Irreducerbar komponent

I algebraisk geometri är en irreducibel algebraisk uppsättning eller irreducible variation en algebraisk uppsättning som inte kan skrivas som föreningen av två riktiga algebraiska delmängder. En irreducerbar komponent är en algebraisk delmängd som är irreducerbar och maximal (för inkludering av mängd ) för denna egenskap. Till exempel är uppsättningen lösningar av ekvationen xy = 0 inte irreducerbar, och dess irreducerbara komponenter är de två ekvationslinjerna x = 0 och y =0 .

Det är ett grundläggande teorem för klassisk algebraisk geometri att varje algebraisk mängd kan skrivas på ett unikt sätt som en finit förening av irreducerbara komponenter.

Dessa begrepp kan omformuleras i rent topologiska termer, med hjälp av Zariski-topologin , för vilken de slutna mängderna är de algebraiska delmängderna: Ett topologiskt utrymme är irreducerbart om det inte är föreningen av två riktiga slutna undermängder, och en irreducerbar komponent är ett maximalt underrum. (nödvändigtvis stängd) som är irreducerbar för den inducerade topologin . Även om dessa begrepp kan övervägas för varje topologiskt utrymme, görs detta sällan utanför algebraisk geometri, eftersom de vanligaste topologiska utrymmena är Hausdorff-utrymmen , och i ett Hausdorff-utrymme är de irreducerbara komponenterna singletonerna .

I topologi

Ett topologiskt utrymme X är reducerbart om det kan skrivas som en förening $X=X_{1}\cup X_{2}$ av två slutna egentliga delmängder $X_{1 }$ , $X_{2}$ av $X.$ Ett topologiskt utrymme är irreducerbart (eller hyperanslutet ) om det inte är reducerbart. På motsvarande sätt X irreducerbar om alla icke tomma öppna delmängder av X är täta , eller om två icke-tomma öppna uppsättningar har icke-tomma skärningspunkter .

En delmängd F av ett topologiskt utrymme X kallas irreducibel eller reducerbar, om F betraktas som ett topologiskt utrymme via underrymdstopologin har motsvarande egenskap i ovanstående mening. Det vill säga, $F$ är reducerbar om den kan skrivas som en union $F=(G_{1}\cap F)\ cup (G_{2}\cap F),$ där $G_{1},G_{2}$ är slutna delmängder av $X$ , som ingen av dem innehåller $F.$

En irreducerbar komponent i ett topologiskt utrymme är en maximal irreducerbar delmängd. Om en delmängd är irreducerbar är dess stängning också irreducerbar, så irreducerbara komponenter stängs.

Varje irreducerbar delmängd av ett mellanslag X ingår i en (inte nödvändigtvis unik) irreducerbar komponent av X . Varje punkt $x\in X$ finns i någon irreducerbar komponent av X .

I algebraisk geometri

Varje affin eller projektiv algebraisk mängd definieras som mängden av nollorna för ett ideal i en polynomring . En irreducibel algebraisk uppsättning , mer allmänt känd som en algebraisk variation, är en algebraisk uppsättning som inte kan dekomponeras som föreningen av två mindre algebraiska uppsättningar. Lasker-Noether-satsen antyder att varje algebraisk mängd är föreningen av ett ändligt antal unikt definierade algebraiska mängder, som kallas dess irreducerbara komponenter . Dessa begrepp om irreducerbarhet och irreducerbara komponenter är exakt de ovan definierade, när Zariski-topologin beaktas, eftersom de algebraiska mängderna är exakt de slutna mängderna av denna topologi.

Spektrum av en ring är ett topologiskt utrymme vars punkter är de primära idealen och de slutna uppsättningarna är uppsättningarna av alla primära ideal som innehåller ett fast ideal. För denna topologi är en sluten mängd irreducerbar om det är mängden av alla primideal som innehåller något primideal, och de irreducerbara komponenterna motsvarar minimala primideal . Antalet irreducerbara komponenter är ändligt i fallet med en Noetherian ring .

Ett schema erhålls genom att limma ihop spektra av ringar på samma sätt som ett grenrör erhålls genom att limma samman diagram . Så definitionen av irreducerbarhet och irreducible komponenter sträcker sig omedelbart till system.

Exempel

I ett Hausdorff - utrymme är de irreducerbara delmängderna och de irreducerbara komponenterna singletons . Detta är särskilt fallet för de reella talen . Faktum är att om X är en uppsättning reella tal som inte är en singelton, finns det tre reella tal så att x ∈ X , y ∈ X , och x < a < y . Mängden X kan inte vara irreducerbar eftersom $X=(X\cap \,]{-\infty },a])\cup (X\cap [a,\infty [).$

Begreppet irreducerbar komponent är grundläggande i algebraisk geometri och betraktas sällan utanför detta område av matematik: betrakta den algebraiska delmängden av planet

X = {( x , y ) | xy = 0} .

För Zariski-topologin är dess slutna delmängder sig själv, den tomma mängden, singeltonerna och de två linjerna som definieras av x = 0 och y = 0 . Mängden X är således reducerbar med dessa två linjer som irreducerbara komponenter.

Spektrumet för en kommutativ ring är uppsättningen av ringens främsta ideal , utrustade med Zariski-topologin , för vilken en uppsättning primära ideal är stängd om och endast om det är uppsättningen av alla primära ideal som innehåller ett fast ideal . I det här fallet är en irreducerbar delmängd mängden av alla primideal som innehåller ett fast primideal.

Anteckningar

Den här artikeln innehåller material från irreducible på PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen . Den här artikeln innehåller material från Irreducible component på PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen .