Generalisering av Eulers gammafunktion och Barnes G-funktionen
Plott av Barnes G aka dubbel gammafunktion G(z) i det komplexa planet från -2-2i till 2+2i med färger skapade med Mathematica 13.1-funktionen ComplexPlot3D
I matematik är den multipla gammafunktionen
Γ
N
{\displaystyle \Gamma _{N}}
gammafunktion och Barnes G-funktionen . Den dubbla gammafunktionen studerades av Barnes (1901) . I slutet av denna artikel nämnde han förekomsten av flera gammafunktioner som generaliserar det, och studerade dessa ytterligare i Barnes (1904) .
Dubbla gammafunktioner
Γ
2
{\displaystyle \Gamma _{2}}
q-gamma-funktionen och trippelgammafunktioner
Γ
3
{\displaystyle \Gamma _{3}}
elliptiska gammafunktionen .
Definition
För
ℜ
a
i
>
0
{\displaystyle \Re a_{i}>0}
Γ
N
( w ∣
a
1
, … ,
a
N
) = exp
(
∂
∂ s
ζ
N
( s , w ∣
a
1
, … ,
a
N
)
|
s =
0
)
,
{\displaystyle \Gamma _{N}( w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})=\exp \left(\left.{\frac {\partial }{\partial s}}\zeta _{N}(s,w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})\right|_{s=0}\right)\ ,}
där
ζ
N
{\displaystyle \zeta _{N}}
Barnes zeta-funktion . (Detta skiljer sig med en konstant från Barnes ursprungliga definition.)
Egenskaper
Betraktas som en meromorf funktion av
w
{\displaystyle w}
Γ
N
( w ∣
a
1
, … ,
a
N
)
{\displaystyle \Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N })}
w = −
∑
i = 1
N
n
i
a
i
{\displaystyle w=-\sum _{i=1}^{N}n_{i}a_{i}}
n
i
{\displaystyle n_{i}}
Γ
N
( w ∣
a
1
, … ,
a
N
)
{\displaystyle \Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})}
Γ
0
( w ∣ ) =
1 w
,
{\displaystyle \Gamma _{0}(w\mid )={\frac {1}{w}}\ ,}
Γ
1
( w ∣ a ) =
a
a
− 1
w −
1 2
2 π
Γ
(
a
− 1
w
)
,
{\displaystyle \Gamma _{1}(w\mid a)={\frac {a^{a ^{-1}w-{\frac {1}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\Gamma \left(a^{-1}w\right)\ ,}
Γ
N
( w ∣
a
1
, … ,
a
N
) =
Γ
N − 1
( w ∣
a
1
, … ,
a
N − 1
)
Γ
N
( w +
a
N
∣
a
1
, … ,
a
N
) .
{\displaystyle \Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})=\Gamma _{N-1}(w\mid a_{1},\ldots,a_{N -1})\Gamma _{N}(w+a_{N}\mid a_{1},\ldots ,a_{N})\ .}
Oändlig produktrepresentation
Multipel gamma-funktionen har en oändlig produktrepresentation som gör det uppenbart att den är meromorf, och som också gör positionerna för dess poler manifest. I fallet med den dubbla gammafunktionen är denna representation
Γ
2
( w ∣
a
1
,
a
2
) =
e
λ
1
w +
λ
2
w
2
w
∏
(
n
1
,
n
2
) ∈
N
2
0
0
(
n
1
,
n
2
) ≠ ( , )
e
w
n
1
a
1
+
n
2
a
2
−
1 2
w
2
(
n
1
a
1
+
n
2
a
2
)
2
1 +
w
n
1
a
1
+
n
2
a
2
,
{\displaystyle \Gamma _{2}(w\mid a_{ 1},a_{2})={\frac {e^{\lambda _{1}w+\lambda _{2}w^{2}}}{w}}\prod _{\begin{array}{ c}(n_{1},n_{2})\in \mathbb {N} ^{2}\\(n_{1},n_{2})\neq (0,0)\end{array}} {\frac {e^{{\frac {w}{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {w^ {2}}{(n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2})^{2}}}}}{1+{\frac {w}{n_{1}a_{1} +n_{2}a_{2}}}}}\ ,}
där vi definierar de
w
{\displaystyle w}
0
λ
1
= −
Res
0
s = 1
ζ
2
( s , ∣
a
1
,
a
2
) ,
{\displaystyle \lambda _{1}=-{\underset {s=1}{\operatörsnamn {Res} _{0} }}\zeta _{2}(s,0\mid a_{1},a_{2})\ ,}
0
0
λ
2
=
1 2
Res
0
s = 2
ζ
2
( s , ∣
a
1
,
a
2
) +
1 2
Res
1
s = 2
ζ
2
( s , ∣
a
1
,
a
2
) ,
{\displaystyle \lambda _{2}={\frac {1}{2}}{\underset {s=2}{\operatörsnamn {Res} _{0}}}\zeta _{2}(s,0\mid a_{1},a_{2})+{\frac {1}{2}}{\underset {s=2} {\operatörsnamn {Res} _{1}}}\zeta _{2}(s,0\mid a_{1},a_{2})\ ,}
där
Res
n
s =
s
0
f ( s ) =
1
2 π i
∮
s
0
( s −
s
0
)
n − 1
f ( s ) d s
{\displaystyle {\underset {s=s_{0}}{\operatörsnamn {Res } _{n}}}f(s)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{s_{0}}(s-s_{0})^{n-1}f( s)\,ds}
n
{\displaystyle n}
s
0
{\displaystyle s_{0}}
Reduktion till Barnes G-funktion
Den dubbla gammafunktionen med parametrarna
1 , 1
{\displaystyle 1,1}
Γ2
)
( w + 1
|
1 , 1 ) =
2 π
Γ ( w
,
Γ2
π
( w
|
1 , 1 ) ,
Γ2
.
