Virasoro konformt block

I tvådimensionell konform fältteori är Virasoros konforma block (uppkallade efter Miguel Ángel Virasoro ) speciella funktioner som fungerar som byggstenar av korrelationsfunktioner . På en given punkterad Riemann-yta bildar Virasoro konforma block en speciell bas för utrymmet av lösningar för de konforma Ward-identiteterna . Nollpunktsblock på torus är tecken på representationer av Virasoro-algebra ; Fyrpunktsblock på sfären reducerar till hypergeometriska funktioner i speciella fall, men är i allmänhet mycket mer komplicerade. I två dimensioner som i andra dimensioner spelar konforma block en viktig roll i den konforma bootstrap- metoden till konform fältteori .

Definition

Definition från OPE

Med hjälp av operator product expansions (OPEs) kan en $N$ -punktsfunktion på sfären skrivas som en kombination av trepunktsstrukturkonstanter och universella storheter som kallas $N$ -punktskonforma block .

Givet en $N$ -punktsfunktion finns det flera typer av konforma block, beroende på vilka OPE som används. I fallet $N=4$ finns det tre typer av konforma block, motsvarande tre möjliga nedbrytningar av samma fyrpunktsfunktion. Schematiskt avläses dessa sönderdelningar

$\left\langle V_{1}V_{2}V_{3}V_{4}\right\rangle =\summa _{s}C_{12s}C_{s34 }{\mathcal {F}}_{s}^{\text{(s-channel)}}=\summa _{t}C_{14t}C_{t23}{\mathcal {F}}_{t} ^{\text{(t-kanal)}}=\summa _{u}C_{13u}C_{24u}{\mathcal {F}}_{u}^{\text{(u-kanal)}} \ ,$

där $C$ är strukturkonstanter och ${\mathcal {F}}$ är konforma block. Summorna är överrepresentationer av den konforma algebra som förekommer i CFT:s spektrum. OPE involverar summor över spektrumet, dvs överrepresentationer och övertillstånd i representationer, men summorna över tillstånd absorberas i de konforma blocken.

I två dimensioner faktoriseras symmetrialgebra till två kopior av Virasoro-algebra, som kallas vänster- och höger-rörlig. Om fälten också faktoriseras, så faktoriseras även de konforma blocken, och faktorerna kallas Virasoro-konforma block . Virasoro-konforma block som rör sig till vänster är lokalt holomorfa funktioner av fältens positioner $z_{i}$ ; Virasoros konforma block som rör sig höger är samma funktioner som ${\bar {z}}_{i}$ . Faktoriseringen av ett konformt block till Virasoro konformt block är av denna typ

${\mathcal {F}}_{s_{L}\otimes s_{R}}^{\text{(s-channel)}}(\{z_{i}\})={\ mathcal {F}}_{s_{L}}^{\text{(s-channel, Virasoro)}}(\{z_{i}\}){\mathcal {F}}_{s_{R}} ^{\text{(s-kanal, Virasoro)}}(\{{\bar {z}}_{i}\})\ ,$

där $s_{L},s_{R}$ är representationer av de vänster- respektive högerrörliga Virasoro-algebran.

Definition från Virasoro Ward-identiteter

Conformal Ward-identiteter är de linjära ekvationer som korrelationsfunktioner lyder, som ett resultat av konform symmetri.

I två dimensioner sönderfaller konforma avdelningsidentiteter i Virasoro avdelningsidentiteter som rör sig till vänster och till höger. Virasoro konforma block är lösningar på Virasoro Ward-identiteter.

OPE definierar specifika baser för Virasoro-konforma block, såsom s-kanalbasen i fallet med fyrapunktsblock. Blocken som definieras från OPE är specialfall av blocken som definieras från avdelningsidentiteter.

Egenskaper

Alla linjära holomorfa ekvationer som efterlevs av en korrelationsfunktion måste också gälla för motsvarande konforma block. Dessutom kommer specifika baser av konforma block med extra egenskaper som inte ärvs från korrelationsfunktionen.

