W-algebra

För W*-algebra, se Von Neumann algebra .

I konform fältteori och representationsteori är en W-algebra en associativ algebra som generaliserar Virasoro-algebra . W-algebra introducerades av Alexander Zamolodchikov , och namnet "W-algebra" kommer från det faktum att Zamolodchikov använde bokstaven W för ett av elementen i ett av hans exempel.

Definition

En W-algebra är en associativ algebra som genereras av moderna för ett ändligt antal meromorfa fält ${\displaystyle W^{(h)}(z)} ,$ inklusive energimoment-tensorn $T(z)=W^{(2)}(z)$ . För $h\neq 2$ , $W^{(h)}(z)$ är ett primärt fält med konform dimension $h\in {\frac {1}{2}}\mathbb {N} ^{*}$ . Generatorerna $(W_{n}^{(h)})_{n\in \mathbb {Z} }$ i algebra är relaterade till de meromorfa fälten av lägesutvidgningar

$W^{(h)}(z)=\summa _{n\in \mathbb {Z} }W_ {n}^{(h)}z^{-nh}$

Kommuteringsrelationerna för $L_{n}=W_{n}^{(2)}$ ges av Virasoro-algebra , som parametriseras av en central laddning ${\ displaystyle c\in \mathbb {C} }$ . Detta nummer kallas också W-algebras centrala laddning. Kommuteringsförhållandena

$[L_{m},W_{n}^{(h)}]=( (h-1)mn)W_{m+n}^{(h)}$

är ekvivalenta med antagandet att $W^{(h)}(z)$ är ett primärt fält med dimensionen $h$ . Resten av kommuteringsrelationerna kan i princip bestämmas genom att lösa Jacobi-identiteterna .

Givet en ändlig uppsättning konforma dimensioner $H$ (inte nödvändigtvis alla distinkta), antalet W-algebror som genereras av $(W^{(h)})_ {h\in H}$ kan vara noll, en eller flera. De resulterande W-algebrorna kan existera för alla ${\displaystyle c\in \mathbb {C} } ,$ eller bara för vissa specifika värden på den centrala laddningen.

En W-algebra kallas fritt genererad om dess generatorer inte följer några andra relationer än kommuteringsrelationerna. Vanligast studerade W-algebror genereras fritt, inklusive W(N)-algebror. I den här artikeln gäller avsnitten om representationsteori och korrelationsfunktioner för fritt genererade W-algebror.

Konstruktioner

Även om det är möjligt att konstruera W-algebror genom att anta förekomsten av ett antal meromorfa fält $W^{(h)}(z)$ och lösa Jacobi-identiteterna , finns det också systematiska konstruktioner av familjer av W-algebror.

Drinfeld-Sokolov reducering

Från en ändlig dimensionell Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ , tillsammans med en inbäddning ${\mathfrak {sl}}_{2}\hookrightarrow {\mathfrak {g }}$ , en W-algebra kan konstrueras från den universella enveloping-algebra av den affina Lie-algebra ${\hat {\mathfrak {g}}}$ genom en sorts BRST-konstruktion . Då är W-algebrans centrala laddning en funktion av nivån på den affina Lie-algebra.

Coset konstruktion

Givet en ändlig dimensionell Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ , tillsammans med en subalgebra ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}} ,$ a W -algebra $W({\hat {\mathfrak {g}}}/{\hat {\mathfrak {h}}})$ kan konstrueras från motsvarande affina Lie-algebra ${\hat {\mathfrak {h}}}\hookrightarrow {\hat {\mathfrak {g}}}$ . Fälten som genererar $W({\hat {\mathfrak {g}}}/{\hat {\mathfrak {h}}})$ är polynomen i strömmarna av ${\hat {\mathfrak {g}}}$ och deras derivator som pendlar med strömmarna av ${\hat {\mathfrak {h}}}$ . Den centrala laddningen för $W({\hat {\mathfrak {g}}}/{\hat {\mathfrak {h}}})$ är skillnaden mellan centralladdningarna för ${\hat {\mathfrak {g}}}$ och ${\hat {\mathfrak {h}}}$ , som själva ges i termer av deras nivå av Sugawara-konstruktionen .

