Thomson problem

Syftet med Thomson-problemet är att bestämma den minsta elektrostatiska potentialenergikonfigurationen för $n$ elektroner som är begränsade till ytan av en enhetssfär som stöter bort varandra med en kraft som ges av Coulombs lag . Fysikern JJ Thomson ställde problemet 1904 efter att ha föreslagit en atommodell , senare kallad plommonpuddingmodellen , baserad på hans kunskap om förekomsten av negativt laddade elektroner i neutralt laddade atomer.

Besläktade problem inkluderar studiet av geometrin för minimienergikonfigurationen och studiet av det stora $n$ -beteendet för minimienergin.

Matematiskt påstående

Den elektrostatiska interaktionsenergin som uppstår mellan varje elektronpar med lika laddningar ( $e_{i}=e_{j}=e$ , med $e$ den elementära laddningen av en elektron ) ges av Coulombs lag,

U_{ij}(N)=k_{\text{e}}{e_{i}e_{j} \over r_{ij}}.

Här är $k_{\text{e}}$ Coulomb-konstanten och ${\displaystyle r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|} är avståndet mellan$ varje elektronpar som finns i punkter på sfären som definieras av vektorer $\mathbf {r} _{i}$ respektive $\mathbf {r} _{j}$ .

Förenklade enheter av $e=1$ och $k_{e}=1$ används utan förlust av generalitet. Sedan,

U_{ij}(N)={1 \över r_{ij}}.

Den totala elektrostatiska potentiella energin för varje N -elektronkonfiguration kan sedan uttryckas som summan av alla parvisa interaktionsenergier

U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}.

Den globala minimeringen av $U(N)$ över alla möjliga konfigurationer av N distinkta punkter hittas vanligtvis av numeriska minimeringsalgoritmer.

Thomsons problem är relaterat till det sjunde av de arton olösta matematiska problemen som föreslagits av matematikern Steve Smale — "Fördelning av poäng på 2-sfären". Huvudskillnaden är att i Smales problem är funktionen att minimera inte den elektrostatiska potentialen $1 \over r_{ij}$ utan en logaritmisk potential som ges av $-\log r_{ij}.$ En andra skillnad är att Smales fråga handlar om det asymptotiska beteendet hos den totala potentialen när antalet N punkter går till oändlighet, inte för konkreta värden på N .

Exempel

Lösningen av Thomson-problemet för två elektroner erhålls när båda elektronerna är så långt ifrån varandra som möjligt på motsatta sidor av origo, ${\displaystyle r_{ij}=2r=2} ,$ eller

U(2)={1 \över 2}.

Kända exakta lösningar

Schematiska geometriska lösningar av det matematiska Thomsonproblemet för upp till N = 5 elektroner.

Matematiskt exakta minimienergikonfigurationer har noggrant identifierats i endast en handfull fall.

För N = 1 är lösningen trivial. Den enstaka elektronen kan finnas var som helst på ytan av enhetssfären. Den totala energin för konfigurationen definieras som noll eftersom elektronen inte upplever något elektriskt fält på grund av andra laddningskällor.

För N = 2 består den optimala konfigurationen av elektroner vid antipodalpunkter . Detta representerar den första endimensionella lösningen.

För N = 3, bor elektroner vid hörnen av en liksidig triangel kring vilken storcirkel som helst . Den stora cirkeln anses ofta definiera en ekvator kring sfären och de två punkterna vinkelräta mot planet anses ofta vara poler för att hjälpa till i diskussioner om de elektrostatiska konfigurationerna av många- N elektronlösningar. Detta representerar också den första tvådimensionella lösningen.

För N = 4, finns elektroner i hörnen på en vanlig tetraeder . Av intresse representerar detta den första tredimensionella lösningen.

För N = 5 rapporterades en matematiskt rigorös datorstödd lösning 2010 med elektroner som finns vid hörn av en triangulär dipyramid . Av intresse är det omöjligt för någon N- lösning med fem eller fler elektroner att uppvisa global ekvidistans bland alla elektronpar.

För N = 6, bor elektroner vid hörn av en regelbunden oktaeder . Konfigurationen kan föreställas som fyra elektroner som finns i hörnen av en kvadrat runt ekvatorn och de återstående två som finns vid polerna.

För N = 12, finns elektroner i hörnen på en vanlig icosahedron .

Geometriska lösningar av Thomsonproblemet för N = 4, 6 och 12 elektroner är platoniska fasta ämnen vars ytor alla är kongruenta liksidiga trianglar. Numeriska lösningar för N = 8 och 20 är inte de vanliga konvexa polyedriska konfigurationerna av de återstående två platoniska fasta kropparna vars ytor är fyrkantiga respektive femkantiga. ^{[ citat behövs ]}

Generaliseringar

Man kan också fråga efter grundtillstånd för partiklar som interagerar med godtyckliga potentialer. För att vara matematiskt exakt, låt f vara en avtagande funktion med verkligt värde och definiera energifunktionen

\sum _{i<j}f(|x_{i}-x_{j}|).

Traditionellt betraktar man $f(x)=x^{-\alpha }$ även känd som Riesz $\alpha$ -kärnor. För integrerbara Riesz-kärnor, se Landkofs arbete från 1972. För icke-integrerbara Riesz-kärnor, gäller vallmofröbagelsatsen, se 2004 års arbete av Hardin och Saff. Anmärkningsvärda fall inkluderar:

α = ∞, Tammes-problemet (packning);
a = 1, Thomson-problemet;
α = 0, för att maximera produkten av avstånd, senare känt som Whytes problem;
α = −1 : problem med maximalt medelavstånd.

Man kan också överväga konfigurationer av N punkter på en sfär av högre dimension . Se sfärisk design .

Lösningsalgoritmer

Flera algoritmer har använts för detta problem. Fokus sedan millenniet har legat på lokala optimeringsmetoder som tillämpas på energifunktionen, även om slumpmässiga promenader har dykt upp:

begränsad global optimering (Altschuler et al. 1994),
brantaste nedstigning (Claxton och Benson 1966, Erber och Hockney 1991),
random walk (Weinrach et al. 1990),
genetisk algoritm (Morris et al. 1996)

Även om målet är att minimera den globala elektrostatiska potentiella energin för varje N -elektronfall, är flera algoritmiska startfall av intresse.