( 1
|
1 1 ) = 2
_ _
_
{\displaystyle \Gamma _{2}(w+1|1,1)={\frac {\sqrt {2\pi }}{\Gamma (w)}}\Gamma _{2}(w|1, 1)\quad ,\quad \Gamma _{2}(1|1,1)={\sqrt {2\pi }}\ .}
Det är relaterat till Barnes G-funktion av
Γ2
_
( w
|
1 , 1 ) =
( 2 π
)
w2G
.
_
( w )
_
{\displaystyle \Gamma _{2}(w|1,1)={\frac {(2\pi )^{\frac {w}{2}}}{G(w)}}\ .}
Den dubbla gammafunktionen och konformfältteorin
För
ℜ b >
0
{\displaystyle \Re b>0}
Q = b +
b
− 1
{\displaystyle Q=b+b^{-1}}
Γ
b
( w ) =
Γ
2
( w ∣ b ,
b
− 1
)
Γ
2
(
Q 2
∣ b ,
b
− 1
)
,
{\displaystyle \Gamma _{b}(w)={\frac {\Gamma _ {2}(w\mid b,b^{-1})}{\Gamma _{2}\left({\frac {Q}{2}}\mid b,b^{-1}\right) }}\ ,}
är invariant under
b →
b
− 1
{\displaystyle b\to b^{-1}}
Γ
b
( w + b ) =
2 π
b
b w −
1 2
Γ ( b w )
Γ
b
( w ) ,
Γ
b
( w +
b
− 1
) =
2 π
b
−
b
− 1
w +
1 2
Γ (
b
- 1
w )
Γ
b
( w ) .
{\displaystyle \Gamma _{b}(w+b)={\sqrt {2\pi }}{\frac {b^{bw-{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (bw )}}\Gamma _{b}(w)\quad ,\quad \Gamma _{b}(w+b^{-1})={\sqrt {2\pi }}{\frac {b^{ -b^{-1}w+{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (b^{-1}w)}}\Gamma _{b}(w)\ .}
För
ℜ w >
0
{\displaystyle \Re w>0}
log
Γ
b
( w ) =
0
∫
∞
d t
t
[
e
− w t
−
e
−
Q 2
t
( 1 −
e
− b t
) ( 1 −
e
−
b
− 1
t
)
−
(
Q 2
− w
)
2
2
e
− t
−
Q 2
− w
t
]
.
{\displaystyle \log \Gamma _{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {e^{-wt}- e^{-{\frac {Q}{2}}t}}{(1-e^{-bt})(1-e^{-b^{-1}t})}}-{\frac {\left({\frac {Q}{2}}-w\right)^{2}}{2}}e^{-t}-{\frac {{\frac {Q}{2}}- w}{t}}\right]\ .}
Från funktionen
Γ
b
( w )
{\displaystyle \Gamma _{b}(w)}
dubbla sinusfunktionen
S
b
( w )
{\displaystyle S_{b}(w)}
Upsilon-funktionen
Υ
b
( w )
{\displaystyle \Upsilon _{b}(w)}
Sb
Υb
( w ) =
Γb
(
( w )
Γb
−
( Q − w )
,
(
1Γb
w ) =
w
_
Γb
w
) (
Q
_
_ _ _ _
)
. _
{\displaystyle S_{b}(w)={\frac {\Gamma _{b}(w)}{\Gamma _{b}(Qw)}}\quad ,\quad \Upsilon _{b}(w )={\frac {1}{\Gamma _{b}(w)\Gamma _{b}(Qw)}}\ .}
Dessa funktioner lyder relationerna
S
b
( w + b ) = 2 sin ( π b w )
S
b
( w ) ,
Υ
b
( w + b ) =
Γ ( b w )
Γ ( 1 − b w )
b
1 − 2 b w
Υ
b
( w ) ,
{\displaystyle S_{b}(w+b)=2\sin(\pi bw)S_{b}(w)\quad ,\quad \Upsilon _{b}(w+b)={ \frac {\Gamma (bw)}{\Gamma (1-bw)}}b^{1-2bw}\Upsilon _{b}(w)\ ,}
plus de relationer som erhålls av
b →
b
− 1
{\displaystyle b\to b^{-1}}
0
< ℜ w < ℜ Q
{\displaystyle 0<\Re w<\Re Q}
log
S
b
( w ) =
0
∫
∞
d t
t
[
sinh
(
Q 2
− w
)
t
2 sinh
(
1 2
b t
)
sinh
(
1 2
b
− 1
t
)
−
Q − 2 w
t
]
,
{\displaystyle \log S_{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {\sinh \left({\frac { Q}{2}}-w\right)t}{2\sinh \left({\frac {1}{2}}bt\right)\sinh \left({\frac {1}{2}}b ^{-1}t\right)}}-{\frac {Q-2w}{t}}\right]\ ,}
log
Υ
b
( w ) =
0
∫
∞
d t
t
[
(
Q 2
− w
)
2
e
− t
−
sinh
2
1 2
(
Q 2
− w
)
t
sinh
(
1 2
b t
)
sinh
(
1 2
b
− 1
t
)
]
.
