Arruda–Boyce modell

Inom kontinuummekanik är en Arruda-Boyce-modell en hyperelastisk konstitutiv modell som används för att beskriva det mekaniska beteendet hos gummi och andra polymera ämnen. Denna modell är baserad på den statistiska mekaniken för ett material med ett representativt kubiskt volymelement som innehåller åtta kedjor längs diagonala riktningar. Materialet antas vara inkompressibelt . Modellen är uppkallad efter Ellen Arruda och Mary Cunningham Boyce , som publicerade den 1993.

Töjningsenergidensitetsfunktionen för den inkompressibla Arruda–Boyce - modellen ges av

$W=Nk_{B}\theta {\sqrt {n}}\left[\beta \lambda _{ \text{kedja}}-{\sqrt {n}}\ln \left({\cfrac {\sinh \beta }{\beta }}\right)\right],$

där $n$ är antalet kedjesegment, $k_{B}$ är Boltzmann-konstanten , $\theta$ är temperaturen i kelvin , $N$ är antal kedjor i nätverket av en tvärbunden polymer,

$\lambda _{\mathrm {kedja} }={\sqrt {\tfrac {I_{1}}{3 }}},\quad \beta ={\mathcal {L}}^{-1}\left({\cfrac {\lambda _{\text{chain}}}{\sqrt {n}}}\right) ,$

där $I_{1}$ är den första invarianten av den vänstra Cauchy–Green deformationstensorn, och ${\mathcal {L}}^{-1}(x)$ är den inversa Langevin-funktionen som kan approximeras med

${\mathcal {L}}^{-1}(x)={\begin{cases}1.31\tan(1.59x)+0.91x&{\text{for}}\ |x|< 0.841,\\{\tfrac {1}{\operatörsnamn {sgn}(x)-x}}&{\text{för}}\ 0.841\leq |x|<1.\end{cases}}$

För små deformationer reduceras Arruda–Boyce-modellen till den Gaussiska nätverksbaserade neo-Hookean solida modellen. Det kan visas att Gent-modellen är en enkel och korrekt approximation av Arruda–Boyce-modellen.

Alternativa uttryck för Arruda–Boyce-modellen

En alternativ form av Arruda–Boyce-modellen, som använder de första fem termerna i den inversa Langevin-funktionen, är

$W=C_{1}\left[{\tfrac {1}{2}}(I_{1}-3)+{\tfrac {1}{20N }}(I_{1}^{2}-9)+{\tfrac {11}{1050N^{2}}}(I_{1}^{3}-27)+{\tfrac {19}{7000N ^{3}}}(I_{1}^{4}-81)+{\tfrac {519}{673750N^{4}}}(I_{1}^{5}-243)\right]$

där $C_{1}$ är en materialkonstant. Kvantiteten $N$ kan också tolkas som ett mått på den begränsande nätverkssträckan.

Om $\lambda _{m}$ är sträckan vid vilken polymerkedjenätverket blir låst, kan vi uttrycka Arruda–Boyce-stammens energitäthet som

$W=C_{1}\left[{\tfrac {1}{2}}(I_{1}-3)+{\tfrac {1}{20\lambda _{m}^{2}}}(I_{1}^{2}-9)+{\tfrac {11}{1050\lambda _{m}^{4}}} (I_{1}^{3}-27)+{\tfrac {19}{7000\lambda _{m}^{6}}}(I_{1}^{4}-81)+{\tfrac { 519}{673750\lambda _{m}^{8}}}(I_{1}^{5}-243)\right]$

Vi kan alternativt uttrycka Arruda–Boyce-modellen i formen

$W=C_{1}~\summa _{i=1}^{5}\alpha _{i }~\beta ^{i-1}~(I_{1}^{i}-3^{i})$

där $\beta :={\tfrac {1}{N}}={\tfrac {1}{\lambda _{m}^{2}}}$ och $\alpha _{1}:={\tfrac {1}{2}}~;~~\alpha _{2}:={\tfrac {1}{20}}~;~~\alpha _ {3}:={\tfrac {11}{1050}}~;~~\alpha _{4}:={\tfrac {19}{7000}}~;~~\alpha _{5}:={ \tfrac {519}{673750}}.$

Om gummit är komprimerbart kan ett beroende av $J=\det({\boldsymbol {F}})$ införas i töjningsenergidensiteten; ${\boldsymbol {F}}$ är deformationsgradienten . Det finns flera möjligheter, bland vilka Kaliske–Rothert-förlängningen har visat sig vara någorlunda korrekt. Med den förlängningen kan Arruda-Boyce stamenergitäthetsfunktionen uttryckas som