Kontinuerlig sfärisk skalladdning

Den extrema övre energigränsen för Thomson-problemet ges av

N^{2}/2

för en kontinuerlig skalladdning följt av N(N − 1)/2, energin som är associerad med en slumpmässig fördelning av N elektroner.

) {\displaystyle U (N)}

lägre energi för en given N -elektronlösning av Thomsonproblemet med en laddning vid dess ursprung erhålls lätt av

U(N)+N

, där är lösningar på Thomson-problemet.

Energin hos ett kontinuerligt sfäriskt laddningsskal fördelat över dess yta ges av

U_{\text{shell}}(N)={\frac {N^{2}}{2}}

och är i allmänhet större än energin i varje Thomsons problemlösning. Notera: Här används N som en kontinuerlig variabel som representerar den oändligt delbara laddningen, Q , fördelad över det sfäriska skalet. Till exempel representerar ett sfäriskt skal med $N=1$ den enhetliga fördelningen av en enskild elektrons laddning, $-e$ över hela skalet.

Slumpmässigt fördelade poängavgifter

Den globala energin hos ett elektronsystem fördelat på ett rent slumpmässigt sätt över sfärens yta ges av

U_{\text{rand}}(N)={\frac {N(N-1)}{2}}

och är i allmänhet större än energin i varje Thomson problemlösning.

Här är N en diskret variabel som räknar antalet elektroner i systemet. Dessutom, $U_{\text{rand}}(N)<U_{\text{shell}}(N)$

Laddningscentrerad distribution

För varje N: te lösning av Thomsonproblemet finns det en ${\displaystyle (N+1)}:$ e konfiguration som inkluderar en elektron vid sfärens ursprung vars energi helt enkelt är adderingen av N till energin av den N: te lösningen. Det är,

U_{0}(N+1)=U_{\text{Thom}}(N)+N.

Således, om $U_{\text{Thom}}(N)$ är känd exakt, då är $U_{0}(N+1)$ känd exakt .

I allmänhet är $U_{0}(N+1)$ större än $U_{\text{Thom}}(N+1)$ , men är anmärkningsvärt närmare varje $(N+1)$ Thomson-lösning än $U_{\text{shell}}(N+1)$ och $U_{\text{rand}}(N+1)$ . Därför representerar den laddningscentrerade fördelningen ett mindre "energigap" att korsa för att komma fram till en lösning av varje Thomson-problem än algoritmer som börjar med de andra två laddningskonfigurationerna.

Relationer till andra vetenskapliga problem

Thomsonproblemet är en naturlig följd av JJ Thomsons plommonpuddingmodell i frånvaro av dess enhetliga positiva bakgrundsladdning.

"Inga fakta som upptäckts om atomen kan vara trivial, och inte heller misslyckas med att påskynda den fysiska vetenskapens framsteg, för den största delen av naturfilosofin är resultatet av atomens struktur och mekanism."

—Sir JJ Thomson

Även om experimentella bevis ledde till att Thomsons plommonpuddingmodell övergavs som en komplett atommodell, har oregelbundenheter som observerats i numeriska energilösningar av Thomsonproblemet visat sig motsvara elektronskalsfyllning i naturligt förekommande atomer genom det periodiska systemet för grundämnen .

Thomson-problemet spelar också en roll i studiet av andra fysiska modeller inklusive multi-elektronbubblor och ytordningen av flytande metalldroppar inneslutna i Paul-fällor .

Det generaliserade Thomson-problemet uppstår, till exempel, vid bestämning av arrangemang av proteinsubenheter som omfattar skalen av sfäriska virus . "Partiklarna" i denna ansökan är kluster av proteinsubenheter arrangerade på ett skal. Andra realiseringar inkluderar regelbundna arrangemang av kolloidpartiklar i kolloidosomer , föreslagna för inkapsling av aktiva ingredienser som läkemedel, näringsämnen eller levande celler, fullerenmönster av kolatomer och VSEPR-teori . Ett exempel med långdistanslogaritmiska interaktioner tillhandahålls av Abrikosov-virvlar som bildas vid låga temperaturer i ett supraledande metallskal med en stor monopol i centrum.

Konfigurationer av minsta kända energi

I följande tabell är $N$ antalet punkter (laddningar) i en konfiguration, $U_{\textrm {Thom}}$ är energin, symmetritypen anges i Schönflies notation (se Punktgrupper i tre dimensioner ), och $r_{i}$ är laddningarnas positioner. De flesta symmetrityper kräver att vektorsumman av positionerna (och därmed det elektriska dipolmomentet ) är noll.

Det är vanligt att också beakta polyedern som bildas av spetsarnas konvexa skrov . Således är $v_{i}$ antalet hörn där det givna antalet kanter möts, $e$ är det totala antalet kanter, $f_{3}$ är antal triangulära ytor, $f_{4}$ är antalet fyrsidiga ytor, och $\theta _{1}$ är den minsta vinkeln omsluten av vektorer associerade med närmaste laddningspar. Observera att kantlängderna i allmänhet inte är lika. Sålunda, förutom i fallen N = 2, 3, 4, 6, 12 och de geodetiska polyedrarna , är det konvexa skrovet endast topologiskt ekvivalent med figuren i den sista kolumnen.

