Restfält

Inom matematiken är restfältet en grundläggande konstruktion i kommutativ algebra . Om R är en kommutativ ring och m är ett maximalt ideal , så är restfältet kvotringen k = R / m , vilket är ett fält . Ofta R en lokal ring och m är då dess unika maximala ideal.

Denna konstruktion tillämpas i algebraisk geometri , där man till varje punkt x i ett schema X associerar dess restfält k ( x ). Man kan säga lite löst att restfältet för en punkt av en abstrakt algebraisk variant är den "naturliga domänen" för punktens koordinater. ^{[ förtydligande behövs ]}

Definition

Antag att R är en kommutativ lokal ring , med maximal ideal m . Då restfältet kvotringen R / m .

Antag nu att X är ett schema och x är en punkt på X . Enligt definitionen av schema kan vi hitta en affin grannskap U = Spec( A ), med A någon kommutativ ring . Betraktad i grannskapet U motsvarar punkten x ett primideal p ⊆ A (se Zariski-topologi ) . Den lokala ringen av X i x är per definition lokaliseringen R = Ap _. , med den maximala idealen m = p ·A _p Genom att tillämpa konstruktionen ovan får vi restfältet för punkten x :

k ( x ) := A _p / p · A _p .

Man kan bevisa att denna definition inte beror på valet av det affina grannskapet U .

En punkt kallas K -rationell för ett visst fält K , om k ( x ) = K .

Exempel

Betrakta den affina linjen A ¹ ( k ) = Spec( k [ t ]) över ett fält k . Om k är algebraiskt stängd finns det exakt två typer av primideal, nämligen

( t − a ), a ∈ k
(0), nollidealet.

Restfälten är

$k[t]_{(ta)}/(ta)k[t]_{( ta)}\cong k$
${\displaystyle k[t]_{(0)}\cong k(t)} ,$ funktionsfältet över k i en variabel.

Om k inte är algebraiskt sluten, uppstår fler typer, till exempel om k = R , då har primidealet ( x ² + 1) restfält isomorft till C .

Egenskaper

För ett schema lokalt av ändlig typ över ett fält k , stängs en punkt x om och endast om k ( x ) är en ändlig förlängning av basfältet k . Detta är en geometrisk formulering av Hilberts Nullstellensatz . I exemplet ovan är punkterna av det första slaget stängda, med restfält k , medan den andra punkten är den generiska punkten , med transcendensgrad 1 över k .
En morfism Spec( K ) → X , K något fält, motsvarar att ge en punkt x ∈ X och en förlängning K / k ( x ).
Dimensionen för ett schema av ändlig typ över ett fält är lika med transcendensgraden för den generiska punktens restfält.

Vidare läsning

Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157 , avsnitt II.2