Testning i binära svarsindexmodeller

Beteckna en binär svarsindexmodell som: $P[Y_{i}=1\mid X_{i}]=G(X_{i} \beta )$ , $[Y_{i}=0\mid X_{i}]=1-G(X_{i}' \beta )$ där $X_{i}\i R^{N}$ .

Beskrivning

Denna typ av modell tillämpas i många ekonomiska sammanhang, särskilt vid modellering av valbeteendet. Till exempel $Y_{i}$ här om konsumenten $i$ väljer att köpa en viss sorts choklad, och $X_{i}$ innehåller många variabler som kännetecknar egenskaperna hos konsument $i$ . Genom funktionen $G(\cdot )$ bestäms sannolikheten för att välja att köpa.

Antag nu att dess maximala sannolikhetsestimator (MLE) ${\hat {\beta }}_{u}$ har en asymptotisk fördelning som ${ \displaystyle {\sqrt {n}}({\hat {\beta }}_{u}-\beta ){\xrightarrow {d}}N(0,V)} och det finns en genomförbar konsekvent skattare för det$ asymptotiska varians $V$ betecknad som ${\hat {V}}$ . Vanligtvis finns det två olika typer av hypoteser som krävs för att testas i binär svarsindexmodell.

$\beta _{2}=0with=[\beta _{1};\beta _{2}]där\beta _{2}\i R ^{Q}$ att testa de multipla uteslutningsrestriktionerna, nämligen att . Om den obegränsade MLE lätt kan beräknas är det bekvämt att använda Wald-testet vars teststatistik är konstruerad som:

$(D{\hat {\beta }}_{u})^{T }(D{\hat {V}}D^{T}/n)^{-1}(D{\hat {\beta}}_{u}){\xrightarrow {d}}X_{Q}^ {2}$

Där D är en diagonal matris med de sista Q- diagonala posterna som 0 och andra som 1. Om den begränsade MLE lätt kan beräknas är det bekvämare att använda Score-testet (LM-testet). Ange maximal sannolikhetsestimatorn under den begränsade modellen som $({\hat {\beta }}_{r})$ och definiera ${\hat {u}}_{i}\equiv Y_{i}-G(X_{i}'{\hat {\beta } }_{r}),{\hat {G}}_{i}\equiv G(X_{i}'{\hat {\beta }}_{r})$ och ${\displaystyle {\hat {g}}_{i}\equiv g(X_{i}'{\hat {\beta }}_{r}} ,$ där $g(\cdot )=G'(\cdot )$ . Kör sedan OLS-regressionen ${\frac {{\hat {u }}_{i}}{\sqrt {({\hat {G}}_{i}(1-{\hat {G}}_{i})}}}$ på ${\displaystyle {\frac {{\hat {g}}_{i}}{ \sqrt {({\hat {G}}_{i}(1-{\hat {G}}_{i})}}}X_{1i}',{\frac {{\hat {g}} _{i}}{\sqrt {({\hat {G}}_{i}(1-{\hat {G}}_{i})}}}X_{2i}'} ,$ där $X_{i}=[X_{1i};X_{2i}]$ och $X_{2i}\varepsilon R^{Q}$ LM-statistiken är lika med den förklarade summan av kvadrater från denna regression och den är asymptotiskt fördelad som $X_{Q}^{2}$ . Om MLE enkelt kan beräknas under både de begränsade och obegränsade modellerna, sannolikhetsförhållandetest också ett val: låt $L_{u}$ beteckna värdet av log-sannolikhetsfunktionen under den obegränsade modellen och låt $L_{r}$ beteckna värdet under den begränsade modellen, då har $2(L_{u}-L_{r})$ en asymptotisk $X_{Q}^{2}$ distribution.

Den andra typen är att testa en olinjär hypotes om ${\displaystyle \beta } ,$ som kan representeras som $H_{0}:c(\beta )=0$ där $c(\beta )$ är en Q×1-vektor av möjligen olinjära funktioner som uppfyller kraven på differentiabilitet och rangordning. I de flesta fall är det inte lätt eller ens möjligt att beräkna MLE under den begränsade modellen när $c(\beta )$ inkluderar några komplicerade olinjära funktioner. Därför används Wald-test vanligtvis för att hantera detta problem. Teststatistiken är uppbyggd som:

$c({\hat { \beta }}_{u}')[\nabla _{\beta }c({\hat {\beta }}_{u}){\hat {V}}\nabla _{\beta }c({ \hat {\beta }}_{u})']^{-1}c({\hat {\beta }}_{u}){\xrightarrow {d}}X_{Q}^{2}$

där $\nabla _{\beta }c({\hat {\beta }}_{u})$ är Q×N Jacobian av $c (\beta )$ utvärderad vid ${\hat {\beta }}_{u}$ .

För testerna med mycket generella och komplicerade alternativ kanske teststatistikens formel inte har exakt samma representation som ovan. Men vi kan fortfarande härleda formlerna såväl som dess asymptotiska distribution med Delta-metoden och implementera Wald-test , Score-test eller Likelihood-ratio-test . Vilket test som ska användas bestäms av den relativa beräkningssvårigheten för MLE under begränsade och obegränsade modeller.