N	$U_{\textrm {Thom}}$	Symmetri	$\left\|\sum \mathbf {r} _{i}\right\|$	$v_{3}$	$v_{4}$	$v_{5}$	$v_{6}$	$v_{7}$	$v_{8}$	$e$	$f_{3}$	$f_{4}$	$\theta _{1}$	Ekvivalent polyeder
2	0,500000000	$D_{\infty h}$	0	–	–	–	–	–	–	2	–	–	180 000°	digon
3	1,732050808	$D_{3h}$	0	–	–	–	–	–	–	3	2	–	120 000°	triangel
4	3,674234614	$T_{d}$	0	4	0	0	0	0	0	6	4	0	109,471°	tetraeder
5	6,474691495	$D_{3h}$	0	2	3	0	0	0	0	9	6	0	90 000°	triangulär dipyramid
6	9,985281374	$O_{h}$	0	0	6	0	0	0	0	12	8	0	90 000°	oktaeder
7	14.452977414	$D_{5h}$	0	0	5	2	0	0	0	15	10	0	72 000°	femkantig dipyramid
8	19.675287861	$D_{4d}$	0	0	8	0	0	0	0	16	8	2	71,694°	fyrkantig antiprisma
9	25.759986531	$D_{3h}$	0	0	3	6	0	0	0	21	14	0	69,190°	triaugmenterat triangulärt prisma
10	32.716949460	$D_{4d}$	0	0	2	8	0	0	0	24	16	0	64,996°	gyroförlängd fyrkantig dipyramid
11	40,596450510	$C_{2v}$	0,013219635	0	2	8	1	0	0	27	18	0	58,540°	kantsammandragen icosahedron
12	49.165253058	$I_{h}$	0	0	0	12	0	0	0	30	20	0	63,435°	icosahedron ( geodetisk sfär {3,5+} _1,0 )
13	58.853230612	$C_{2v}$	0,008820367	0	1	10	2	0	0	33	22	0	52,317°
14	69.306363297	$D_{6d}$	0	0	0	12	2	0	0	36	24	0	52,866°	gyroförlängd hexagonal dipyramid
15	80.670244114	$D_{3}$	0	0	0	12	3	0	0	39	26	0	49,225°
16	92.911655302	$T$	0	0	0	12	4	0	0	42	28	0	48,936°
17	106.050404829	$D_{5h}$	0	0	0	12	5	0	0	45	30	0	50,108°	dubbelgyroförlängd femkantig dipyramid
18	120.084467447	$D_{4d}$	0	0	2	8	8	0	0	48	32	0	47,534°
19	135.089467557	$C_{2v}$	0,000135163	0	0	14	5	0	0	50	32	1	44,910°
20	150.881568334	$D_{3h}$	0	0	0	12	8	0	0	54	36	0	46,093°
21	167.641622399	$C_{2v}$	0,001406124	0	1	10	10	0	0	57	38	0	44,321°
22	185.287536149	$T_{d}$	0	0	0	12	10	0	0	60	40	0	43,302°
23	203.930190663	$D_{3}$	0	0	0	12	11	0	0	63	42	0	41,481°
24	223.347074052	$O$	0	0	0	24	0	0	0	60	32	6	42,065°	snubb kub
25	243.812760299	$C_{s}$	0,001021305	0	0	14	11	0	0	68	44	1	39,610°
26	265.133326317	$C_{2}$	0,001919065	0	0	12	14	0	0	72	48	0	38,842°
27	287.302615033	$D_{5h}$	0	0	0	12	15	0	0	75	50	0	39,940°
28	310.491542358	$T$	0	0	0	12	16	0	0	78	52	0	37,824°
29	334.634439920	$D_{3}$	0	0	0	12	17	0	0	81	54	0	36,391°
30	359.603945904	$D_{2}$	0	0	0	12	18	0	0	84	56	0	36,942°
31	385.530838063	$C_{3v}$	0,003204712	0	0	12	19	0	0	87	58	0	36,373°
32	412.261274651	$I_{h}$	0	0	0	12	20	0	0	90	60	0	37,377°	pentakis dodecahedron ( geodetisk sfär {3,5+} _1,1 )
33	440.204057448	$C_{s}$	0,004356481	0	0	15	17	1	0	92	60	1	33.700°
34	468.904853281	$D_{2}$	0	0	0	12	22	0	0	96	64	0	33,273°
35	498.569872491	$C_{2}$	0,000419208	0	0	12	23	0	0	99	66	0	33.100°
36	529.122408375	$D_{2}$	0	0	0	12	24	0	0	102	68	0	33,229°
37	560.618887731	$D_{5h}$	0	0	0	12	25	0	0	105	70	0	32,332°
38	593.038503566	$D_{6d}$	0	0	0	12	26	0	0	108	72	0	33,236°
39	626.389009017	$D_{3h}$	0	0	0	12	27	0	0	111	74	0	32,053°
40	660.675278835	$T_{d}$	0	0	0	12	28	0	0	114	76	0	31,916°
41	695.916744342	$D_{3h}$	0	0	0	12	29	0	0	117	78	0	31,528°
42	732.078107544	$D_{5h}$	0	0	0	12	30	0	0	120	80	0	31,245°
43	769.190846459	$C_{2v}$	0,000399668	0	0	12	31	0	0	123	82	0	30,867°
44	807.174263085	$O_{h}$	0	0	0	24	20	0	0	120	72	6	31,258°
45	846.188401061	$D_{3}$	0	0	0	12	33	0	0	129	86	0	30,207°
46	886.167113639	$T$	0	0	0	12	34	0	0	132	88	0	29,790°
47	927.059270680	$C_{s}$	0,002482914	0	0	14	33	0	0	134	88	1	28,787°
48	968.713455344	$O$	0	0	0	24	24	0	0	132	80	6	29.690°
49	1011.557182654	$C_{3}$	0,001529341	0	0	12	37	0	0	141	94	0	28,387°
50	1055.182314726	$D_{6d}$	0	0	0	12	38	0	0	144	96	0	29,231°
51	1099.819290319	$D_{3}$	0	0	0	12	39	0	0	147	98	0	28,165°
52	1145.418964319	$C_{3}$	0,000457327	0	0	12	40	0	0	150	100	0	27,670°
53	1191.922290416	$C_{2v}$	0,000278469	0	0	18	35	0	0	150	96	3	27,137°
54	1239.361474729	$C_{2}$	0,000137870	0	0	12	42	0	0	156	104	0	27.030°
55	1287.772720783	$C_{2}$	0,000391696	0	0	12	43	0	0	159	106	0	26,615°
56	1337.094945276	$D_{2}$	0	0	0	12	44	0	0	162	108	0	26,683°
57	1387.383229253	$D_{3}$	0	0	0	12	45	0	0	165	110	0	26,702°
58	1438.618250640	$D_{2}$	0	0	0	12	46	0	0	168	112	0	26,155°
59	1490.773335279	$C_{2}$	0,000154286	0	0	14	43	2	0	171	114	0	26,170°