Kommutator av en uppsättning visningar

Givet ett holomorft fält $\phi (z)$ med värden i $\mathbb {R} ^{n}$ , och en uppsättning av $n$ vektorer ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R} ^{n}} ,$ en W-algebra kan definieras som mängden polynom av ${ \displaystyle \phi }$ och dess derivator som pendlar med screeningavgifterna $\oint e^{(a_{i},\phi (z))}dz$ . Om vektorerna $a_{i}$ är de enkla rötterna av en Lie-algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}} ,$ sammanfaller den resulterande W-algebra med en algebra som erhålls från ${\ displaystyle {\mathfrak {g}}}$ av Drinfeld-Sokolov reduktion.

W(N)-algebrorna

För vilket heltal som helst $N\geq 2$ är W(N)-algebra en W-algebra som genereras av $N-1$ meromorfa fält med dimensionerna $2,3,\dots ,N$ . W(2)-algebra sammanfaller med Virasoro-algebra .

Konstruktion

W(N)-algebra erhålls genom Drinfeld-Sokolov-reduktion av den affina Lie-algebra ${\widehat {\mathfrak {sl}}}_{N}$ .

Inbäddningarna ${\mathfrak {sl}}_{2}\hookrightarrow {\mathfrak {sl}}_{N}$ parametriseras av heltalspartitionerna för $N$ , tolkad som nedbrytningar av den fundamentala representationen $F$ av ${\mathfrak {sl}}_{N}$ till representationer av ${\mathfrak {sl}}_ {2}$ . Mängden $H$ av dimensioner för generatorerna för den resulterande W-algebra är sådan att $F\otimes F=R_{1} \oplus \bigoplus _{h\in H}R_{2h-1}$ där $R_{d}$ är den $d$ -dimensionella irreducerbara representationen av ${\ mathfrak {sl}}_{2}$ .

Den triviala partitionen $N=N$ motsvarar W(N)-algebra, medan $N=1+1+\dots +1$ motsvarar ${\widehat {\mathfrak {sl}}}_{N}$ själv. I fallet ${\displaystyle N=3} leder$ partitionen $3=2+1$ till Bershadsky-Polyakov algebra, vars genererande fält har dimensionerna $2,{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}},1$ .

Egenskaper

Den centrala laddningen för W(N)-algebra ges i termer av nivån $k$ för den affina Lie-algebra av

$c_{W(N)}=(N-1)\ vänster(1-N(N+1)\vänster({\frac {1}{k+N}}+k+N-2\höger)\höger)$

i notationer där den centrala laddningen av den affina Lie-algebra är

$c_{{\widehat {\mathfrak {sl}}}_{N }}=(N-1)(N+1)-{\frac {N(N-1)(N+1)}{k+N}}$

Det är möjligt att välja en bas så att kommuteringsrelationerna är invarianta under $W^{(h)}\to (-1)^{h}W ^{(h)}$ .

Medan Virasoro-algebra är en subalgebra till den universella omslutande algebra av ${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {sl}}}_{2}} ,$ W(N)-algebra med $N\geq 3$ är inte en subalgebra till den universella omslutande algebra av ${\widehat {\mathfrak {sl}}}_{N}$ .

Exempel på W(3)-algebra

W(3) algebra genereras av generatorerna av Virasoro algebra ${\displaystyle (L_{n})_{n\in \mathbb {Z} }} ,$ plus en annan oändlig familj av generatorer $(W_{n})_{n\in \mathbb {Z} }=(W_{n}^{(3)} )_{n\in \mathbb {Z} }$ . Kommuteringsförhållandena är