Konforma block som endast involverar primära fält har relativt enkla egenskaper. Konforma block som involverar efterkommande fält kan sedan härledas med hjälp av lokala församlingsidentiteter . Ett s-kanals fyrapunktsblock av primära fält beror på de fyra fältens konforma dimensioner $\Delta _{i},$$, {\displaystyle z_{i},}$ deras positioner och på s-kanalens konforma dimension $\Delta _{s}$ . Det kan skrivas som ${\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\Delta _ {i}|\{z_{i}\}),$ där beroendet av Virasoro-algebrans centrala laddning hålls implicit.

Linjära ekvationer

Från motsvarande korrelationsfunktion ärver konforma block linjära ekvationer: globala och lokala avdelningsidentiteter och BPZ-ekvationer om minst ett fält är degenererat.

Speciellt, i ett $N$ -punktblock på sfären, minskar globala avdelningsidentiteter beroendet av $N$ -fältpositionerna till ett beroende av $N-3$ cross- förhållanden . I fallet $N=4,$

${\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{ (s)}(\{\Delta _{i}\}|\{z_{i}\})=z_{23}^{\Delta _{1}-\Delta _{2}-\Delta _{ 3}+\Delta _{4}}z_{13}^{-2\Delta _{1}}z_{34}^{\Delta _{1}+\Delta _{2}-\Delta _{3 }-\Delta _{4}}z_{24}^{-\Delta _{1}-\Delta _{2}+\Delta _{3}-\Delta _{4}}{\mathcal {F} }_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|z),$

där $z_{ij}=z_{i}-z_{j},$ och

$z={\frac {z_{12}z_{34}}{z_{13}z_{24}}}$

är korsförhållandet och det reducerade blocket ${\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}( \{\Delta _{i}\}|z)$ sammanfaller med det ursprungliga blocket där tre positioner skickas till $(0,\infty ,1),$

${\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|z)={\mathcal {F}}_{\ Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|z,0,\infty ,1).$

Singulariteter

Liksom korrelationsfunktioner är konforma block singulära när två fält sammanfaller. Till skillnad från korrelationsfunktioner har konforma block mycket enkla beteenden vid några av dessa singulariteter. Som en konsekvens av deras definition från OPE, lyder s-kanals fyrapunktsblock

${\mathcal {F}} _{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|z){\underset {z\to 0}{=}}z^{\Delta _{s }-\Delta _{1}-\Delta _{2}}\left(1+\summa _{n=1}^{\infty }c_{n}z^{n}\right),$

för vissa koefficienter $c_{n}.$ Å andra sidan har s-kanalblock komplicerade singulära beteenden vid $z=1,\infty$ : det är t-kanalsblock som är enkla vid $z=1$ och u-kanalblock som är enkla vid $z=\infty .$

I ett fyrapunktsblock som följer en BPZ differentialekvation är $z=0,1,\infty$ reguljära singulära punkter i differentialekvationen, och ${ \displaystyle \Delta _{s}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}$ är en karakteristisk exponent för differentialekvationen. För en differentialekvation av ordningen ${\displaystyle n} motsvarar$ de $n$ karakteristiska exponenterna de $n$ -värdena av $\Delta _{s}$ som är tillåtna av fusionsregler.

Fältpermutationer

Permutationer av fälten $V_{i}(z_{i})$ lämnar korrelationsfunktionen

$\left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{i}(z_{i})\right\rangle$

invarianta och relaterar därför olika baser av konforma block med varandra. När det gäller fyrapunktsblock är t-kanalsblock relaterade till s-kanalblock med

${\mathcal {F}}_{\Delta }^{(t)}(\Delta _{1},\Delta _{2},\Delta _{3},\Delta _{4}|z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})={\mathcal {F}}_{\Delta }^{(s) }(\Delta _{1},\Delta _{4},\Delta _{3},\Delta _{2}|z_{1},z_{4},z_{3},z_{2}) ,$

eller motsvarande

${\mathcal {F}}_{\Delta }^{(t)}(\Delta _{1},\Delta _{2},\Delta _{3},\Delta _{4}| z)={\mathcal {F}}_{\Delta }^{(s)}(\Delta _{1},\Delta _{4},\Delta _{3},\Delta _{2}| 1-z).$

Sammansmältningsmatris

Bytet av baser från s-kanal till t-kanal fyrapunktsblock kännetecknas av fusionsmatrisen ( eller fusionskärnan) $F$ , så att

