Linjärt ordnad grupp

I matematik , specifikt abstrakt algebra , är en linjärt ordnad eller totalt ordnad grupp en grupp G utrustad med en total ordning "≤" som är translationsinvariant . Detta kan ha olika betydelser. Vi säger att ( G , ≤) är en:

vänsterordnad grupp om ≤ är vänsterinvariant, det vill säga a ≤ b innebär ca ≤ cb för alla a , b , c i G ,
högerordnad grupp om ≤ är högerinvariant, det vill säga a ≤ b innebär ac ≤ bc för alla a , b , c i G ,
bi-ordnad grupp om ≤ är bi-invariant, det vill säga att den är både vänster- och höger-invariant.

En grupp G sägs vara vänsterordningsbar (eller högerordningsbar , eller tvåordningsbar ) om det finns en vänster- (eller höger- eller bi-) invariant ordning på G . En enkel nödvändig förutsättning för att en grupp ska vara vänsterordningsbar är att inte ha några element av ändlig ordning; detta är dock inte ett tillräckligt villkor. Det motsvarar att en grupp är vänster- eller högerbeställbar; dock finns det vänsterbeställbara grupper som inte är bibeställbara.

Ytterligare definitioner

I detta avsnitt är $\leq$ en vänsterinvariant ordning på en grupp $G$ med identitetselement $e$ . Allt som sägs gäller höger-invarianta beställningar med de uppenbara modifikationerna. Observera att $\leq$ är vänsterinvariant motsvarar ordningen $\leq '$ definierad av $g\leq 'h$ om och endast om $h^{-1}\leq g^{-1}$ är högerinvariant. I synnerhet är en grupp som är vänsterbeställbar detsamma som att den är högerbeställbar.

I analogi med vanliga tal kallar vi ett element $g\not =e$ i en ordnad grupp positivt om $e\leq g$ . Mängden positiva element i en ordnad grupp kallas den positiva konen , den betecknas ofta med $G_{+}$ ; den något annorlunda notationen $G^{+}$ används för den positiva konen tillsammans med identitetselementet.

Den positiva konen $G_{+}$ kännetecknar ordningen $\leq$ ; faktiskt, genom vänsterinvarians ser vi att $g\leq h$ om och endast om $g^{-1}h\in G_{+}$ . Faktum är att en vänsterordnad grupp kan definieras som en grupp $G$ tillsammans med en delmängd $P$ som uppfyller de två villkoren som:

för $g,h\in P$ har vi också $gh\in P$ ;
låt ${\displaystyle P^{-1}=\{g^{-1},g\in P\}} ,$ då är $G$ disjunkt förening av $P,P^{-1}$ och $\{e\}$ .

Ordningen $\leq _{P}$ associerad med $P$ definieras av $g\leq _{P}h\Leftrightarrow g ^{-1}h\in P$ ; det första villkoret motsvarar vänsterinvarians och det andra till att ordningen är väldefinierad och total. Den positiva könen för $\leq _{P}$ är $P$ .

Den vänstra invarianta ordningen $\leq$ är bi-invariant om och endast om den är konjugatinvariant, det vill säga om $g\leq h$ då för alla $x\ i G$ har vi $xgx^{-1}\leq xhx^{-1}$ också. Detta motsvarar att den positiva konen är stabil under inre automorfismer .

Om $a\in G$ , då är det absoluta värdet av ${\displaystyle a} ,$ betecknat med $|a|$ , definieras som:

|a|:={\begin{cases}a,&{\text{if }}a\geq 0,\\-a,&{\text{annars}}.\end{cases}}

Om dessutom gruppen

G

är abelisk , så är för valfri

a,b\in G

en triangelolikhet uppfylld:

|a+b|\leq |a|+|b|

.

Exempel

Varje vänster- eller högerordningsbar grupp är vridningsfri , det vill säga den innehåller inga element av ändlig ordning förutom identiteten. Omvänt FW Levi att en vridningsfri abelisk grupp är dubbelbeställbar; detta är fortfarande sant för nilpotenta grupper men det finns vridningsfria, ändligt presenterade grupper som inte är vänsterbeställbara.

Archimedean beordrade grupper

Otto Hölder visade att varje arkimedisk grupp (en bi-ordnad grupp som uppfyller en arkimedisk egenskap ) är isomorf till en undergrupp av den additiva gruppen av reella tal ( Fuchs & Salce 2001, s. 61). Om vi skriver den arkimediska lo-gruppen multiplikativt, kan detta visas genom att betrakta Dedekind-kompletteringen , ${\widehat {G}}$ av stängningen av en lo-grupp under ${\displaystyle n}:$ e rötter. Vi utrustar detta utrymme med den vanliga topologin av en linjär ordning, och sedan kan det visas att för varje $g\in {\widehat {G}}$ de exponentiella kartorna ${\displaystyle g^{\cdot }:(\mathbb {R} ,+)\to ({\widehat {G}} ,\cdot ):\lim _{i}q_{i}\in \mathbb {Q} \mapsto \lim _{i}g^{q_{i}}} är väldefinierade ordningsbevarande/omvända$ , topologiska gruppisomorfismer . Att slutföra en lo-grupp kan vara svårt i det icke-Arkimediska fallet. I dessa fall kan man klassificera en grupp efter dess rang: vilket är relaterat till ordningstypen för den största sekvensen av konvexa undergrupper.

Andra exempel

Gratis grupper är vänsterbeställbara. Mer generellt är detta också fallet för rätvinkliga Artin-grupper . Flätgrupper är också vänsterbeställbara.

Gruppen som ges av presentationen $\langle a,b|a^{2}ba^{2}b^{-1},b^{2}ab ^{2}a^{-1}\rangle$ är vridningsfri men kan inte vänsterbeställas; Observera att det är en 3-dimensionell kristallografisk grupp (den kan realiseras som gruppen genererad av två glidande halvvarv med ortogonala axlar och samma translationslängd), och det är samma grupp som visade sig vara ett motexempel till enhetsgissning . Mer allmänt är ämnet beställningsbarhet för 3--manifoldgrupper intressant för dess relation till olika topologiska invarianter. Det finns en 3-manifold grupp som är vänster-beställbar men inte bi-orderbar (i själva verket uppfyller den inte den svagare egenskapen att vara lokalt indikerbar).

Vänsterordningsbara grupper har också tilldragit sig intresse ur dynamiska systems perspektiv , eftersom det är känt att en räknebar grupp är vänsterordnad om och endast om den verkar på den verkliga linjen genom homeomorfismer. Icke-exempel relaterade till detta paradigm är gitter i högre rankade Lie-grupper; det är känt att (till exempel) finita-index-undergrupper i $\mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )$ inte är vänsterordnade; en bred generalisering av detta har nyligen aviserats.

Se även

Anteckningar

Deroin, Bertrand; Navas, Andrés; Rivas, Cristóbal (2014). "Grupper, order och dynamik". arXiv : 1408.5805 [ math.GT ].
Levi, FW (1942), "Ordnade grupper.", Proc. Indian Acad. Sci. , A16 (4): 256–263, doi : 10.1007/BF03174799
Fuchs, László; Salce, Luigi (2001), Modules over non-Noetherian domains , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 84, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1963-0 , MR 1794715
Ghys, É. (2001), "Grupper som agerar på cirkeln.", L'Enseignement Mathématique , 47 : 329–407