$[L_{m},L_{n}]=(mn) L_{m+n}+{\frac {c}{12}}m(m^{2}-1)\delta _{m+n,0}$

$[L_{m},W_{n}]=(2m-n)W_{m+n}$

$[ W_{m},W_{n}]={\frac {c}{360}}m(m^{2}-1)(m^{2}-4)\delta _{m+n,0} +{\frac {16}{22+5c}}\Lambda _{m+n}+{\frac {(mn)(2m^{2}-mn+2n^{2}-8)}{30} }L_{m+n}$

där $c\in \mathbb {C}$ är den centrala laddningen, och vi definierar

$\Lambda _ {n}=\summa _{m=-\infty }^{-2}L_{m}L_{nm}+\summa _{m=-1}^{\infty }L_{nm}L_{m} -{\frac {3}{10}}(n+2)(n+3)L_{n}$

Fältet $\Lambda (z)=\summa _{n\in \mathbb {Z} }\Lambda _{n}z^{- n-4}$ är sådan att $\Lambda =(TT)-{\frac {3}{10}}T''$ .

Representationsteori

Högsta viktrepresentationer

En representation med högst vikt av en W-algebra är en representation som genereras av ett primärt tillstånd: en vektor $v$ så att

$W_{n>0}^{(h)}v=0\quad ,\quad W_{0}^{( h)}v=q^{(h)}v$

för vissa tal $q^{(h)}$ laddningarna, inklusive den konforma dimensionen $q^{(2)}=\Delta$ .

Givet en uppsättning ${\vec {q}}=(q^{(h)})_{h\in H}$ av laddningar, motsvarar motsvarande Verma-modul är den största representationen med högst vikt som genereras av ett primärt tillstånd med dessa avgifter. En grund för Verma-modulen är

$\left\{\prod _{h\in H}W_{-{\vec {N}}_{h} }^{(h)}v\right\}_{{\vec {N}}_{h}\in {\mathcal {V}}}$

där ${\mathcal {V}}$ är uppsättningen av ordnade tuplar av strikt positiva heltal av typen ${\vec {N} }=(n_{1},n_{2},\dots ,n_{p})$ med $0<n_{1}\leq n_{2}\ leq \dots \leq n_{p}$ , och $W_{-{\vec {N}}}=W_{-n_{ 1}}W_{-n_{2}}\dots W_{-n_{p}}$ . Förutom $v$ i sig, kallas elementen i denna bas descendant tillstånd, och deras linjära kombinationer kallas även descendant states.

För generiska värden på laddningarna är Verma-modulen den enda högsta viktrepresentationen. För speciella värden på laddningarna som beror på algebrans centrala laddning, finns det andra representationer med högst vikt, kallade degenererade representationer. Degenererade representationer existerar om Verma-modulen är reducerbar, och de är kvoter av Verma-modulen med dess icke-triviala undermoduler.

Degenererade representationer

Om en Verma-modul är reducerbar, är vilken som helst oupplöslig undermodul i sig en representation med högsta vikt och genereras av ett tillstånd som är både understigande och primärt, kallat ett nolltillstånd eller nollvektor. En degenererad representation erhålls genom att nollställa en eller flera nollvektorer. Att sätta alla nollvektorer till noll leder till en irreducerbar representation.

Strukturerna och karaktärerna hos irreducerbara representationer kan härledas genom Drinfeld-Sokolov-reduktion från representationer av affina Lie-algebror.

Förekomsten av nollvektorer är endast möjlig under $c$ -beroende begränsningar på laddningen ${\vec {q}}$ . En Verma-modul kan bara ha ändligt många nollvektorer som inte är ättlingar till andra nollvektorer. Om vi ​​utgår från en Verma-modul som har ett maximalt antal nollvektorer, och sätter alla dessa nollvektorer till noll, får vi en irreducerbar representation som kallas en helt degenererad representation.

Till exempel, i fallet med algebra W(3), Verma-modulen med försvinnande laddningar $q^{(2)}=q^{(3)}=0$ har de tre nollvektorerna $L_{-1}v,W_{-1}v,W_{-2}v$ på nivåerna 1, 1 och 2. Att ställa in dessa nollvektorer till noll ger en helt degenererad representation som kallas vakuummodulen. Den enklaste icke-triviala helt degenererade representationen av W(3) har försvinnande nollvektorer på nivåerna 1, 2 och 3, vars uttryck är explicit kända.

En alternativ karaktärisering av en helt degenererad representation är att dess fusionsprodukt med vilken Verma-modul som helst är en summa av ändligt många oupplösliga representationer.