${\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|\{z_{i}\})=\int _ {i\mathbb {R} }dP_{t}\ F_{\Delta _{s},\Delta _{t}}{\begin{bmatrix}\Delta _{2}&\Delta _{3}\\ \Delta _{1}&\Delta _{4}\end{bmatrix}}{\mathcal {F}}_{\Delta _{t}}^{(t)}(\{\Delta _{i} \}|\{z_{i}\}).$

Sammansmältningsmatrisen är en funktion av den centrala laddningen och konforma dimensioner, men den beror inte på positionerna $z_{i}.$ Momentumet $P_{t}$ definieras i termer av dimensionen $\Delta _{t}$ av

$\Delta ={\frac {c-1}{24}}-P^{2}.$

Värdena ${\displaystyle P\in i\mathbb {R} } motsvarar$ Liouville-teorins spektrum .

Vi behöver också introducera två parametrar $Q,b$ relaterade till centralladdningen $c$ ,

$c=1+6Q^{2},\qquad Q=b+b^{-1}.$

Om vi ​​antar $c\notin (-\infty ,1)$ och $P_{i}\in i\mathbb {R}$ , det explicita uttrycket för smältmatrisen är

${\begin{aligned}F_{\Delta _{s},\Delta _ {t}}&{\begin{bmatrix}\Delta _{2}&\Delta _{3}\\\Delta _{1}&\Delta _{4}\end{bmatrix}}=\\&= \left(\prod _{\pm }{\frac {\Gamma _{b}(Q\pm 2P_{s})}{\Gamma _{b}(\pm 2P_{t})}}\höger) {\frac {\Xi _{+}(P_{1},P_{4},P_{t})\Xi _{+}(P_{2},P_{3},P_{t})}{ \Xi _{-}(P_{1},P_{2},P_{s})\Xi _{-}(P_{3},P_{4},P_{s})}}\ gånger \\ &\quad \times \int _{{\frac {Q}{4}}+i\mathbb {R} }du\ S_{b}\left(u-P_{12s}\right)S_{b}\ left(u-P_{s34}\right)S_{b}\left(u-P_{23t}\right)S_{b}\left(u-P_{t14}\right)\\&\qquad \times S_{b}\left({\tfrac {Q}{2}}-u+P_{1234}\right)S_{b}\left({\tfrac {Q}{2}}-u+P_{st13 }\right)S_{b}\left({\tfrac {Q}{2}}-u+P_{st24}\right)S_{b}\left({\tfrac {Q}{2}}-u \right)\end{aligned}}$

där $\Gamma _{b}$ är en dubbel gammafunktion ,

${\begin{aligned}S_{b}(x)&={\frac {\Gamma _{b}(x)}{\Gamma _{b}(Qx)}}\\[6pt]\Xi _{\epsilon }(P_{1},P_{2},P_{3})&= \prod _{\underset {\epsilon _{1}\epsilon _{2}\epsilon _{3}=\epsilon }{\epsilon _{1},\epsilon _{2},\epsilon _{3} =\pm }}\Gamma _{b}\left({\tfrac {Q}{2}}+\sum _{i}\epsilon _{i}P_{i}\right)\\[6pt]P_ {ijk}&=P_{i}+P_{j}+P_{k}\end{aligned}}$

Även om dess uttryck är enklare i termer av momentum $P_{i}$ än i termer av konforma dimensioner $\Delta _{i}$ , är smältmatrisen egentligen en funktion av ${\ displaystyle \Delta _{i}}$ , dvs en funktion av $P_{i}$ som är invariant under $P_{i}\to -P_{i}$ . I uttrycket för sammansmältningsmatrisen är integralen en hyperbolisk Barnes-integral . Fram till normalisering sammanfaller fusionsmatrisen med Ruijsenaars hypergeometriska funktion , med argumenten $P_{s},P_{t}$ och parametrarna $b,b^{-1},P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ .

