Prüfer domän

Inom matematik är en Prüfer-domän en typ av kommutativ ring som generaliserar Dedekind-domäner i ett icke- noteriskt sammanhang. Dessa ringar har de fina ideal- och modulteoretiska egenskaperna hos Dedekind-domäner, men vanligtvis bara för ändligt genererade moduler . Prüfer-domäner är uppkallade efter den tyske matematikern Heinz Prüfer .

Exempel

Ringen av hela funktioner på det öppna komplexa planet $C$ bildar en Prüfer-domän. Ringen av heltalsvärderade polynom med rationella koefficienter är en Prüfer-domän, även om ringen $\mathbb {Z} [X]$ av heltalspolynom inte är det ( Narkiewicz 1995 , s. 56). Medan varje nummerring är en Dedekind-domän , är deras förening, ringen av algebraiska heltal , en Prüfer-domän. Precis som en Dedekind-domän lokalt är en diskret värderingsring , är en Prüfer-domän lokalt en värderingsring , så att Prüfer-domäner fungerar som icke-noeteriska analoger till Dedekind-domäner. Faktum är att en domän som är den direkta gränsen för subringar som är Prüfer-domäner är en Prüfer-domän ( Fuchs & Salce 2001, s. 93–94).

Många Prüfer-domäner är också Bézout-domäner , det vill säga inte bara är ändligt genererade ideal projektiva , de är till och med fria (det vill säga principal ). Till exempel är ringen av analytiska funktioner på valfri icke-kompakt Riemann-yta en Bézout-domän ( Helmer 1940 ), och ringen av algebraiska heltal är Bézout.

Definitioner

En Prüfer-domän är en semi-arftlig integrerad domän . På motsvarande sätt kan en Prüfer-domän definieras som en kommutativ ring utan nolldelare där varje ändligt genererat ideal som inte är noll är inverterbart. Många olika karakteriseringar av Prüfer-domäner är kända. Bourbaki listar fjorton av dem, ( Gilmer 1972 ) har ett fyrtiotal, och ( Fontana, Huckaba & Papick 1997, s. 2) öppnar med nio.

Som ett exempel är följande villkor på en integrerad domän R ekvivalenta med att R är en Prüfer-domän, dvs varje ändligt genererat ideal för R är projektivt :

Idealisk aritmetik

• Varje ändligt genererat ideal I av R som inte är noll är inverterbart : dvs ${\displaystyle \ I\cdot I^{-1}=R} ,$ där $I^{-1}=\{r\in q(R):rI\subseteq R\}$ och $q(R)$ är fältet för fraktioner av R . På motsvarande sätt är varje ideal som inte är noll som genereras av två element inverterbar.
• För alla (ändligt genererade) ideal som inte är noll I , J , K eller R gäller följande fördelningsegenskap:

$I\cap (J+K)=(I\cap J)+(I\cap K).$

• För alla (ändligt genererade) ideal I , J , K av R gäller följande fördelningsegenskap:

$I(J\cap K)=IJ\cap IK.$

• För alla (ändligt genererade) ideal som inte är noll I , J av R gäller följande egenskap:

$(I+J)(I\cap J)=IJ.$

• För alla ändligt genererade ideal I , J , K av R , om IJ = IK då J = K eller I = 0.

Lokaliseringar

• För varje primärt ideal P av R är lokaliseringen R _P av R vid P en värderingsdomän .
• För varje maximal ideal m i R är lokaliseringen Rm av R at _m en värderingsdomän .
• R är integrerat sluten och varje överring av R (det vill säga en ring som finns mellan R och dess fraktionsfält) är skärningspunkten för lokaliseringar av R

Flathet

• Varje vridningsfri R - modul är platt .
• Varje vridningsfri R -modul är platt.
• Varje ideal av R är platt
• Varje överring av R är R -platt
• Varje undermodul i en platt R -modul är platt.
•   Om M och N är torsionsfria R -moduler så är deras tensorprodukt M ⊗ _R N torsionsfri.
•   Om I och J är två ideal för R så är I ⊗ _R J vridningsfri.
• Torsionssubmodulen för varje ändligt genererad modul är en direkt summering ( Kaplansky 1960 ) .

Integrerad stängning

• Varje överring av $R$ är integrerat stängd
• $R$ är integrerat stängd och det finns något positivt heltal $n$ så att för varje $a$ , $b$ i $R$ har man $(a,b)^{n}=(a^{n},b^{n})$ .
• $R$ är integrerat stängd och varje element i kvotfältet $K$ i $R$ är en rot av ett polynom i $R[x]$ vars koefficienter generera $R$ som en $R$ -modul ( Gilmer & Hoffmann 1975 , s. 81).