60	1543.830400976	$D_{3}$	0	0	0	12	48	0	0	174	116	0	25,958°
61	1597.941830199	$C_{1}$	0,001091717	0	0	12	49	0	0	177	118	0	25,392°
62	1652.909409898	$D_{5}$	0	0	0	12	50	0	0	180	120	0	25.880°
63	1708.879681503	$D_{3}$	0	0	0	12	51	0	0	183	122	0	25,257°
64	1765.802577927	$D_{2}$	0	0	0	12	52	0	0	186	124	0	24,920°
65	1823.667960264	$C_{2}$	0,000399515	0	0	12	53	0	0	189	126	0	24,527°
66	1882.441525304	$C_{2}$	0,000776245	0	0	12	54	0	0	192	128	0	24,765°
67	1942.122700406	$D_{5}$	0	0	0	12	55	0	0	195	130	0	24,727°
68	2002.874701749	$D_{2}$	0	0	0	12	56	0	0	198	132	0	24,433°
69	2064.533483235	$D_{3}$	0	0	0	12	57	0	0	201	134	0	24,137°
70	2127.100901551	$D_{2d}$	0	0	0	12	50	0	0	200	128	4	24,291°
71	2190.649906425	$C_{2}$	0,001256769	0	0	14	55	2	0	207	138	0	23,803°
72	2255.001190975	$I$	0	0	0	12	60	0	0	210	140	0	24,492°	geodetisk sfär {3,5+} _2,1
73	2320.633883745	$C_{2}$	0,001572959	0	0	12	61	0	0	213	142	0	22.810°
74	2387.072981838	$C_{2}$	0,000641539	0	0	12	62	0	0	216	144	0	22,966°
75	2454.369689040	$D_{3}$	0	0	0	12	63	0	0	219	146	0	22,736°
76	2522.674871841	$C_{2}$	0,000943474	0	0	12	64	0	0	222	148	0	22,886°
77	2591.850152354	$D_{5}$	0	0	0	12	65	0	0	225	150	0	23,286°
78	2662.046474566	$T_{h}$	0	0	0	12	66	0	0	228	152	0	23,426°
79	2733.248357479	$C_{s}$	0,000702921	0	0	12	63	1	0	230	152	1	22,636°
80	2805.355875981	$D_{4d}$	0	0	0	16	64	0	0	232	152	2	22,778°
81	2878.522829664	$C_{2}$	0,000194289	0	0	12	69	0	0	237	158	0	21,892°
82	2952.569675286	$D_{2}$	0	0	0	12	70	0	0	240	160	0	22,206°
83	3027.528488921	$C_{2}$	0,000339815	0	0	14	67	2	0	243	162	0	21,646°
84	3103.465124431	$C_{2}$	0,000401973	0	0	12	72	0	0	246	164	0	21,513°
85	3180.361442939	$C_{2}$	0,000416581	0	0	12	73	0	0	249	166	0	21,498°
86	3258.211605713	$C_{2}$	0,001378932	0	0	12	74	0	0	252	168	0	21,522°
87	3337.000750014	$C_{2}$	0,000754863	0	0	12	75	0	0	255	170	0	21,456°
88	3416.720196758	$D_{2}$	0	0	0	12	76	0	0	258	172	0	21,486°
89	3497.439018625	$C_{2}$	0,000070891	0	0	12	77	0	0	261	174	0	21,182°
90	3579.091222723	$D_{3}$	0	0	0	12	78	0	0	264	176	0	21.230°
91	3661.713699320	$C_{2}$	0,000033221	0	0	12	79	0	0	267	178	0	21,105°
92	3745.291636241	$D_{2}$	0	0	0	12	80	0	0	270	180	0	21,026°
93	3829.844338421	$C_{2}$	0,000213246	0	0	12	81	0	0	273	182	0	20,751°
94	3915.309269620	$D_{2}$	0	0	0	12	82	0	0	276	184	0	20,952°
95	4001.771675565	$C_{2}$	0,000116638	0	0	12	83	0	0	279	186	0	20,711°
96	4089.154010060	$C_{2}$	0,000036310	0	0	12	84	0	0	282	188	0	20,687°
97	4177.533599622	$C_{2}$	0,000096437	0	0	12	85	0	0	285	190	0	20.450°
98	4266.822464156	$C_{2}$	0,000112916	0	0	12	86	0	0	288	192	0	20,422°
99	4357.139163132	$C_{2}$	0,000156508	0	0	12	87	0	0	291	194	0	20,284°
100	4448.350634331	$T$	0	0	0	12	88	0	0	294	196	0	20,297°
101	4540.590051694	$D_{3}$	0	0	0	12	89	0	0	297	198	0	20.011°
102	4633.736565899	$D_{3}$	0	0	0	12	90	0	0	300	200	0	20,040°
103	4727.836616833	$C_{2}$	0,000201245	0	0	12	91	0	0	303	202	0	19,907°
104	4822.876522746	$D_{6}$	0	0	0	12	92	0	0	306	204	0	19,957°
105	4919.000637616	$D_{3}$	0	0	0	12	93	0	0	309	206	0	19,842°
106	5015.984595705	$D_{2}$	0	0	0	12	94	0	0	312	208	0	19,658°
107	5113.953547724	$C_{2}$	0,000064137	0	0	12	95	0	0	315	210	0	19,327°
108	5212.813507831	$C_{2}$	0,000432525	0	0	12	96	0	0	318	212	0	19,327°
109	5312.735079920	$C_{2}$	0,000647299	0	0	14	93	2	0	321	214	0	19.103°
110	5413.549294192	$D_{6}$	0	0	0	12	98	0	0	324	216	0	19,476°
111	5515.293214587	$D_{3}$	0	0	0	12	99	0	0	327	218	0	19,255°
112	5618.044882327	$D_{5}$	0	0	0	12	100	0	0	330	220	0	19.351°
113	5721.824978027	$D_{3}$	0	0	0	12	101	0	0	333	222	0	18,978°
114	5826.521572163	$C_{2}$	0,000149772	0	0	12	102	0	0	336	224	0	18,836°
115	5932.181285777	$C_{3}$	0,000049972	0	0	12	103	0	0	339	226	0	18,458°
116	6038.815593579	$C_{2}$	0,000259726	0	0	12	104	0	0	342	228	0	18,386°
117	6146.342446579	$C_{2}$	0,000127609	0	0	12	105	0	0	345	230	0	18,566°
118	6254.877027790	$C_{2}$	0,000332475	0	0	12	106	0	0	348	232	0	18.455°
119	6364.347317479	$C_{2}$	0,000685590	0	0	12	107	0	0	351	234	0	18.336°