I $N$ -punktsblock på sfären kan förändringen av baser mellan två uppsättningar av block som är definierade från olika sekvenser av OPE alltid skrivas i termer av fusionsmatrisen, och en enkel matris som beskriver permutationen av de två första fälten i ett s-kanalblock,

${\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\Delta _{1},\Delta _{2},\Delta _{3},\Delta _ {4}|z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})=e^{i\pi (\Delta _{s}-\Delta _{1}-\Delta _{ 2})}{\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\Delta _{2},\Delta _{1},\Delta _{3},\Delta _{4}|z_{2},z_{1},z_{3},z_{4}).$

Beräkning av konforma block

Från definitionen

Definitionen från OPEs leder till ett uttryck för ett s-kanal fyrapunkts konformt block som en summa över tillstånd i s-kanalrepresentationen, av typen

${\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{\text{(s)}}(\{\Delta _{i}\}|z)=z^{\Delta _ {s}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}\summa _{L,L'}z^{|L|}f_{12s}^{L}Q_{L,L'}^ {s}f_{43s}^{L'}\ .$

Summorna är över skapelselägen $L,L'$ i Virasoro-algebra , dvs kombinationer av typen $L=\prod _{i}L_{- n_{i}}$ av Virasoro-generatorer med ${\displaystyle 1\leq n_{1}\leq n_{2}\leq \cdots } ,$ vars nivå är $|L|=\summa n_{i}$ . Sådana generatorer motsvarar bastillstånd i Verma-modulen med den konforma dimensionen $\Delta _{s}$ . Koefficienten $f_{12s}^{L}$ är en funktion av $\Delta _{1},\Delta _{2},\ Delta _{s},L$ , som är känd explicit. Matriselementet $Q_{L,L'}^{s}$ är en funktion av $c,\Delta _{s},L ,L'$ som försvinner om $|L|\neq |L'|$ och divergerar för $|L|=N$ om det finns en nollvektor på nivå $N$ . Upp till $|L|=1$ , detta lyder

${\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{\text{(s)}}(\{\Delta _{i}\}|z)=z^{\Delta _ {s}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}{\Bigg \{}1+{\frac {(\Delta _{s}+\Delta _{1}-\Delta _{2 })(\Delta _{s}+\Delta _{4}-\Delta _{3})}{2\Delta _{s}}}z+O(z^{2}){\Bigg \} }\ .$

(Särskilt $Q_{L_{-1},L_{-1}}^{s}={\frac {1}{2\Delta _{s}}}$ beror inte på centralladdningen $c$ .)

Zamolodchikovs rekursiva representation

I Alexei Zamolodchikovs rekursiva representation av fyrapunktsblock på sfären visas korsförhållandet ${\displaystyle z} via$ nomen

$q=\exp -\pi {\frac {F({\frac {1}{2 }},{\frac {1}{2}},1,1-z)}{F({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1,z) }}{\underset {z\to 0}{=}}{\frac {z}{16}}+{\frac {z^{2}}{32}}+O(z^{3})\ quad \iff \quad z={\frac {\theta _{2}(q)^{4}}{\theta _{3}(q)^{4}}}{\underset {q\to 0} {=}}16q-128q^{2}+O(q^{3})$

där $F$ är den hypergeometriska funktionen , och vi använde Jacobi theta-funktionerna

$\theta _{2}(q)=2q^ {\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)}\quad ,\quad \theta _{3}(q)=\summa _{n\in {\mathbb {Z} }}q^{n^{2}}$

Representationen är av typen

${\mathcal {F}}_{\Delta }^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|z)=(16q)^{\Delta -{\frac {1} {4}}Q^{2}}z^{{\frac {1}{4}}Q^{2}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}(1-z)^{ {\frac {1}{4}}Q^{2}-\Delta _{1}-\Delta _{4}}\theta _{3}(q)^{3Q^{2}-4(\ Delta _{1}+\Delta _{2}+\Delta _{3}+\Delta _{4})}H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)\ .$

Funktionen $H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ är en potensserie i $q$ , som är rekursivt definieras av

$H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)=1+\summa _{m,n=1}^{\infty }{\frac {(16q)^{mn }}{\Delta -\Delta _{(m,n)}}}R_{m,n}H_{\Delta _{(m,-n)}}(\{\Delta _{i}\}| q)\ .$

I denna formel är positionerna $\Delta _{(m,n)}$ för polerna dimensionerna för degenererade representationer, som motsvarar rörelsemängderna

$P_{(m,n)}={\frac {1}{2}}\left(mb+nb^{-1}\right)\ .$

Resterna $R_{m,n}$ av

$R_{m,n}={\ frac {2P_{(0,0)}P_{(m,n)}}{\prod _{r=1-m}^{m}\prod _{s=1-n}^{n}2P_{ (r,s)}}}\prod _{r{\overset {2}{=}}1-m}^{m-1}\prod _{s{\overset {2}{=}}1- n}^{n-1}\prod _{\pm }(P_{2}\pm P_{1}+P_{(r,s)})(P_{3}\pm P_{4}+P_{ (r,s)})\ ,$

där det upphöjda i ${\overset {2}{=}}$ indikerar en produkt som körs i steg om $2$ . Rekursionsrelationen för $H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ kan lösas, vilket ger upphov till en explicit (men opraktisk) formel.