$W=D_{1}\left( {\tfrac {J^{2}-1}{2}}-\ln J\right)+C_{1}~\summa _{i=1}^{5}\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~({\overline {I}}_{1}^{i}-3^{i})$

där $D_{1}$ är en materialkonstant och ${\overline {I}}_{1}={I}_{1}J ^{-2/3}$ . För överensstämmelse med linjär elasticitet måste vi ha $D_{1}={\tfrac {\kappa }{2}}$ där $\kappa$ är bulkmodulen .

Konsistensvillkor

För att den inkompressibla Arruda–Boyce-modellen ska överensstämma med linjär elasticitet, med $\mu$ som materialets skjuvmodul , måste följande villkor vara uppfyllt:

${\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}{\biggr |}_{I_{1}=3}={\frac {\mu }{2}}\,.$

Från Arruda–Boyce-stammens energitäthetsfunktion har vi,

${\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}=C_{1}~\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^ {i-1}~I_{1}^{i-1}\,.$

Därför, vid $I_{1}=3$ ,

$\mu =2C_{1}~\summa _{i=1}^{5}i\,\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i- 1}\,.$

Att ersätta värdena för $\alpha _{i}$ leder till konsistensvillkoret

$\mu =C_{1}\left(1+{\tfrac {3}{5\lambda _{m}^{2}}}+{\tfrac {99}{175\lambda _{m} ^{4}}}+{\tfrac {513}{875\lambda _{m}^{6}}}+{\tfrac {42039}{67375\lambda _{m}^{8}}}\right )\,.$

Stress-deformation relationer

Cauchy-stressen för den inkompressibla Arruda–Boyce-modellen ges av

${\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {B}}=-p~{ \boldsymbol {\mathit {1}}}+2C_{1}~\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_ {1}^{i-1}\right]{\boldsymbol {B}}$

Enaxlig förlängning

Spännings-töjningskurvor under enaxlig förlängning för Arruda–Boyce-modellen jämfört med olika hyperelastiska materialmodeller.

För enaxlig förlängning i $\mathbf {n} _{1}$ -riktningen är de huvudsakliga sträckorna $\lambda _{1}=\lambda , ~\lambda _{2}=\lambda _{3}$ . Från inkompressibilitet $\lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1$ . Därför $\lambda _{2}^{2}=\lambda _{3}^{2}=1/\lambda$ . Därför,

$I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=\lambda ^{2}+{\ cfrac {2}{\lambda }}~.$

Den vänstra Cauchy–Grön deformationstensorn kan då uttryckas som

${\boldsymbol {B}}=\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\cfrac {1}{\lambda }} ~(\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3})~.$

Om huvudsträckornas riktningar är orienterade med koordinatbasvektorerna har vi

${\begin{aligned}\sigma _{11}&=-p+2C_{1}\lambda ^{2}\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _ {i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]\\\sigma _{22}&=-p+{\cfrac {2C_{1}}{\lambda }}\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]=\ sigma _{33}~.\end{aligned}}$

Om $\sigma _{22}=\sigma _{33}=0$ har vi

$p={\cfrac {2C_{1}}{\lambda }}\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1 }~I_{1}^{i-1}\right]~.$

Därför,

$\sigma _{11}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)\left[\sum _{i=1}^ {5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]~.$

Den tekniska töjningen är $\lambda -1\,$ . Den tekniska stressen är

$T_{11}=\sigma _{11}/\lambda =2C_{1}\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\left[\ summa _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]~.$

Ekvibiaxiell förlängning

För ekvibiaxiell förlängning i riktningarna $\mathbf {n} _{1}$ och ${\displaystyle \mathbf {n} _{2}} ,$ är de huvudsakliga sträckorna ${ \displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda \,}$ . Från inkompressibilitet $\lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1$ . Därför $\lambda _{3}=1/\lambda ^{2}\,$ . Därför,

$I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=2~\lambda ^{2}+ {\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}~.$

Den vänstra Cauchy–Grön deformationstensorn kan då uttryckas som

${\boldsymbol {B}}=\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\lambda ^{2}~\mathbf {n } _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _ {3}~.$

Om huvudsträckornas riktningar är orienterade med koordinatbasvektorerna har vi

$\sigma _{11}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)\left[\sum _{i =1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]=\sigma _{22}~.$