Fall av W(N)

Det är bekvämt att parametrisera representationer med högst vikt, inte genom uppsättningen laddningar ${\vec {q}}=(q^{(2)} ,\dots ,q^{(N)})$ , men av ett element $P$ i viktutrymmet för ${\mathfrak {sl}}_{N}$ , kallat Momentum.

Låt $e_{1},\dots ,e_{N-1}$ vara de enkla rötterna till ${\mathfrak {sl}}_{N}$ , med en skalär produkt $K_{ij}=(e_{i},e_{j})$ given av Cartan-matrisen för ${ \mathfrak {sl}}_{N}$ , vars element som inte är noll är $K_{ii}=2,K_{ i,i+1}=K_{i,i-1}=-1$ . De ${\frac {1}{2}}N(N-1)$ positiva enkla rötter är summor av valfritt antal på varandra följande enkla rötter, och Weyl-vektorn är deras halv- summa $\rho ={\frac {1}{2}}\sum _{e>0}e$ , som lyder $(\rho ,\rho )={\frac {1}{12}}N(N^{2}-1)$ . Grundvikterna $\dots ,\omega _{N-1}}$${\ displaystyle (\omega _{i},e_{j})=\delta _{ij}}$ definieras av ) . Då är momentum en vektor

$P=\sum _{i=1}^{N-1}P_{i}\omega _{i}\quad ie\quad (e_{i},P )=P_{i}$

Laddningarna $q^{(h)}$ är funktioner av rörelsemängden och den centrala laddningen, invarianta under inverkan av Weyl-gruppen . Speciellt $q^{(h)}$ ett polynom av momentum av grad $h$ , som under Dynkin-diagrammet automorfism $e_{i}^{*}=e_{Ni}$ beter sig som $q^{(h)}(P^ {*})=(-1)^{h}q^{(h)}(P)$ . Den konforma dimensionen är

$q^{(2)}={\frac {c+1-N}{24}}-(P,P)$

Låt oss parametrisera den centrala laddningen i termer av ett tal $b$ så att

$c=(N-1){\big (}1+N(N+1)\vänster (b+b^{-1}\höger)^{2}{\big )}$

Om det finns en positiv rot $e>0$ och två heltal $r,s\in \mathbb {N} ^{*}$ så att

$(e,P)=rb+sb^{-1}$

då har Verma-modulen för momentum $P$ en nollvektor på nivån $rs$ . Denna nollvektor är i sig ett primärt momentumtillstånd $P-rbe$ eller motsvarande (genom en Weyl-reflektion) $P-sb^{-1}e$ . Antalet oberoende nollvektorer är antalet positiva rötter så att $(e,P)\in \mathbb {N} ^{*}b+\ mathbb {N} ^{*}b^{-1}$ (upp till en Weyl-reflektion).

Det maximala antalet nollvektorer är antalet positiva rötter ${\frac {1}{2}}N(N-1)$ . Motsvarande momentum är av typen

$P=(b+b^{-1})\rho +b\Omega ^{+}+b^{- 1}\Omega ^{-}$

där $\Omega ^{+},\Omega ^{-}$ är integral dominanta vikter , dvs element av ${\displaystyle \sum _{i= 1}^{N-1}\mathbb {N} \omega _{i}} ,$ som är högsta vikter av irreducerbara finita dimensionella representationer av ${\mathfrak {sl}}_{N}$ . Låt oss kalla ${\mathcal {R}}_{\Omega _{+},\Omega _{-}}$ motsvarande helt degenererade representation av W(N)-algebra.