120	6474.756324980	$C_{s}$	0,001373062	0	0	12	108	0	0	354	236	0	18,418°
121	6586.121949584	$C_{3}$	0,000838863	0	0	12	109	0	0	357	238	0	18.199°
122	6698.374499261	$I_{h}$	0	0	0	12	110	0	0	360	240	0	18,612°	geodetisk sfär {3,5+} _2,2
123	6811.827228174	$C_{2v}$	0,001939754	0	0	14	107	2	0	363	242	0	17.840°
124	6926.169974193	$D_{2}$	0	0	0	12	112	0	0	366	244	0	18.111°
125	7041.473264023	$C_{2}$	0,000088274	0	0	12	113	0	0	369	246	0	17,867°
126	7157.669224867	$D_{4}$	0	0	2	16	100	8	0	372	248	0	17,920°
127	7274.819504675	$D_{5}$	0	0	0	12	115	0	0	375	250	0	17,877°
128	7393.007443068	$C_{2}$	0,000054132	0	0	12	116	0	0	378	252	0	17,814°
129	7512.107319268	$C_{2}$	0,000030099	0	0	12	117	0	0	381	254	0	17,743°
130	7632.167378912	$C_{2}$	0,000025622	0	0	12	118	0	0	384	256	0	17,683°
131	7753.205166941	$C_{2}$	0,000305133	0	0	12	119	0	0	387	258	0	17.511°
132	7875.045342797	$I$	0	0	0	12	120	0	0	390	260	0	17,958°	geodetisk sfär {3,5+} _3,1
133	7998.179212898	$C_{3}$	0,000591438	0	0	12	121	0	0	393	262	0	17.133°
134	8122.089721194	$C_{2}$	0,000470268	0	0	12	122	0	0	396	264	0	17,214°
135	8246.909486992	$D_{3}$	0	0	0	12	123	0	0	399	266	0	17.431°
136	8372.743302539	$T$	0	0	0	12	124	0	0	402	268	0	17,485°
137	8499.534494782	$D_{5}$	0	0	0	12	125	0	0	405	270	0	17.560°
138	8627.406389880	$C_{2}$	0,000473576	0	0	12	126	0	0	408	272	0	16,924°
139	8756.227056057	$C_{2}$	0,000404228	0	0	12	127	0	0	411	274	0	16,673°
140	8885.980609041	$C_{1}$	0,000630351	0	0	13	126	1	0	414	276	0	16,773°
141	9016.615349190	$C_{2v}$	0,000376365	0	0	14	126	0	1	417	278	0	16,962°
142	9148.271579993	$C_{2}$	0,000550138	0	0	12	130	0	0	420	280	0	16.840°
143	9280.839851192	$C_{2}$	0,000255449	0	0	12	131	0	0	423	282	0	16,782°
144	9414.371794460	$D_{2}$	0	0	0	12	132	0	0	426	284	0	16,953°
145	9548.928837232	$C_{s}$	0,000094938	0	0	12	133	0	0	429	286	0	16,841°
146	9684.381825575	$D_{2}$	0	0	0	12	134	0	0	432	288	0	16,905°
147	9820.932378373	$C_{2}$	0,000636651	0	0	12	135	0	0	435	290	0	16,458°
148	9958.406004270	$C_{2}$	0,000203701	0	0	12	136	0	0	438	292	0	16,627°
149	10096.859907397	$C_{1}$	0,000638186	0	0	14	133	2	0	441	294	0	16.344°
150	10236.196436701	$T$	0	0	0	12	138	0	0	444	296	0	16.405°
151	10376.571469275	$C_{2}$	0,000153836	0	0	12	139	0	0	447	298	0	16,163°
152	10517.867592878	$D_{2}$	0	0	0	12	140	0	0	450	300	0	16,117°
153	10660.082748237	$D_{3}$	0	0	0	12	141	0	0	453	302	0	16.390°
154	10803.372421141	$C_{2}$	0,000735800	0	0	12	142	0	0	456	304	0	16,078°
155	10947.574692279	$C_{2}$	0,000603670	0	0	12	143	0	0	459	306	0	15.990°
156	11092.798311456	$C_{2}$	0,000508534	0	0	12	144	0	0	462	308	0	15,822°
157	11238.903041156	$C_{2}$	0,000357679	0	0	12	145	0	0	465	310	0	15,948°
158	11385.990186197	$C_{2}$	0,000921918	0	0	12	146	0	0	468	312	0	15,987°
159	11534.023960956	$C_{2}$	0,000381457	0	0	12	147	0	0	471	314	0	15.960°
160	11683.054805549	$D_{2}$	0	0	0	12	148	0	0	474	316	0	15,961°
161	11833.084739465	$C_{2}$	0,000056447	0	0	12	149	0	0	477	318	0	15.810°
162	11984.050335814	$D_{3}$	0	0	0	12	150	0	0	480	320	0	15,813°
163	12136.013053220	$C_{2}$	0,000120798	0	0	12	151	0	0	483	322	0	15,675°
164	12288.930105320	$D_{2}$	0	0	0	12	152	0	0	486	324	0	15,655°
165	12442.804451373	$C_{2}$	0,000091119	0	0	12	153	0	0	489	326	0	15,651°
166	12597.649071323	$D_{2d}$	0	0	0	16	146	4	0	492	328	0	15,607°
167	12753.469429750	$C_{2}$	0,000097382	0	0	12	155	0	0	495	330	0	15.600°
168	12910.212672268	$D_{3}$	0	0	0	12	156	0	0	498	332	0	15,655°
169	13068.006451127	$C_{s}$	0,000068102	0	0	13	155	1	0	501	334	0	15,537°
170	13226.681078541	$D_{2d}$	0	0	0	12	158	0	0	504	336	0	15,569°
171	13386.355930717	$D_{3}$	0	0	0	12	159	0	0	507	338	0	15,497°
172	13547.018108787	$C_{2v}$	0,000547291	0	0	14	156	2	0	510	340	0	15,292°
173	13708.635243034	$C_{s}$	0,000286544	0	0	12	161	0	0	513	342	0	15,225°
174	13871.187092292	$D_{2}$	0	0	0	12	162	0	0	516	344	0	15,366°
175	14034.781306929	$C_{2}$	0,000026686	0	0	12	163	0	0	519	346	0	15,252°
176	14199.354775632	$C_{1}$	0,000283978	0	0	12	164	0	0	522	348	0	15.101°
