Wolds teorem

Den här artikeln handlar om teoremet som används i tidsserieanalys. För ett abstrakt matematiskt påstående, se Wold-nedbrytning .

Inom statistik säger Wolds nedbrytning eller Wold-representationssatsen (inte att förväxla med Wold-satsen som är den diskreta tidsanalogen till Wiener–Khinchin-satsen ), uppkallad efter Herman Wold , att varje kovarians-stationär tidsserie ${ \displaystyle Y_{t}}$ kan skrivas som summan av två tidsserier, en deterministisk och en stokastisk .

Formellt

$Y_{t}=\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\varepsilon _{tj}+\ eta _{t},$

var:

• $Y_{t}$ är tidsserien som beaktas,

• $\varepsilon _{t}$ är en okorrelerad sekvens som är innovationsprocessen till processen $Y_{t}$ – det vill säga en process för vitt brus som matas in till linjärfiltret { $\displaystyle \{b_{j}\}}$ .

• $b$ är den möjligen oändliga vektorn av glidande medelvikter (koefficienter eller parametrar)

• $\eta _{t}$ är en deterministisk tidsserie, till exempel en som representeras av en sinusvåg.

De glidande medelvärdeskoefficienterna har dessa egenskaper:

1. Stabil, det vill säga kvadratisk summerbar $\sum _{j=1}^{\infty }|b_{j}|^{2}$ < $\infty$
2. Causal (dvs det finns inga termer med j < 0)
3. Minsta fördröjning
4. Konstant ( $b_{j}$ oberoende av t )
5. Det är vanligt att definiera $b_{0}=1$

Denna teorem kan betraktas som en existenssats: varje stationär process har denna till synes speciella representation. Inte bara är förekomsten av en sådan enkel linjär och exakt representation anmärkningsvärd, utan ännu mer är den speciella karaktären hos modellen med glidande medelvärde. Föreställ dig att skapa en process som är ett glidande medelvärde men som inte uppfyller dessa egenskaper 1–4. Till exempel kan koefficienterna $b_{j}$ definiera en aausal och icke-minimum fördröjningsmodell . Ändå försäkrar satsen att det finns ett kausalt minimifördröjning glidande medelvärde som exakt representerar denna process. Hur allt detta fungerar för fallet med kausalitet och egenskapen minimifördröjning diskuteras i Scargle (1981), där en förlängning av Wold Decomposition diskuteras.

Användbarheten av Wold Theorem är att den tillåter den dynamiska utvecklingen av en variabel $​​{\displaystyle Y_{t}}$ att approximeras av en linjär modell . Om innovationerna $\varepsilon _{t}$ är oberoende , är den linjära modellen den enda möjliga representationen som relaterar det observerade värdet av $Y_{t}$ till dess tidigare utveckling. Men när $\varepsilon _{t}$ bara är en okorrelerad men inte oberoende sekvens, så existerar den linjära modellen men den är inte den enda representationen av seriens dynamiska beroende. I det senare fallet är det möjligt att den linjära modellen kanske inte är särskilt användbar, och det skulle finnas en icke-linjär modell som relaterar det observerade värdet av $Y_{t}$ till dess tidigare utveckling. Men i praktisk tidsserieanalys är det ofta så att endast linjära prediktorer beaktas, delvis på grund av enkelheten, i vilket fall Wold-nedbrytningen är direkt relevant.

Wold-representationen beror på ett oändligt antal parametrar, även om de i praktiken vanligtvis förfaller snabbt. Den autoregressiva modellen är ett alternativ som bara kan ha ett fåtal koefficienter om motsvarande glidande medelvärde har många. Dessa två modeller kan kombineras till en autoregressive-moving average (ARMA)-modell , eller en autoregressive-integrated-moving average (ARIMA)-modell om icke-stationaritet är inblandad. Se Scargle (1981) och referenser där; Dessutom ger denna uppsats en förlängning av Wold Theorem som tillåter mer allmänhet för det glidande medelvärdet (inte nödvändigtvis stabilt, kausalt eller minsta fördröjning) åtföljd av en skarpare karakterisering av innovationen (identiskt och oberoende distribuerad, inte bara okorrelerad). Denna förlängning möjliggör modeller som är mer trogna fysiska eller astrofysiska processer, och i synnerhet kan känna av " tidens pil ".

• Anderson, TW (1971). Den statistiska analysen av tidsserier . Wiley.
•   Nerlove, M. ; Grether, David M.; Carvalho, José L. (1995). Analys av ekonomiska tidsserier (Reviderad utg.). San Diego: Academic Press. s. 30–36 . ISBN 0-12-515751-7 .
• Scargle, JD (1981). Studier i astronomisk tidsserieanalys. I – Modellering av slumpmässiga processer i tidsdomänen . Astrophysical Journal Supplement Series. Vol. 45. s. 1–71.
• Wold, H. (1954) A Study in the Analysis of Stationary Time Series , andra reviderade upplagan, med en bilaga om "Recent Developments in Time Series Analysis" av Peter Whittle . Almqvist och Wiksell Book Co., Uppsala.