Medan koefficienterna för potensserien $H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ inte behöver vara positiva i enhetsteorier , behöver koefficienterna av ${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{2k} )^{-{\frac {1}{2}}}H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)} är positiva, på grund av$ denna kombinations tolkning i termer av summor av tillstånd i kuddens geometri.

Den rekursiva representationen kan ses som en expansion kring $\Delta =\infty$ . Det kallas ibland $\Delta$ -rekursionen , för att skilja den från $c$ -rekursionen : en annan rekursiv representation, också på grund av Alexei Zamolodchikov , som expanderar runt $c=\infty$ . Båda representationerna kan generaliseras till $N$ -punkt Virasoro konforma block på godtyckliga Riemann-ytor .

Från förhållandet till instantonräkning

Alday-Gaiotto-Tachikawa-relationen mellan tvådimensionell konform fältteori och supersymmetrisk gauge-teori, närmare bestämt mellan Liouville-teorins konforma block och Nekrasovs uppdelningsfunktioner för supersymmetriska gauge-teorier i fyra dimensioner, leder till kombinatoriska uttryck för konforma block som summor över Unga diagram . Varje diagram kan tolkas som ett tillstånd i en representation av Virasoro-algebra, gånger en abelsk affin Lie-algebra .

Speciella fall

Nollpunktsblock på torus

Ett nollpunktsblock beror inte på fältpositioner, men det beror på modulerna för den underliggande Riemann-ytan . I fallet med torus

${\frac {\mathbb {C} }{\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} }},$

att beroende skrivs bättre genom $q=e^{2\pi i\tau }$ och nollpunktsblocket som är associerat med en representation ${\mathcal {R}}$ av Virasoro algebra är

$\chi _{\mathcal {R}}(\tau )=\operatörsnamn {Tr} _{\mathcal {R}}q^{L_ {0}-{\frac {c}{24}}},$

där $L_{0}$ är en generator av Virasoro-algebra. Detta sammanfaller med karaktären av ${\mathcal {R}}.$ Tecknen i några representationer med högst vikt är:

• Verma-modul med konform dimension $\Delta ={\tfrac {c-1}{24}}-P^{2}$ :

$\chi _{P}(\tau )={\frac {q^{-P^{2}}}{\eta (\tau )}},$

där $\eta (\tau )$ är Dedekind eta-funktionen .

• Degenererad representation med momentum $P_{(r,s)}$ :

$\chi _{(r,s)}(\tau )=\chi _{P_{(r,s)}}(\tau )-\chi _{P_{(r,-s)}} (\tau ).$

• Fullständigt degenererad representation vid rationell $b^{2}=-{\tfrac {p}{q}}$ :

$\chi _{(r,s)}(\tau )=\summa _{k\in \mathbb {Z} }\left(\chi _{P_{(r,s)}+ik{\ sqrt {pq}}}(\tau )-\chi _{P_{(r,-s)}+ik{\sqrt {pq}}}(\tau )\right).$

Tecknen transformeras linjärt under de modulära transformationerna :

$\tau \to {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},\qquad {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in SL_{2} (\mathbb {Z} ).$

Speciellt deras transformation under $\tau \to -{\tfrac {1}{\tau }}$ beskrivs av den modulära S-matrisen . Genom att använda S-matrisen kan begränsningar på en CFT:s spektrum härledas från den modulära invariansen av toruspartitionsfunktionen, vilket särskilt leder till ADE-klassificeringen av minimala modeller .

