Cramérs V

I statistik är Cramérs V (ibland kallad Cramérs phi och betecknad som φ _c ) ett mått på association mellan två nominella variabler , vilket ger ett värde mellan 0 och +1 (inklusive). Den är baserad på Pearsons chi-kvadratstatistik och publicerades av Harald Cramér 1946.

Användning och tolkning

φ _c är interkorrelationen mellan två diskreta variabler och kan användas med variabler som har två eller flera nivåer. φ _c är ett symmetriskt mått: det spelar ingen roll vilken variabel vi placerar i kolumnerna och vilken i raderna. Ordningen på rader/kolumner spelar heller ingen roll, så φ _c kan användas med nominella datatyper eller högre (särskilt ordnad eller numerisk).

Cramérs V kan också tillämpas på chi-kvadratmodeller med god passform när det finns en 1 × k tabell (i detta fall r = 1). I det här fallet k som antalet valfria utfall och det fungerar som ett mått på tendensen mot ett enda utfall.

Cramérs V varierar från 0 (motsvarande ingen association mellan variablerna) till 1 (fullständig association) och kan nå 1 endast när varje variabel helt bestäms av den andra. Det kan ses som sambandet mellan två variabler som en procentandel av deras maximalt möjliga variation.

φ _c ² är medelkvadratens kanoniska korrelation mellan variablerna.

I fallet med en 2 × 2 kontingenstabell är Cramérs V lika med det absoluta värdet av Phi-koefficienten .

Observera att eftersom chi-kvadratvärden tenderar att öka med antalet celler, ju större skillnaden är mellan r (rader) och c (kolumner), desto mer sannolikt kommer φ _c att tendera till 1 utan starka bevis för en meningsfull korrelation.

Beräkning

Låt ett urval av storleken n av de simultant fördelade variablerna $displaystyle A}$$i=1,\ldots ,r;j=1,\ldots ,k$ och $B$ för ges av frekvenserna

$n_{ij}=$ antal gånger värdena $(A_{i},B_{j})$ observerades.

Chi-kvadratstatistiken är då:

$\chi ^{2}=\sum _{i,j}{\frac {(n_{ij}-{\frac {n_{i.}n_{.j}}{n}} )^{2}}{\frac {n_{i.}n_{.j}}{n}}}\;,$

där $n_{i.}=\summa _{j}n_{ij}$ är antalet gånger värdet $A_{i}$ observeras och $n_{.j}=\summa _{i}n_{ij}$ är antalet gånger värdet $B_{j}$ observeras.

Cramérs V beräknas genom att ta kvadratroten av chi-kvadratstatistiken delat med urvalsstorleken och minimimåttet minus 1:

$V={\sqrt {\frac {\varphi ^{2}}{ \min(k-1,r-1)}}}={\sqrt {\frac {\chi ^{2}/n}{\min(k-1,r-1)}}}\;,$

var:

• $\varphi$ är phi-koefficienten.
• $\chi ^{2}$ härleds från Pearsons chi-kvadrattest
• $n$ är totalsumman av observationer och
• $k$ är antalet kolumner.
• $r$ är antalet rader.

P -värdet för signifikansen av V är detsamma som beräknas med Pearsons chi-kvadrattest .

Formeln för variansen av V =φ _c är känd.

beräknar funktionen cramerV() från paketet rcompanion V med hjälp av chisq.test-funktionen från statistikpaketet. I motsats till funktionen cramersV() från lsr -paketet, erbjuder cramerV() också en möjlighet att korrigera för bias. Den tillämpar korrigeringen som beskrivs i följande avsnitt.

Fördomskorrigering

Cramérs V kan vara en starkt partisk skattare av sin befolkningsmotsvarighet och kommer att tendera att överskatta styrkan i associationen. En bias-korrigering, med användning av ovanstående notation, ges av

${\tilde {V}}={\sqrt {\frac {{\tilde {\varphi }}^{2}}{ \min({\tilde {k}}-1,{\tilde {r}}-1)}}}$ 

var

${\tilde {\varphi }}^{2}=\max \left(0,\varphi ^ {2}-{\frac {(k-1)(r-1)}{n-1}}\höger)$ 

och

${\tilde {k}}=k-{\frac {(k-1)^{2}}{n-1}}$ 

${\tilde {r}}=r-{\frac {(r-1)^{2}}{n-1}}$ 

Sedan uppskattar ${\tilde {V}}$ samma populationskvantitet som Cramérs V men med typiskt mycket mindre medelkvadratfel . Skälet för korrigeringen är att under oberoende, $E[\varphi ^{2}]={\frac {(k-1 )(r-1)}{n-1}}$ .

Se även

Andra mått på korrelation för nominella data:

• phi -koefficienten
• Tschuprows T
• Osäkerhetskoefficienten _
• Lambdakoefficienten _
• Randindex _
• Davies–Bouldin index
• Dunn index
• Jaccard index
• Fowlkes–Mallows index

Andra relaterade artiklar:

• Beredskapstabell
• Effektstorlek
• Klusteranalys § Extern utvärdering

externa länkar

• A Measure of Association for Nonparametric Statistics (Alan C. Acock och Gordon R. Stavig Sida 1381 av 1381–1386)
• Nominell förening: Phi och Cramer's Vl från Pat Dattalos hemsida.