177	14364.837545298	$D_{5}$	0	0	0	12	165	0	0	525	350	0	15,269°
178	14531.309552587	$D_{2}$	0	0	0	12	166	0	0	528	352	0	15,145°
179	14698.754594220	$C_{1}$	0,000125113	0	0	13	165	1	0	531	354	0	14,968°
180	14867.099927525	$D_{2}$	0	0	0	12	168	0	0	534	356	0	15,067°
181	15036.467239769	$C_{2}$	0,000304193	0	0	12	169	0	0	537	358	0	15.002°
182	15206.730610906	$D_{5}$	0	0	0	12	170	0	0	540	360	0	15.155°
183	15378.166571028	$C_{1}$	0,000467899	0	0	12	171	0	0	543	362	0	14,747°
184	15550.421450311	$T$	0	0	0	12	172	0	0	546	364	0	14,932°
185	15723.720074072	$C_{2}$	0,000389762	0	0	12	173	0	0	549	366	0	14,775°
186	15897.897437048	$C_{1}$	0,000389762	0	0	12	174	0	0	552	368	0	14,739°
187	16072.975186320	$D_{5}$	0	0	0	12	175	0	0	555	370	0	14,848°
188	16249.222678879	$D_{2}$	0	0	0	12	176	0	0	558	372	0	14.740°
189	16426.371938862	$C_{2}$	0,000020732	0	0	12	177	0	0	561	374	0	14,671°
190	16604.428338501	$C_{3}$	0,000586804	0	0	12	178	0	0	564	376	0	14.501°
191	16783.452219362	$C_{1}$	0,001129202	0	0	13	177	1	0	567	378	0	14.195°
192	16963.338386460	$I$	0	0	0	12	180	0	0	570	380	0	14,819°	geodetisk sfär {3,5+} _3,2
193	17144.564740880	$C_{2}$	0,000985192	0	0	12	181	0	0	573	382	0	14,144°
194	17326.616136471	$C_{1}$	0,000322358	0	0	12	182	0	0	576	384	0	14.350°
195	17509.489303930	$D_{3}$	0	0	0	12	183	0	0	579	386	0	14,375°
196	17693.460548082	$C_{2}$	0,000315907	0	0	12	184	0	0	582	388	0	14.251°
197	17878.340162571	$D_{5}$	0	0	0	12	185	0	0	585	390	0	14,147°
198	18064.262177195	$C_{2}$	0,000011149	0	0	12	186	0	0	588	392	0	14,237°
199	18251.082495640	$C_{1}$	0,000534779	0	0	12	187	0	0	591	394	0	14.153°
200	18438.842717530	$D_{2}$	0	0	0	12	188	0	0	594	396	0	14,222°
201	18627.591226244	$C_{1}$	0,001048859	0	0	13	187	1	0	597	398	0	13.830°
202	18817.204718262	$D_{5}$	0	0	0	12	190	0	0	600	400	0	14,189°
203	19007.981204580	$C_{s}$	0,000600343	0	0	12	191	0	0	603	402	0	13,977°
204	19199.540775603	$T_{h}$	0	0	0	12	192	0	0	606	404	0	14,291°
212	20768.053085964	$I$	0	0	0	12	200	0	0	630	420	0	14,118°	geodetisk sfär {3,5+} _4,1
214	21169.910410375	$T$	0	0	0	12	202	0	0	636	424	0	13,771°
216	21575.596377869	$D_{3}$	0	0	0	12	204	0	0	642	428	0	13,735°
217	21779.856080418	$D_{5}$	0	0	0	12	205	0	0	645	430	0	13,902°
232	24961.252318934	$T$	0	0	0	12	220	0	0	690	460	0	13.260°
255	30264.424251281	$D_{3}$	0	0	0	12	243	0	0	759	506	0	12,565°
256	30506.687515847	$T$	0	0	0	12	244	0	0	762	508	0	12,572°
257	30749.941417346	$D_{5}$	0	0	0	12	245	0	0	765	510	0	12,672°
272	34515.193292681	$I_{h}$	0	0	0	12	260	0	0	810	540	0	12.335°	geodetisk sfär {3,5+} _3,3
282	37147.294418462	$I$	0	0	0	12	270	0	0	840	560	0	12,166°	geodetisk sfär {3,5+} _4,2
292	39877.008012909	$D_{5}$	0	0	0	12	280	0	0	870	580	0	11,857°
306	43862.569780797	$T_{h}$	0	0	0	12	294	0	0	912	608	0	11,628°
312	45629.313804002	$C_{2}$	0,000306163	0	0	12	300	0	0	930	620	0	11,299°
315	46525.825643432	$D_{3}$	0	0	0	12	303	0	0	939	626	0	11,337°
317	47128.310344520	$D_{5}$	0	0	0	12	305	0	0	945	630	0	11,423°
318	47431.056020043	$D_{3}$	0	0	0	12	306	0	0	948	632	0	11,219°
334	52407.728127822	$T$	0	0	0	12	322	0	0	996	664	0	11,058°
348	56967.472454334	$T_{h}$	0	0	0	12	336	0	0	1038	692	0	10,721°
357	59999.922939598	$D_{5}$	0	0	0	12	345	0	0	1065	710	0	10,728°
358	60341.830924588	$T$	0	0	0	12	346	0	0	1068	712	0	10,647°
372	65230.027122557	$I$	0	0	0	12	360	0	0	1110	740	0	10,531°	geodesisk sfär {3,5+} _4,3
382	68839.426839215	$D_{5}$	0	0	0	12	370	0	0	1140	760	0	10,379°
390	71797.035335953	$T_{h}$	0	0	0	12	378	0	0	1164	776	0	10,222°
392	72546.258370889	$C_{1}$	0	0	0	12	380	0	0	1170	780	0	10,278°
400	75582.448512213	$T$	0	0	0	12	388	0	0	1194	796	0	10,068°
402	76351.192432673	$D_{5}$	0	0	0	12	390	0	0	1200	800	0	10,099°
432	88353.709681956	$D_{3}$	0	0	0	24	396	12	0	1290	860	0	9,556°
448	95115.546986209	$T$	0	0	0	24	412	12	0	1338	892	0	9,322°
460	100351.763108673	$T$	0	0	0	24	424	12	0	1374	916	0	9,297°
468	103920.871715127	$S_{6}$	0	0	0	24	432	12	0	1398	932	0	9,120°
470	104822.886324279	$S_{6}$	0	0	0	24	434	12	0	1404	936	0	9,059°

