 1 så att för n ≥ k ,

I^{n}M\cap N=I^{nk}(I^{k}M\cap N).

Bevis

Lemmat följer omedelbart av det faktum att R är Noetherian när nödvändiga begrepp och notationer väl är uppsatta.

För valfri ring R och ett ideal I i R sätter vi ${\textstyle B_{I}R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n} }$ ( B för uppblåsning.) Vi säger en minskande sekvens av undermoduler $M=M_{0}\supset M_{1}\supset M_{2}\supset \cdots$ är en I -filtrering om $IM_{n}\subset M_{n+1}$ ; dessutom är det stabilt om $IM_{n}=M_{n+1}$ för tillräckligt stort n . Om M ges en I -filtrering sätter vi ${\textstyle B_{I}M=\bigoplus _{n=0}^{\infty }M_{n}}$ ; det är en graderad modul över $B_{I}R$ .

Låt nu M vara en R -modul med I -filtreringen $\displaystyle M_{i}}$ av ändligt genererade R -moduler. Vi gör en observation

B_{I}M

är en ändligt genererad modul över

B_{I}R

om och endast om filtreringen är I -stabil.

Faktum är att om filtreringen är $M_{ 0},\dots ,M_{k}$ -stabil , så genereras ${\displaystyle B_{I}M} av de första$ $k+1$ termerna och dessa termer genereras ändligt; sålunda genereras ${\displaystyle B_{I}M} ändligt.$ Omvänt, om det är ändligt genererat, säg, av några homogena element i ${\textstyle \bigoplus _{j=0}^{k}M_{j}},$ då, för ${\ displaystyle n\geq k}$ , varje f i $M_{n}$ kan skrivas som

f=\sum a_{j}g_{j},\quad a_{j}\in I^{nj}

med generatorerna

g_{j}

i

M_{j},j\leq k

. Det vill säga

f\in I^{nk}M_{k}

.

Vi kan nu bevisa lemma, förutsatt att R är Noetherian. Låt $M_{n}=I^{n}M$ . Då är ${\displaystyle M_{n}} en$ I -stabil filtrering. Sålunda, genom observationen, genereras ${\displaystyle B_{I}M} ändligt över$ $B_{I}R$ . Men $B_{I}R\simeq R[It]$ är en Noetherian ring eftersom R är. (Ringen $R[It]$ kallas Rees-algebra . ${\displaystyle B_{I}M} är$ alltså en Noethersk modul och vilken undermodul som helst genereras ändligt över $B_{I}R$ ; i synnerhet genereras ${\displaystyle B_{I}N} ändligt när$ N ges den inducerade filtreringen; dvs $N_{n}=M_{n}\cap N$ . Sedan är den inducerade filtreringen I -stabil igen genom observationen.

Krulls skärningssats

Förutom användningen av en ring, är en typisk tillämpning av lemma beviset på Krulls skärningssats, som säger: ${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }I^{n}=0}$ för ett riktigt ideal I i en kommutativ Noetherian ring som antingen är en lokal ring eller en integral domän . Med det lemma som tillämpas på skärningspunkten $N$ hittar vi k så att för $n\geq k$ ,

I^{n}\cap N=I^{nk}(I^{k}\cap N).

Om man tar

n=k+1

betyder detta

I^{k+1}\cap N=I(I^ {k}\cap N)

eller

N=IN

. Således, om A är lokal,

N=0

av Nakayamas lemma . Om A är en integral domän, så använder man determinanttricket (det är en variant av Cayley–Hamiltons sats och ger Nakayamas lemma ):

Teorem — Låt u vara en endomorfism av en A -modul N genererad av n element och I ett ideal för A så att $u(N)\delmängd IN$ . Sedan finns det ett samband:

u^{n}+a_{1}u^{n-1}+\cdots +a_{n-1}u+a_{n}=0,\,a_{i}\in I^{ i}.

I inställningen här tar du u som identitetsoperatör på N ; som kommer att ge ett icke-noll element x i A så att $xN=0$ , vilket innebär $N=0$ , eftersom $x$ är en icke-nolldelare.

För både en lokal ring och en integral domän kan "Noetherian" inte tas bort från antagandet: för det lokala ringfallet, se lokal ring#Kommutativt fall . För integraldomänfallet, ta $A$ för att vara ringen av algebraiska heltal (dvs. integralslutningen av $\mathbb {Z}$ i ${\displaystyle \mathbb {C} } )$ . Om ${\mathfrak {p}}$ är ett primideal av A , så har vi: ${\mathfrak {p}}^{n}={\mathfrak {p}}$ för varje heltal $n>0$ . Faktum är att om $y\in {\mathfrak {p}}$ , då $y=\alpha ^{n}$ för något komplext tal $\alpha$ . Nu $\alpha$ integral över $\mathbb {Z}$ ; alltså i $A$ och sedan i ${\displaystyle {\mathfrak {p}}} ,$ vilket bevisar påståendet.