Den oreducerbara finita dimensionella representationen $R_{\Omega }$ av ${\mathfrak {sl}}_{N}$ med högsta vikt $\Omega$ har en ändlig mängd av vikter $\Lambda _{\Omega }$ , med $|\Lambda _{\Omega }|=\dim(R_{\Omega })$ . Dess tensorprodukt med en Verma-modul $V_{p}$ med vikt $p\in \sum _{i=1}^{N-1 }\mathbb {R} \omega _{i}$ är $R_{\Omega }\otimes V_{p}=\bigoplus _{\lambda \in \Lambda _{\Omega }}V_{p+\lambda }$ . Fusionsprodukten av den helt degenererade representationen ${\mathcal {R}}_{\Omega _{+},\Omega _{-}}$ av W(N) med en Verma-modul ${\mathcal {V}}_{P}$ av momentum $P$ är då

${\mathcal {R}}_{\Omega _{+},\Omega _{-}}\ gånger {\mathcal {V}}_{P}=\summa _{\lambda _{+}\in \Lambda _{\Omega _{+}}} \sum _{\lambda _{-}\in \Lambda _{\Omega _{-}}}{\mathcal {V}}_{P+b\lambda _{+}+b^{-1}\ lambda _{-}}$

Korrelationsfunktioner

Primära fält

Till ett primärt laddningstillstånd ${\displaystyle {\vec {q}}=(q^{(h)})_{h\in H}} ,$ tillståndet- fältkorrespondens associerar ett primärt fält $V_{\vec {q}}(z)$ , vars operatörsprodukt expanderar med fälten $W^{(h )}(z)$ är

$W^{(h)}(y)V_{\vec {q}}(z)=\left({\frac {q^{(h)}}{ (yz)^{h}}}+\summa _{n=1}^{h-1}{\frac {W_{-n}^{(h)}}{(yz)^{hn}}} \right)V_{\vec {q}}(z)+O(1)$

På vilket fält som helst ${\displaystyle V(z)} fungerar$ läget $L_{-1}$ för energimoment-tensorn som en derivata, $L_{-1}V(z)={\frac {\partial }{\partial z}}V(z)$ .

Församlingsidentiteter

På Riemann-sfären, om det inte finns något fält i oändligheten, har vi $W^{(h)}(y){\underset { y\to \infty }{=}}O\left(y^{-2h}\right)$ . För $n=0,1,\dots ,2h-2$ , identiteten $\oint _{\infty }dy\ y^{n}W^{(h)}(y)=0$ kan infogas i vilken korrelationsfunktion som helst. Därför ger fältet $W^{(h)}(y)$ upphov till $2h-1$ globala avdelningsidentiteter.

Lokala avdelningsidentiteter erhålls genom att infoga $\oint _{\infty }dy\ \varphi (y)W^{(h)}(y) =0$ , där $\varphi (y)$ är en meromorf funktion så att $\varphi (y){\ underställ {y\to \infty }{=}}O\left(y^{2h-2}\right)$ . I en korrelationsfunktion av primära fält bestämmer lokala avdelningsidentiteter verkan av $W_{-n}^{(h)}$ med $n\geq h$ i termer av åtgärden av $W_{-n}^{(h)}$ med $n\leq h-1$ .

Till exempel, i fallet med en trepunktsfunktion på sfären $\left\langle \prod _{i=1}^{3}V_ {{\vec {q}}_{i}}(z_{i})\right\rangle$ av W(3)-primära fält, lokala avdelningsidentiteter bestämmer alla efterkommande trepunktsfunktioner som linjära kombinationer av descendent tre -punktsfunktioner som endast involverar $L_{-1},W_{-1},W_{-2}$ . Global Ward-identiteter minskar ytterligare problemet med att bestämma trepunktsfunktioner av typen $\ vänster\langle V_{{\vec {q}}_{1}}(z_{1})V_{{\vec {q}}_{2}}(z_{2})W_{-1}^{ k}V_{{\vec {q}}_{3}}(z_{3})\right\rangle$ för $k\in \mathbb {N}$ .

I W(3)-algebra, som i generiska W-algebror, kan därför inte korrelationsfunktioner för efterkommande fält härledas från korrelationsfunktioner för primära fält med hjälp av Ward-identiteter, vilket var fallet för Virasoro-algebra. AW(3)-Verma-modulen förekommer i fusionsprodukten av två andra W(3)-Verma-moduler med en mångfald som i allmänhet är oändlig.

Differentialekvationer

En korrelationsfunktion kan följa en differentialekvation som generaliserar BPZ-ekvationerna om fälten har tillräckligt många försvinnande nollvektorer.