Enligt en gissning, om $m=n+2$ , är p polyedern som bildas av det konvexa skrovet av m punkter, q är antalet fyrsidiga ytor av p , då är lösningen för m elektroner är f ( m ): $f(m)=0^{n}+3n-q$ . ^{[ förtydligande behövs ]}

(kommentar: tabellen ovan måste vara felaktig eftersom en ökning av n måste ge en minskning av θ, t.ex. θ 16 < θ 17. Det finns flera andra exempel.)

^ Thomson, Joseph John (mars 1904). "Om atomens struktur: en undersökning av stabiliteten och svängningsperioderna för ett antal kroppar arrangerade med lika intervall runt en cirkels omkrets; med tillämpning av resultaten på teorin om atomstruktur" (PDF ) . Filosofisk tidskrift . Serie 6. 7 (39): 237–265. doi : 10.1080/14786440409463107 . Arkiverad från originalet (PDF) den 13 december 2013.
^ Smale, S. (1998). "Matematiska problem för nästa århundrade". Matematisk intelligens . 20 (2): 7–15. CiteSeerX 10.1.1.35.4101 . doi : 10.1007/bf03025291 . S2CID 1331144 .
^ Föppl, L. (1912). "Stabile Anordnungen von Elektronen im Atom" . J. Reine Angew. Matematik . 141 (141): 251–301. doi : 10.1515/crll.1912.141.251 . S2CID 120309200 . .
^ Schwartz, Richard (2010). "The 5 elektron case of Thomson's Problem". arXiv : 1001.3702 [ math.MG ].
^ Yudin, VA (1992). "Minimum av potentiell energi för ett system av punktladdningar". Discretnaya Matematika . 4 (2): 115–121 (på ryska). ; Yudin, VA (1993). "Minimum av potentiell energi för ett system av punktladdningar". Diskret matematik. Appl . 3 (1): 75–81. doi : 10.1515/dma.1993.3.1.75 . S2CID 117117450 .
^ Andreev, NN (1996). "En extrem egenskap hos icosahedron". East J. Approximation . 2 (4): 459–462. MR 1426716 , Zbl 0877.51021
^ Landkof, NS Grunder av modern potentiell teori. Översatt från ryska av AP Doohovskoy. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 180. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1972. x+424 pp.
^ Hardin, DP; Saff, EB Diskreterande grenrör via minimienergipunkter. Lägger märke till Amer. Matematik. Soc. 51 (2004), nr. 10, 1186–1194
^ ^a ^b Batagelj, Vladimir; Plestenjak, Bor. "Optimala arrangemang av n punkter på en sfär och i en cirkel" ( PDF) . IMFM/TCS. Arkiverad från originalet (PDF) den 25 juni 2018.
^ LaFave Jr, Tim (februari 2014). "Diskreta transformationer i Thomson-problemet" . Journal of Electrostatics . 72 (1): 39–43. arXiv : 1403.2592 . doi : 10.1016/j.elstat.2013.11.007 . S2CID 119309183 .
^ Levin, Y.; Arenzon, JJ (2003). "Varför avgifter går till ytan: ett generaliserat Thomson-problem". Europhys. Lett . 63 (3): 415. arXiv : cond-mat/0302524 . Bibcode : 2003EL.....63..415L . doi : 10.1209/epl/i2003-00546-1 . S2CID 18929981 .
^ Sir JJ Thomson, The Romanes Lecture, 1914 (The Atomic Theory)
^ LaFave Jr, Tim (2013). "Korrespondenser mellan det klassiska elektrostatiska Thomson-problemet och atomär elektronisk struktur". Journal of Electrostatics . 71 (6): 1029–1035. arXiv : 1403.2591 . doi : 10.1016/j.elstat.2013.10.001 . S2CID 118480104 .
^ Kevin Brown. "Min-energikonfigurationer av elektroner på en sfär" . Hämtad 2014-05-01.
^ "Sloane's A008486 (se kommentaren från 3 februari 2017)" . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . Stiftelsen OEIS . Hämtad 2017-02-08 .