{\displaystyle \log \Upsilon _{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[\left({\frac {Q}{2 }}-w\right)^{2}e^{-t}-{\frac {\sinh ^{2}{\frac {1}{2}}\left({\frac {Q}{2} }-w\right)t}{\sinh \left({\frac {1}{2}}bt\right)\sinh \left({\frac {1}{2}}b^{-1}t \eller hur]\ .}
Funktionerna
Γ
b
,
S
b
{\displaystyle \Gamma _{b},S_{b}}
Υ
b
{\displaystyle \Upsilon _{b}}
tvådimensionell konform fältteori , med parametern
b
{\displaystyle b}
Virasoro-algebra . I synnerhet är Liouvilleteorins trepunktsfunktion skriven i termer av funktionen
Υ
b
{\displaystyle \Upsilon _{b}}
Vidare läsning
Barnes, EW (1899), "The Genesis of the Double Gamma Functions", Proc . London Math. Soc. , s1-31: 358–381, doi : 10.1112/plms/s1-31.1.358
Barnes, EW (1899), "The Theory of the Double Gamma Function", Proceedings of the Royal Society of London , 66 (424–433): 265–268, doi : 10.1098/rspl.1899.0101 , ISSN 0370-1662 , JSTOR 116064 , S2CID 186213903
Barnes, EW (1901), "Theory of the Double Gamma Function", Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character , 196 (274–286): 265–387, Bibcode : 1901RSPTA.196..265B , doi : 10.1098 / rsta.1901.0006 ISSTOR 3 024 9006
Barnes, EW (1904), "Om teorin om den multipla gammafunktionen", Trans. Camb. Philos. Soc. 19 : 374-425
Friedman, Eduardo; Ruijsenaars, Simon (2004), "Shintani–Barnes zeta och gammafunktioner", Advances in Mathematics 187 (2): 362–395, doi : 10.1016/j.aim.2003.07.020 ISSN 0001-8701 , 8418 7MR 8701
Ruijsenaars, SNM (2000), "On Barnes' multiple zeta and gamma functions" , Advances in Mathematics 156 (1): 107–132, doi : 10.1006/aima.2000.1946 ISSN 0001-8708 , 2MR 580 0
_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2%2B2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg)
![{\displaystyle \log \Gamma _{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {e^{-wt}-e^{-{\frac {Q}{2}}t}}{(1-e^{-bt})(1-e^{-b^{-1}t})}}-{\frac {\left({\frac {Q}{2}}-w\right)^{2}}{2}}e^{-t}-{\frac {{\frac {Q}{2}}-w}{t}}\right]\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5d6dd66b08ad191b07aebe164e187d85f997071)
![{\displaystyle \log S_{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {\sinh \left({\frac {Q}{2}}-w\right)t}{2\sinh \left({\frac {1}{2}}bt\right)\sinh \left({\frac {1}{2}}b^{-1}t\right)}}-{\frac {Q-2w}{t}}\right]\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51f56f13639f71e532a44af524717103306d57bd)
![{\displaystyle \log \Upsilon _{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[\left({\frac {Q}{2}}-w\right)^{2}e^{-t}-{\frac {\sinh ^{2}{\frac {1}{2}}\left({\frac {Q}{2}}-w\right)t}{\sinh \left({\frac {1}{2}}bt\right)\sinh \left({\frac {1}{2}}b^{-1}t\right)}}\right]\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd97cc7b34cc7565f9396265a4d91f58504cce72)
