Regelbunden singularis punkt

I matematik , i teorin om vanliga differentialekvationer i det komplexa planet ${\displaystyle \mathbb {C} } ,$ klassificeras punkterna i ${\displaystyle \mathbb {C} } i$ vanliga punkter , där ekvationens koefficienter är analytiska funktioner och singularpunkter , där någon koefficient har en singularitet . Sedan bland singulära punkter görs en viktig skillnad mellan en vanlig singularis punkt , där tillväxten av lösningar begränsas (i vilken liten sektor som helst) av en algebraisk funktion, och en oregelbunden singularis punkt , där hela lösningsuppsättningen kräver funktioner med högre tillväxt priser. Denna distinktion sker till exempel mellan den hypergeometriska ekvationen , med tre regelbundna singulära punkter, och Bessel-ekvationen som på sätt och vis är ett begränsande fall , men där de analytiska egenskaperna är väsentligt olika.

Formella definitioner

Mer exakt, betrakta en vanlig linjär differentialekvation av n -:e ordningen

$$\sum _{i=0}^{n}p_{i}(z)f^{(i)}(z)= 0$$

med p _i ( z ) meromorfa funktioner . Det kan man anta

$$p_{n}(z)=1.$$

Om så inte är fallet måste ekvationen ovan divideras med pn ₍ z ) . Detta kan introducera enstaka punkter att överväga.

Ekvationen bör studeras på Riemann-sfären för att inkludera punkten vid oändligheten som en möjlig singularis. En Möbius-transformation kan användas för att flytta ∞ in i den ändliga delen av det komplexa planet om så krävs, se exempel på Bessel differentialekvation nedan.

Sedan kan Frobenius-metoden baserad på indicialekvationen användas för att hitta möjliga lösningar som är potensserier gånger komplexa potenser ( z − a ) r ^nära vilket givet a i det komplexa planet där r inte behöver vara ett heltal; denna funktion kan därför existera endast tack vare en gren som sträcker sig ut från en , eller på en Riemann-yta av någon punkterad skiva runt en . Detta innebär inga svårigheter för en vanlig punkt ( Lazarus Fuchs 1866). När a är en vanlig singularpunkt , vilket per definition betyder det

$$p_{ni}(z)$$

har en ordningsföljd som mest i vid a , Frobenius -metoden kan också fås att fungera och tillhandahålla n oberoende lösningar nära en .

Annars är punkten a en oregelbunden singularitet . I så fall monodromigruppen som relaterar lösningar genom analytisk fortsättning mindre att säga i allmänhet, och lösningarna är svårare att studera, förutom vad gäller deras asymptotiska expansioner. Oregelbundenheten hos en oregelbunden singularitet mäts med Poincaré -rankningen ( Arscott (1995) ).

Regularitetsvillkoret är ett slags Newtonpolygontillstånd , i den meningen att de tillåtna polerna är i ett område, när det plottas mot i , avgränsat av en linje vid 45° mot axlarna.

En vanlig differentialekvation vars enda singulära punkter, inklusive punkten vid oändligheten, är regelbundna singulära punkter kallas en Fuchsisk vanlig differentialekvation.

Exempel på andra ordningens differentialekvationer

I detta fall reduceras ekvationen ovan till:

$$f''(x)+p_{1}(x)f'(x) +p_{0}(x)f(x)=0.$$

Man särskiljer följande fall:

• Punkt a är en vanlig punkt när funktionerna p ₁ ( x ) och ₀ p ( x ) är analytiska vid x = a .
• Punkt a är en vanlig singularpunkt om p ₁ ( x ) har en pol upp till ordning 1 vid x = a och p ₀ har en pol av ordning upp till 2 vid x = a .
• Annars är punkt a en oregelbunden singularpunkt .

Vi kan kontrollera om det finns en oregelbunden singularpunkt i oändligheten genom att använda substitutionen $w=1/x$ och relationerna:

$${\frac {df}{dx}}=-w^{2}{\frac {df}{dw}}$$

$${\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}=w^{4 }{\frac {d^{2}f}{dw^{2}}}+2w^{3}{\frac {df}{dw}}$$

Vi kan alltså transformera ekvationen till en ekvation i w , och kolla vad som händer vid w = 0 . Om $p_{1}(x)$ och $p_{2}(x)$ är kvoter av polynom, kommer det att finnas en oregelbunden singularpunkt vid oändlig x såvida inte polynomet i nämnaren av $p_{1}(x)$ är av minst en grad mer än graden av dess täljare och nämnaren för $p_{ 2}(x)$ är av minst två grader högre än graden av dess täljare.

Nedan listas flera exempel från vanliga differentialekvationer från matematisk fysik som har singulära punkter och kända lösningar.