Den tekniska töjningen är $\lambda -1\,$ . Den tekniska stressen är

$T_{11}={\cfrac {\sigma _{11}}{\lambda }}=2C_{1}\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{5}}} \right)\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]= T_{22}~.$

Plan förlängning

Plana förlängningstest utförs på tunna prover som hindras från att deformeras i en riktning. För plan förlängning i $\mathbf {n} _{1}$ -riktningarna med $\mathbf {n} _{3}$ -riktningen begränsad, är de huvudsakliga sträckorna $\lambda _{1}=\lambda ,~\lambda _{3}=1$ . Från inkompressibilitet $\lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1$ . Därför $\lambda _{2}=1/\lambda \,$ . Därför,

$I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=\lambda ^{2}+{\ cfrac {1}{\lambda ^{2}}}+1~.$

Den vänstra Cauchy–Grön deformationstensorn kan då uttryckas som

${\boldsymbol {B}}=\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\cfrac {1}{\lambda ^{ 2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}~.$

Om huvudsträckornas riktningar är orienterade med koordinatbasvektorerna har vi

$\sigma _{11}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\left[\sum _{i =1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]~;~~\sigma _{22}=0 ~;~~\sigma _{33}=2C_{1}\left(1-{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\left[\sum _{i=1}^ {5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]~.$

Den tekniska töjningen är $\lambda -1\,$ . Den tekniska stressen är

$T_{11}={\cfrac {\sigma _{11}}{\lambda }}=2C_{1}\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{3}}} \right)\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]~ .$

Enkel klippning

Deformationsgradienten för en enkel skjuvdeformation har formen

${\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {1}}+\gamma ~\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{ 2}$

där $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}$ är referensortonormala basvektorer i deformationsplanet och skjuvdeformationen ges av

$\gamma =\lambda -{\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{1}=\lambda ~;~~\lambda _{2}={\ cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{3}=1$

I matrisform kan deformationsgradienten och vänster Cauchy–Grön deformationstensor uttryckas som

${\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}} ~;~~{\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

Därför,

$I_{1}=\mathrm {tr} ({\boldsymbol {B}})=3+\gamma ^{2}$

och Cauchy-stressen ges av

${\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\ fetstil {\mathit {1}}}+2C_{1}\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~(3+ \gamma ^{2})^{i-1}\right]~{\boldsymbol {B}}$

Statistisk mekanik för polymerdeformation

Huvudartikel: Gummi elasticitet

Arruda–Boyce-modellen är baserad på polymerkedjors statistiska mekanik. I detta tillvägagångssätt beskrivs varje makromolekyl som en kedja av $N$ segment, var och en med längden $l$ . Om vi ​​antar att den initiala konfigurationen av en kedja kan beskrivas genom en slumpmässig gång , så är den initiala kedjelängden

$r_{0}=l{\sqrt {N}}$

Om vi ​​antar att ena änden av kedjan är i origo, då är sannolikheten att ett block med storleken $dx_{1}dx_{2}dx_{3}$ runt origo kommer att innehålla den andra änden av kedjan, $(x_{1},x_{2},x_{3})$ , med antagande av en Gaussisk sannolikhetstäthetsfunktion , är

$p(x_{1},x_{2},x_{3})={\cfrac {b^{3}}{\pi ^{3/2}}} ~\exp[-b^{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})]~;~~b:={\sqrt { \cfrac {3}{2Nl^{2}}}}$

Konfigurationsentropin för en enda kedja från Boltzmanns statistiska mekanik är

$s=c-k_{B}b^{2}r^{2}$

där $c$ är en konstant. Den totala entropin i ett nätverk av $n$ kedjor är därför

$\Delta S=-{\tfrac {1 }{2}}nk_{B}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}-3)=-{\tfrac {1}{2}}nk_{B}(I_{1}-3)$

där en affin deformation har antagits. Därför är töjningsenergin för det deformerade nätverket

$W=-\theta \,dS={\tfrac {1}{2}}nk_{B}\theta (I_{ 1}-3)$

där $\theta$ är temperaturen.

Se även

• Hyperelastiskt material
• Gummi elasticitet
• Finita töjningsteori
• Kontinuummekanik
• Stamenergitäthetsfunktion
• Neo-Hookean solid
• Mooney–Rivlin solid
• Yeoh (hyperelastisk modell)
• Gent (hyperelastisk modell)