En fyrpunktsfunktion av W(N)-primära fält på sfären med ett helt degenererat fält lyder en differentialekvation om $N=2$ men inte om $N\geq 3$ . I det senare fallet, för att en differentialekvation ska existera, måste ett av de andra fälten ha försvinnande nollvektorer. Till exempel, en fyrpunktsfunktion med två momentumfält $P_{1}=(b+b^{-1})\rho +b \omega _{1}$ (helt degenererad) och $P_{2}=(b+b^{-1})\rho + x\omega _{N-1}$ med $x\in \mathbb {C}$ (nästan helt degenererad) lyder en differentialekvation vars lösningar är generaliserade hypergeometriska funktioner av typen ${\ visningsstil {}_{N}F_{N-1}}$ .

Tillämpningar på konform fältteori

W-minimal modeller

W-minimalmodeller är generaliseringar av Virasoro-minimalmodeller baserade på en W-algebra. Deras tillståndsrum består av ändligt många helt degenererade representationer. De finns för vissa rationella värden för den centrala laddningen: i fallet med W(N)-algebra, värden av typen

$c_{p,q}^{(N)}= N-1-N(N^{2}-1){\frac {(pq)^{2}}{pq}}\quad {\text{med}}\quad p,q\in \mathbb {N } ^{*}$

AW(N)-minimal modell med central laddning $c_{k+N,k+N+1}$ kan konstrueras som en sammansättning av Wess-Zumino-Witten modeller ${\frac {SU(N)_{k}\ gånger SU(N)_{1}}{SU(N )_{k+1}}}$ .

Till exempel har den tvådimensionella kritiska tre-tillståndsmodellen Potts central laddning $c_{5,6}^{(2)}= c_{4,5}^{(3)}={\frac {4}{5}}$ . Spinn observerbara av modellen kan beskrivas i termer av D-seriens icke-diagonala Virasoro minimal modell med $(p,q)=(5,6)$ , eller i termer av den diagonala W(3)-minimalmodellen med $(p,q)=(4,5)$ .

Konform Toda-teori

Conformal Toda-teorin är en generalisering av Liouville-teorin som bygger på en W-algebra. Givet en enkel Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ , är lagrangian en funktion av ett fält $\phi$ som hör till rotrymden för ${\mathfrak {g} }$ , med en interaktionsterm för varje enkel rot:

$L[\phi ]={\frac { 1}{2\pi }}(\partial \phi ,{\bar {\partial }}\phi )+\mu \sum _{e\in \{{\text{enkla rötter av }}{\mathfrak { g}}\}}\exp \left(b(e,\phi )\right)$

Detta beror på den kosmologiska konstanten ${\displaystyle \mu } ,$ som inte spelar någon meningsfull roll, och på parametern $b$ , som är relaterad till den centrala laddningen. Den resulterande fältteorin är en konform fältteori, vars kirala symmetrialgebra är en W-algebra konstruerad från ${\mathfrak {g}}$ av Drinfeld-Sokolov-reduktion. För att bevara konform symmetri i kvantteorin är det avgörande att det inte finns fler interaktionstermer än komponenter i vektorn $\phi$ .

Metoderna som leder till lösningen av Liouville-teorin kan tillämpas på W(N)-konform Toda-teori, men de leder bara till analytisk bestämning av en viss klass av trepunktsstrukturkonstanter och W(N)-konforma Toda teorin med $N\geq 3$ har inte lösts.

Logaritmisk konform fältteori

Vid central laddning $c=c_{1,q}^{(2)}$ kan Virasoro-algebra utökas med en triplett av generatorer med dimensionen ${\ displaystyle 2q-1}$ , vilket bildar en W-algebra med uppsättningen dimensioner $H=\{2,2q-1, 2q-1,2q-1\}$ . Sedan är det möjligt att bygga en rationell konform fältteori utifrån denna W-algebra, som är logaritmisk. Det enklaste fallet erhålls för $q=2$ , har central laddning ${\displaystyle c=-2} ,$ och har studerats särskilt väl, inklusive i närvaro av en gräns.