Enpunktsblock på torus

Ett godtyckligt enpunktsblock på torus kan skrivas i termer av ett fyrapunktsblock på sfären med en annan central laddning. Denna relation mappar torusmodulen till korsförhållandet mellan de fyra punkternas positioner, och tre av de fyra fälten på sfären har det fasta momentumet $P_{(0 ,{\frac {1}{2}})}={\tfrac {1}{4b}}$ :

$H_{P'}^{\text{torus}}(P_{1}|q^{2})=H_{P}\left(\left.{\tfrac {1}{4b}}, P_{2},{\tfrac {1}{4b}},{\tfrac {1}{4b}}\right|q\right)\quad {\text{med}}\quad \left\{{\ börja{array}{l}b={\frac {b'}{\sqrt {2}}}\\P_{2}={\frac {P_{1}}{\sqrt {2}}}\\ P={\sqrt {2}}P'\end{array}}\right.$

var

• $H_{P_{s}}\left(\left.P_{1},P_{2},P_{3},P_ {4}\right|q\right)$ är den icke-triviala faktorn för sfärens fyrapunktsblock i Zamolodchikovs rekursiva representation, skriven i termer av momentum $P_{i}$ istället för dimensioner ${ \displaystyle \Delta _{i}}$ .
• $H_{P}^{\text{torus}}(P_{1}|q)$ är den icke-triviala faktorn för torus enpunktsblock ${\mathcal {F}}_{\Delta }^{\text{torus} }(\Delta _{1}|q)=q^{\Delta -{\frac {c-1}{24}}}\eta (q)^{-1}H_{\Delta }^{\text {torus}}(\Delta _{1}|q)$ , där $\eta (q)$ är Dedekind eta-funktionen , den modulära parametern $\tau$ för torus är så att $q=e^{2\pi i\tau }$ , och fältet på torusen har dimensionen $\Delta _{1}$ .

Den rekursiva representationen av enpunktsblock på torus är

$H_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)=1+\summa _{m,n=1}^{\infty }{\frac {q ^{mn}}{\Delta -\Delta _{(m,n)}}}R_{m,n}^{\text{torus}}H_{\Delta _{(m,-n)}}^ {\text{torus}}(\Delta _{1}|q)\ ,$

var resterna finns

$R_{m,n}^{\text{torus}}={\frac {2P_{(0,0)}P_{(m,n)}}{\prod _{r=1-m} ^{m}\prod _{s=1-n}^{n}2P_{(r,s)}}}\prod _{r{\overset {2}{=}}1-2m}^{2m -1}\prod _{s{\overset {2}{=}}1-2n}^{2n-1}\left(P_{1}+P_{(r,s)}\right)\ .$

Under modulära transformationer beter sig enpunktsblock på torus som

${\mathcal {F}}_{ P}^{\text{torus}}\left(P_{1}|-{\tfrac {1}{\tau }}\right)=\int _{i\mathbb {R} }dP'\ S_{ P,P'}(P_{1}){\mathcal {F}}_{P'}^{\text{torus}}\left(P_{1}|\tau \right)\ ,$

där den modulära kärnan finns

$S_{P,P'}(P_{1})={\frac {2^{-{\frac {5}{2}}}}{S_{b}({\frac {Q}{ 2}}+P_{1})}}\prod _{\pm }{\frac {\Gamma _{b}(Q\pm 2P)}{\Gamma _{b}(\pm 2P')}} {\frac {\Gamma _{b}({\frac {Q}{2}}-P_{1}\pm 2P')}{\Gamma _{b}({\frac {Q}{2}} -P_{1}\pm 2P)}}\int _{i\mathbb {R} }du\ e^{4\pi iPu}\prod _{\pm ,\pm }S_{b}\left({ \tfrac {Q}{4}}+{\tfrac {P_{1}}{2}}\pm u\pm P'\right)\ .$

Hypergeometriska block

För en fyrpunktsfunktion på sfären

$\left\langle V_{\langle 2,1\rangle }(x)\prod _{i=1 }^{3}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle$

reduceras andra ordningens BPZ-ekvation till den hypergeometriska ekvationen. En bas av lösningar görs av de två konforma s-kanalblocken som är tillåtna enligt fusionsreglerna, och dessa block kan skrivas i termer av den hypergeometriska funktionen ,