Egenskaper

• En kommutativ ring är en Dedekind-domän om och endast om den är en Prüfer-domän och Noetherian .
• Även om Prüfer-domäner inte behöver vara Noetherian, måste de vara koherenta , eftersom ändligt genererade projektiva moduler är ändligt relaterade .
• Även om ideal för Dedekind-domäner alla kan genereras av två element, för varje positivt heltal n , finns det Prüfer-domäner med ändligt genererade ideal som inte kan genereras av färre än n element ( Swan 1984 ). Emellertid är ändligt genererade maximala ideal för Prüfer-domäner tvågenererade ( Fontana, Huckaba & Papick 1997, s. 31).
• Om R är en Prüfer-domän och K är dess fält av fraktioner , så är vilken ring som helst så att R ⊆ S ⊆ K är en Prüfer-domän.
• Om R är en Prüfer-domän, K är dess fält av bråk och L är ett algebraiskt förlängningsfält av K , så är den integrerade stängningen av R i L en Prüfer-domän ( Fuchs & Salce 2001, s. 93).
• En ändligt genererad modul M över en Prüfer-domän är projektiv om och endast om den är torsionsfri. Faktum är att denna egenskap kännetecknar Prüfer-domäner.
• (Gilmer–Hoffmanns sats) Antag att $R$ är en integraldomän, $K$ dess bråkfält och $S$ är integralslutningen av $R$ i $K$ . Då $S$ en Prüfer-domän om och endast om varje element i $K$ är en rot av ett polynom i ${\displaystyle R[X]} vars$ minst en av koefficienterna är en enhet av $R$ ( Gilmer & Hoffmann 1975 , sats 2).
• En kommutativ domän är en Dedekind-domän om och endast om torsionssubmodulen är en direkt summand närhelst den är bounded ( M är bounded betyder rM = 0 för någon r i R ), ( Chase 1960 ). På liknande sätt är en kommutativ domän en Prüfer-domän om och endast om torsionssubmodulen är en direkt summa närhelst den genereras ändligt ( Kaplansky 1960 ).

Generaliseringar

Mer generellt är en Prüfer-ring en kommutativ ring där varje ändligt genererat ideal som inte är noll som endast består av icke-noll-delare är inverterbart (det vill säga projektivt).

En kommutativ ring sägs vara aritmetisk om för varje maximal ideal m i R , lokaliseringen Rm av R at m är en kedjering _. Med denna definition är en aritmetisk domän en Prüfer-domän.

Icke-kommutativa höger- eller vänsterhalvärvda domäner kan också betraktas som generaliseringar av Prüfer-domäner.

Se även

• Delad domän

•   Bourbaki, Nicolas (1998) [1989], Kommutativ algebra. Kapitel 1–7 , Elements of Mathematics (Berlin), Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-64239-0
•     Chase, Stephen U. (1960), "Direct products of modules", Transactions of the American Mathematical Society , 97 (3): 457–473, doi : 10.2307/1993382 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 19936382 , 202MR 01 , 202MR 01
•    Fontana, Marco; Huckaba, James A.; Papick, Ira J. (1997), Prüfer domains , Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, vol. 203, New York: Marcel Dekker Inc., ISBN 978-0-8247-9816-1 , MR 1413297
•    Fuchs, László; Salce, Luigi (2001), Modules over non-Noetherian domains , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 84, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1963-0 , MR 1794715
•   Gilmer, Robert (1972), Multiplikativ idealteori , New York: Marcel Dekker Inc., MR 0427289
•    Gilmer, Robert; Hoffmann, Joseph F. (1975), "A characterization of Prüfer-domäner i termer av polynom", Pacific J. Math. , 60 (1): 81–85, doi : 10.2140/pjm.1975.60.81 , ISSN 0030-8730 , MR 0412175 .
•   Helmer, Olaf (1940), " Divisibility properties of integral functions" , Duke Mathematical Journal , 6 (2): 345–356, doi : 10.1215/S0012-7094-40-00626-3 , ISSN 0012-8MR 1001 ,  
•   Kaplansky, Irving (1960), "A characterization of Prufer rings", J. Indian Math. Soc. , New Series, 24 : 279–281, MR 0125137
•   Lam, TY (1999), Föreläsningar om moduler och ringar , Graduate Texts in Mathematics nr. 189, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98428-3
•    Narkiewicz, Władysław (1995), Polynomial mappings , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1600, Berlin: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-59435-2 , Zbl 0829.11002
•    Swan, Richard G. (1984), "n-generator ideals in Prüfer domains" , Pacific Journal of Mathematics , 111 (2): 433–446, doi : 10.2140/pjm.1984.111.433 , ISSN 0030-8730 , 4MR 507 , 4