Relaterade begrepp

Finita W-algebror

Finita W-algebror är vissa associativa algebror associerade med nilpotenta element i semisimpla Lie-algebror .

Den ursprungliga definitionen, tillhandahållen av Alexander Premet, börjar med ett par $({\mathfrak {g}},e)$ bestående av en reduktiv Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ över de komplexa talen och ett nilpotent element e . Enligt Jacobson-Morozovs sats är e en del av en sl ₂ trippel ( e , h , f ) . Egenrymdsuppdelningen av ad( h ) inducerar en $\mathbb {Z}$ -gradering på ${\mathfrak {g}}$ :

${\mathfrak {g}}=\bigoplus {\mathfrak {g}}(i).$

Definiera ett tecken $\chi$ (dvs en homomorfism från ${\mathfrak {g}}$ till den triviala 1-dimensionella Lie-algebra) med regeln $\chi (x)=\kappa (e,x)$ , där $\kappa$ betecknar Killing-formen . Detta inducerar en icke-degenererad antisymmetrisk bilinjär form på den −1 graderade biten enligt regeln:

$\omega _{\chi }(x,y)=\chi ([x,y]).$

Efter att ha valt valfritt lagrangiskt delrum $l$ , kan vi definiera följande nilpotenta subalgebra som verkar på den universella omslutande algebra genom adjoint åtgärd .

${\mathfrak {m}}=l+\bigoplus _{i\leq -2}{\mathfrak {g}}(i).$

Det vänstra idealet $I$ för den universella omslutande algebra $U({\mathfrak {g}})$ genererat av $\ {x-\chi (x):x\in {\mathfrak {m}}\}$ är invariant under denna åtgärd. Det följer av en kort beräkning att invarianterna i $U({\mathfrak {g}})/I$ under ad $({\mathfrak {m}})$ ärv den associativa algebrastrukturen från $U({\mathfrak {g}})$ . Det invarianta delutrymmet $(U({\mathfrak {g}})/I)^{{\text{ad}}({\mathfrak {m}}) }$ kallas den finita W-algebra konstruerad från $({\mathfrak {g}},e)$ , och betecknas vanligtvis ${\displaystyle U({\$ .

Vidare läsning

•     de Boer, Jan; Tjin, Tjark (1993), " Quantization and representation theory of finite W algebras" , Communications in Mathematical Physics , 158 (3): 485–516, arXiv : hep -th/9211109 , Bibcode : 1993CMaPh.1558..4i : 10.1007/bf02096800 , ISSN 0010-3616 , MR 1255424 , S2CID 204933347
•    Bouwknegt, P.; Schoutens, K., red. (1995), W-symmetry , Advanced Series in Mathematical Physics, vol. 22, River Edge, New Jersey: World Scientific Publishing Co., doi : 10.1142/2354 , ISBN 978-981021762-4 , MR 1338864
• Brown, Jonathan, Finita W-algebror av klassisk typ (PDF)
•    Dickey, LA (1997), "Lectures on classical W-algebras", Acta Applicandae Mathematicae , 47 (3): 243–321, doi : 10.1023/A:1017903416906 , ISSN 0167-82019 601 S85019 601
•     Gan, Wee Liang; Ginzburg, Victor (2002), "Quantization of Slodowy slices", International Mathematics Research Notices , 2002 (5) : 243–255, arXiv : math/0105225 , doi : 10.1155/S107379 09021, 107379 09021 , 107379 09021, 7021 , 10737928021 76934 , S2CID 13895488
•     Losev, Ivan (2010), "Quantized symplectic actions and W-algebras", Journal of the American Mathematical Society , 23 (1): 35–59, arXiv : 0707.3108 , Bibcode : 2010JAMS...23...35L , doi : 10.1090/S0894-0347-09-00648-1 , ISSN 0894-0347 , MR 2552248 , S2CID 16211165
• Pope, CN (1991), Lectures on W algebras and W gravity , Lectures given at Trieste Summer School in High-Energy Physics, augusti 1991, arXiv : hep-th/9112076 , Bibcode : 1991hep.th...12076P