Anteckningar

Whyte, LL (1952). "Unika arrangemang av punkter på en sfär". Amer. Matematik. Månadsvis . 59 (9): 606–611. doi : 10.2307/2306764 . JSTOR 2306764 .
Cohn, Harvey (1956). "Stabilitetskonfigurationer av elektroner på en sfär" . Matematik. Comput . 10 (55): 117–120. doi : 10.1090/S0025-5718-1956-0081133-0 .
Goldberg, Michael (1969). "Stabilitetskonfigurationer av elektroner på en sfär" . Matematik. Comp . 23 (108): 785–786. doi : 10.1090/S0025-5718-69-99642-2 .
Erber, T.; Hockney, GM (1991). "jämviktskonfigurationer av N lika laddningar på en sfär". J. Phys. A: Matematik. Gen. _ 24 (23): L1369. Bibcode : 1991JPhA...24L1369E . doi : 10.1088/0305-4470/24/23/008 . S2CID 122561279 .
Morris, JR; Deaven, DM; Ho, KM (1996). "Genetisk algoritm energiminimering för punktladdningar på en sfär". Phys. Rev. B. 53 (4): R1740–R1743. Bibcode : 1996PhRvB..53.1740M . CiteSeerX 10.1.1.28.93 . doi : 10.1103/PhysRevB.53.R1740 . PMID 9983695 .
Erber, T.; Hockney, GM (1997). Komplexa system: Jämviktskonfigurationer av $N$ lika laddningar på en sfär $(2\leq N\leq 112)$ . Framsteg inom kemisk fysik . Vol. 98. s. 495–594. doi : 10.1002/9780470141571.ch5 . ISBN 9780470141571 . .
Altschuler, EL; Williams, TJ; Ratner, ER; Tipton, R.; Stong, R.; Dowla, F.; Wooten, F. (1997). "Möjliga globala minimigitterkonfigurationer för Thomsons problem med laddningar på en sfär" . Phys. Rev. Lett . 78 (14): 2681–2685. Bibcode : 1997PhRvL..78.2681A . doi : 10.1103/PhysRevLett.78.2681 .
Bowick, M.; Cacciuto, A.; Nelson, DR; Travesset, A. (2002). "Kristallin ordning på en sfär och det generaliserade Thomson-problemet". Phys. Rev. Lett . 89 (18): 249902. arXiv : cond-mat/0206144 . Bibcode : 2002PhRvL..89r5502B . doi : 10.1103/PhysRevLett.89.185502 . PMID 12398614 . S2CID 20362989 .
Dragnev, PD; Legg, DA; Townsend, DW (2002). "Diskret logaritmisk energi på sfären" . Pacific J. Math . 207 (2): 345–358. doi : 10.2140/pjm.2002.207.345 . .
Katanforoush, A.; Shahshahani, M. (2003). "Fördelningspunkter på sfären. I" . Exper. Matematik . 12 (2): 199–209. doi : 10.1080/10586458.2003.10504492 . S2CID 7306812 .
Wales, David J.; Ulker, Sidika (2006). "Struktur och dynamik hos sfäriska kristaller karakteriserad för Thomson-problemet" . Phys. Rev. B. 74 (21): 212101. Bibcode : 2006PhRvB..74u2101W . doi : 10.1103/PhysRevB.74.212101 . S2CID 119932997 . Konfigurationer tryckta i Wales, DJ; Ulker, S. "Cambridge-klusterdatabasen" .
Slosar, A.; Podgornik, R. (2006). "På Thomson-problemet med anslutna laddningar". Europhys. Lett . 75 (4): 631. arXiv : cond-mat/0606765 . Bibcode : 2006EL.....75..631S . doi : 10.1209/epl/i2006-10146-1 . S2CID 119005054 .
Cohn, Henry; Kumar, Abhinav (2007). "Universellt optimal fördelning av poäng på sfärer". J. Amer. Matematik. Soc . 20 (1): 99–148. arXiv : math/0607446 . Bibcode : 2007JAMS...20...99C . doi : 10.1090/S0894-0347-06-00546-7 . S2CID 26614691 .
Wales, DJ; McKay, H.; Altschuler, EL (2009). "Defekta motiv för sfäriska topologier". Phys. Rev. B. 79 (22): 224115. Bibcode : 2009PhRvB..79v4115W . doi : 10.1103/PhysRevB.79.224115 . . Konfigurationer återgivna i Wales, DJ; Ulker, S. "Cambridge-klusterdatabasen" .
Ridgway, WJM; Cheviakov, AF (2018). "En iterativ procedur för att hitta lokalt och globalt optimala arrangemang av partiklar på enhetssfären". Comput. Phys. Commun . 233 : 84–109. Bibcode : 2018CoPhC.233...84R . doi : 10.1016/j.cpc.2018.03.029 . S2CID 52097788 .
Cecka, Cris; Bowick, Mark J.; Middleton, Alan A. "Thomson Problem @ SU"
Den här webbsidan innehåller många fler elektronkonfigurationer med den lägsta kända energin: https://www.hars.us .

[1] Thomson, Joseph John (mars 1904). "Om atomens struktur: en undersökning av stabiliteten och svängningsperioderna för ett antal kroppar arrangerade med lika intervall runt en cirkels omkrets; med tillämpning av resultaten på teorin om atomstruktur" (PDF ) . Filosofisk tidskrift . Serie 6. 7 (39): 237–265. doi : 10.1080/14786440409463107 . Arkiverad från originalet (PDF) den 13 december 2013.

[2] Smale, S. (1998). "Matematiska problem för nästa århundrade". Matematisk intelligens . 20 (2): 7–15. CiteSeerX 10.1.1.35.4101 . doi : 10.1007/bf03025291 . S2CID 1331144 .

[3] Föppl, L. (1912). "Stabile Anordnungen von Elektronen im Atom" . J. Reine Angew. Matematik . 141 (141): 251–301. doi : 10.1515/crll.1912.141.251 . S2CID 120309200 . .

[4] Schwartz, Richard (2010). "The 5 elektron case of Thomson's Problem". arXiv : 1001.3702 [ math.MG ].

[5] Yudin, VA (1992). "Minimum av potentiell energi för ett system av punktladdningar". Discretnaya Matematika . 4 (2): 115–121 (på ryska). ; Yudin, VA (1993). "Minimum av potentiell energi för ett system av punktladdningar". Diskret matematik. Appl . 3 (1): 75–81. doi : 10.1515/dma.1993.3.1.75 . S2CID 117117450 .

[6] Andreev, NN (1996). "En extrem egenskap hos icosahedron". East J. Approximation . 2 (4): 459–462. MR 1426716 , Zbl 0877.51021

[7] Landkof, NS Grunder av modern potentiell teori. Översatt från ryska av AP Doohovskoy. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 180. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1972. x+424 pp.

[8] Hardin, DP; Saff, EB Diskreterande grenrör via minimienergipunkter. Lägger märke till Amer. Matematik. Soc. 51 (2004), nr. 10, 1186–1194

[bpopt-9] Batagelj, Vladimir; Plestenjak, Bor. "Optimala arrangemang av n punkter på en sfär och i en cirkel" ( PDF) . IMFM/TCS. Arkiverad från originalet (PDF) den 25 juni 2018.

[10] LaFave Jr, Tim (februari 2014). "Diskreta transformationer i Thomson-problemet" . Journal of Electrostatics . 72 (1): 39–43. arXiv : 1403.2592 . doi : 10.1016/j.elstat.2013.11.007 . S2CID 119309183 .

[11] Levin, Y.; Arenzon, JJ (2003). "Varför avgifter går till ytan: ett generaliserat Thomson-problem". Europhys. Lett . 63 (3): 415. arXiv : cond-mat/0302524 . Bibcode : 2003EL.....63..415L . doi : 10.1209/epl/i2003-00546-1 . S2CID 18929981 .

[12] Sir JJ Thomson, The Romanes Lecture, 1914 (The Atomic Theory)

[13] LaFave Jr, Tim (2013). "Korrespondenser mellan det klassiska elektrostatiska Thomson-problemet och atomär elektronisk struktur". Journal of Electrostatics . 71 (6): 1029–1035. arXiv : 1403.2591 . doi : 10.1016/j.elstat.2013.10.001 . S2CID 118480104 .

[14] Kevin Brown. "Min-energikonfigurationer av elektroner på en sfär" . Hämtad 2014-05-01.

[geom_sol-15] "Sloane's A008486 (se kommentaren från 3 februari 2017)" . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . Stiftelsen OEIS . Hämtad 2017-02-08 .