Bessel differentialekvation

Detta är en vanlig differentialekvation av andra ordningen. Det finns i lösningen till Laplaces ekvation i cylindriska koordinater :

$$x^{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}} }+x{\frac {df}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})f=0$$

för ett godtyckligt reellt eller komplext tal α (ordningen för Bessel-funktionen ) . Det vanligaste och viktigaste specialfallet är där α är ett heltal n .

Att dividera denna ekvation med x ² ger:

$${\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+{ \frac {1}{x}}{\frac {df}{dx}}+\left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{x^{2}}}\right)f=0 .$$

I detta fall har p ₁ ( x ) = 1/ x en pol av första ordningen vid x = 0 . När α ≠ 0 har ₀ p ( x ) = ( 1 − α ² / x ² ) en pol av andra ordningen vid x = 0 . Således har denna ekvation en regelbunden singularitet vid 0.

För att se vad som händer när x → ∞ måste man använda en Möbius-transformation , till exempel $x=1/w$ . Efter att ha utfört algebra:

$${\frac {d^{2}f}{dw^{2}}}+{ \frac {1}{w}}{\frac {df}{dw}}+\left[{\frac {1}{w^{4}}}-{\frac {\alpha ^{2}}{ w^{2}}}\right]f=0$$

Nu vid $w=0$ ,

$$p_{1}(w)={\frac {1}{w}}$$

har en pol av första ordningen, men

$$p_{0}(w)={\frac {1}{w^{4}}}-{\frac {\alpha ^{2}} {w^{2}}}$$

har en pol av fjärde ordningen. Således har denna ekvation en oregelbunden singularitet vid $w=0$ som motsvarar x vid ∞.

Legendre differentialekvation

Detta är en vanlig differentialekvation av andra ordningen. Det finns i lösningen av Laplaces ekvation i sfäriska koordinater :

$${\frac {d}{dx}}\left[(1-x^{2} ){\frac {d}{dx}}f\right]+l(l+1)f=0.$$

Om du öppnar hakparentesen får du:

$$\left(1-x^{2}\right){d^{ 2}f \over dx^{2}}-2x{df \over dx}+l(l+1)f=0.$$

Och dividera med (1 − x ² ) :

$${\frac {d^{2}f}{dx^{ 2}}}-{\frac {2x}{1-x^{2}}}{\frac {df}{dx}}+{\frac {l(l+1)}{1-x^{2 }}}f=0.$$

Denna differentialekvation har regelbundna singularpunkter vid ±1 och ∞.

Hermit differentialekvation

Man möter denna vanliga andra ordningens differentialekvation när man löser den endimensionella tidsoberoende Schrödinger-ekvationen

$$E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{ 2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi$$

för en harmonisk oscillator . I detta fall är den potentiella energin V ( x ):

$$V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}.$$

Detta leder till följande vanliga andra ordningens differentialekvation:

$${\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-2x{\frac {df}{ dx}}+\lambda f=0.$$

Denna differentialekvation har en oregelbunden singularitet vid ∞. Dess lösningar är hermitpolynom .

Hypergeometrisk ekvation

Ekvationen kan definieras som

$$z(1-z){\frac {d ^{2}f}{dz^{2}}}+\vänster[c-(a+b+1)z\right]{\frac {df}{dz}}-abf=0.$$

Att dividera båda sidor med z (1 − z ) ger:

$${\frac {d^{ 2}f}{dz^{2}}}+{\frac {c-(a+b+1)z}{z(1-z)}}{\frac {df}{dz}}-{\ frac {ab}{z(1-z)}}f=0.$$

Denna differentialekvation har regelbundna singularpunkter vid 0, 1 och ∞. En lösning är den hypergeometriska funktionen .

• Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955). Teori om vanliga differentialekvationer . New York: McGraw-Hill .
• ET Copson , en introduktion till teorin om funktioner hos en komplex variabel ( 1935)
• Fedoryuk, MV (2001) [1994], "Fuchsian equation" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• AR Forsyth Theory of Differential Equations Vol. IV: Ordinära linjära ekvationer (Cambridge University Press, 1906)
• Édouard Goursat , A Course in Mathematical Analysis, Volym II, Del II: Differentialekvationer s. 128−ff. (Ginn & co., Boston, 1917)
• EL Ince, Ordinary Differential Equations , Dover Publications (1944)
• Il'yashenko, Yu. S. (2001) [1994], "Regular singular point" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• TM MacRobert Funktioner för en komplex variabel sid. 243 (MacMillan, London, 1917)
•   Teschl, Gerald (2012). Vanliga differentialekvationer och dynamiska system . Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0 .
• ET Whittaker och GN Watson A Course of Modern Analysis s. 188−ff. (Cambridge University Press, 1915)