Ingen ojämlikhet

Inom matematiken är Noether -ojämlikheten , uppkallad efter Max Noether , en egenskap hos kompakta minimala komplexa ytor som begränsar den topologiska typen av den underliggande topologiska 4-manifolden . Det gäller mer generellt för minimala projektiva ytor av allmän typ över ett algebraiskt slutet fält.

Formulering av ojämlikheten

⁰ Låt X vara en slät minimal projektiv yta av allmän typ definierad över ett algebraiskt slutet fält (eller en slät minimal kompakt komplex yta av allmän typ) med kanonisk divisor K = − c ₁ ( X ), och låt p _g = h ( K ) vara dimensionen av rummet av holomorfa två former, alltså

$p_{g}\leq {\frac {1}{2}}c_{1}(X)^{2}+2.$

För komplexa ytor uttrycker en alternativ formulering denna ojämlikhet i termer av topologiska invarianter av den underliggande realorienterade fyra manifolden. Eftersom en yta av generell typ är en Kähler- yta, ges dimensionen av det maximala positiva delrummet i skärningsform på den andra kohomologin av b ₊ = 1 + 2 p _g . Dessutom, enligt Hirzebruchs signatursats c ₁ ² ( X ) = 2 e + 3 σ , där e = c ₂ ( X ) är den topologiska Euler-karaktäristiken och σ = b ₊ − b ₋ är signaturen för skärningsformen . Därför kan Noether-ojämlikheten också uttryckas som

$b_{+}\leq 2e+3\sigma +5$

eller motsvarande med e = 2 – 2 b ₁ + b ₊ + b ₋

$b_{-}+4b_{1}\leq 4b_{+}+9.$

Att kombinera Noether-olikheten med Noether-formeln 12χ= c ₁ ² + c ₂ ger

$5c_{1}(X)^{2}-c_{2}(X)+36\geq 12q$

där q är ojämnheten hos en yta , vilket leder till en något svagare ojämlikhet, som också ofta kallas Noether-olikheten:

$5c_{1}(X)^{2}-c_{2}(X)+36\ geq 0\quad (c_{1}^{2}(X){\text{ jämn}})$

$5c_{1}(X)^{2}-c_{2}(X)+30\geq 0\quad (c_{1}^{2}(X){\text{ udda}}).$

Ytor där jämlikhet råder (dvs på Noether-linjen) kallas Horikawa-ytor .

Bevisskiss

Av det minimala generella typvillkoret följer att K ² > 0. Vi kan alltså anta att p _g > 1, eftersom olikheten i övrigt är automatisk. I synnerhet kan vi anta att det finns en effektiv divisor D som representerar K . Vi har då en exakt sekvens

$0\to H^{0}({\mathcal {O}}_{X}) \till H^{0}(K)\till H^{0}(K|_{D})\till H^{1}({\mathcal {O}}_{X})\to$

so $p_{g}-1\leq h^{0}(K|_{D}).$

Antag att D är slät. Genom adjunktionsformeln har D en kanonisk linjebunt ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D}(2K)} ,$ därför $K|_{D}$ är en speciell divisor och Clifford-olikheten gäller, vilket ger

$h^{0}(K|_{D})-1\leq {\frac {1}{2}}\deg _{D}(K)={\frac {1}{2}} K^{2}.$

Generellt gäller i huvudsak samma argument om man använder en mer generell version av Clifford-ojämlikheten för lokala fullständiga skärningar med en dualiserande linjebunt och 1-dimensionella sektioner i den triviala linjebunten. Dessa villkor är uppfyllda för kurvan D genom adjunktionsformeln och det faktum att D är numeriskt kopplat.

•    Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 4, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-00832-3 , MR 2030225
• Liedtke, Christian (2008), "Algebraiska ytor av allmän typ med liten c ₁ ² i positiv egenskap" , Nagoya Math. J. , 191 :111-134
• Noether, Max (1875), "Zur Theorie der eindeutigen Entsprechungen algebraischer Gebilde", Math. Ann. , 8 (4): 495–533, doi : 10.1007/BF02106598