${\begin{aligned}{\mathcal { F}}_{P_{1}+\epsilon {\frac {b}{2}}}^{(s)}(z)&=z^{{\frac {1}{2}}+{\ frac {b^{2}}{2}}+b\epsilon P_{1}}(1-z)^{{\frac {1}{2}}+{\frac {b^{2}}{ 2}}+bP_{3}}\\&\ gånger F\left({\tfrac {1}{2}}+b(\epsilon P_{1}+P_{2}+P_{3}),{ \tfrac {1}{2}}+b(\epsilon P_{1}-P_{2}+P_{3}),1+2b\epsilon P_{1},z\right),\end{aligned} }$

med $\epsilon \in \{+,-\}.$ En annan grund är gjord av de två konforma t-kanalsblocken,

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{P_{3}+\epsilon {\frac {b}{2}}}^{(t)}(z)&=z^{ {\frac {1}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}+bP_{1}}(1-z)^{{\frac {1}{2}}+{ \frac {b^{2}}{2}}+b\epsilon P_{3}}\\&\times F\left({\tfrac {1}{2}}+b(P_{1}+P_ {2}+\epsilon P_{3}),{\tfrac {1}{2}}+b(P_{1}-P_{2}+\epsilon P_{3}),1+2b\epsilon P_{ 3},1-z\right).\end{aligned}}$

Sammansmältningsmatrisen är matrisen av storlek två så att

${\mathcal {F} }_{P_{1}+\epsilon _{1}{\frac {b}{2}}}^{(s)}(x)=\summa _{\epsilon _{3}=\pm }F_ {\epsilon _{1},\epsilon _{3}}{\mathcal {F}}_{P_{3}+\epsilon _{3}{\frac {b}{2}}}^{(t )}(x),$

vars uttryckliga uttryck är

$F_{\epsilon _{1},\epsilon _{3}}={\frac {\Gamma (1-2b\epsilon _{1}P_{1})\Gamma (2b\epsilon _{3 }P_{3})}{\prod _{\pm }\Gamma ({\frac {1}{2}}+b(-\epsilon _{1}P_{1}\pm P_{2}+\ epsilon _{3}P_{3}))}}.$

Hypergeometriska konforma block spelar en viktig roll i den analytiska bootstrap-metoden för tvådimensionell CFT.

Lösningar av Painlevé VI-ekvationen

Om $c=1,$ så är vissa linjära kombinationer av konforma s-kanalsblock lösningar av Painlevé VI olinjära differentialekvation . De relevanta linjära kombinationerna $P_{s}+i\mathbb {Z} .$ typen Detta gör att konforma block kan härledas från lösningar av Painlevé VI-ekvationen och vice versa. Detta leder också till en relativt enkel formel för smältmatrisen vid $c=1.$ Märkligt nog är $c=\infty$ -gränsen för konforma block också relaterad till Painlevé VI ekvation. Relationen mellan $c=\infty$ och $c=1$ -gränserna, mystiska på den konforma fältteorisidan, förklaras naturligt i samband med fyrdimensionella gauge-teorier, med hjälp av blowup-ekvationer, och kan generaliseras till mer allmänna par $c,c'$ av centralladdningar.

Generaliseringar

Andra representationer av Virasoro algebra

De konforma Virasoro-blocken som beskrivs i den här artikeln är associerade med en viss typ av representationer av Virasoro-algebra: representationer med högst vikt, med andra ord Verma-moduler och deras tillbehör. Korrelationsfunktioner som involverar andra typer av representationer ger upphov till andra typer av konforma block. Till exempel:

• Logaritmisk konform fältteori involverar representationer där Virasoro-generatorn $L_{0}$ inte är diagonaliserbar, vilket ger upphov till block som logaritmiskt beror på fältpositioner.
• Representationer kan byggas från stater där vissa förintelsesätt av Virasoro-algebra verkar diagonalt, snarare än att försvinna. Motsvarande konforma block har kallats oregelbundna konforma block .

Större symmetrialgebror

I en teori vars symmetrialgebra är större än Virasoro-algebra, till exempel en WZW-modell eller en teori med W-symmetri , kan korrelationsfunktioner i princip delas upp i Virasoro-konforma block, men den nedbrytningen innefattar vanligtvis för många termer för att vara användbara. Istället är det möjligt att använda konforma block baserade på den större algebra: till exempel, i en WZW-modell, konforma block baserade på motsvarande affina Lie-algebra , som lyder Knizhnik–Zamolodchikovs ekvationer .