Tät bindning

För annan användning, se Tät bindning (disambiguation) .

Inom fast tillståndsfysik är den tight-bindande modellen (eller TB-modellen ) ett tillvägagångssätt för beräkning av elektronisk bandstruktur med hjälp av en ungefärlig uppsättning vågfunktioner baserad på överlagring av vågfunktioner för isolerade atomer belägna vid varje atomär plats. Metoden är nära besläktad med LCAO-metoden (linjär kombination av atomorbitaler-metoden) som används inom kemin. Tättbindande modeller appliceras på en mängd olika fasta ämnen. Modellen ger i många fall goda kvalitativa resultat och kan kombineras med andra modeller som ger bättre resultat där den tätt bindande modellen misslyckas. Även om den tätt bindande modellen är en enelektronmodell, ger modellen också en grund för mer avancerade beräkningar som beräkning av yttillstånd och tillämpning på olika typer av mångakroppsproblem och kvasipartikelberäkningar .

Introduktion

Namnet "tight binding" för denna elektroniska bandstrukturmodell antyder att denna kvantmekaniska modell beskriver egenskaperna hos tätt bundna elektroner i fasta ämnen. Elektronerna i denna modell bör vara hårt bundna till den atom som de tillhör och de bör ha begränsad interaktion med tillstånd och potentialer på omgivande atomer i det fasta ämnet. Som ett resultat kommer elektronens vågfunktion att vara ganska lik atomomloppsbanan för den fria atom som den tillhör. Elektronens energi kommer också att vara ganska nära joniseringsenergin för elektronen i den fria atomen eller jonen eftersom interaktionen med potentialer och tillstånd på angränsande atomer är begränsad.

Även om den matematiska formuleringen av den en-partikel tätt bindande Hamiltonian kan se komplicerad ut vid första anblicken, är modellen inte komplicerad alls och kan förstås intuitivt ganska lätt. Det finns bara tre typer av matriselement som spelar en betydande roll i teorin. Två av dessa tre typer av element bör vara nära noll och kan ofta försummas. De viktigaste elementen i modellen är de interatomära matriselementen, som helt enkelt skulle kallas bindningsenergierna av en kemist.

Generellt finns det ett antal atomenerginivåer och atomära orbitaler involverade i modellen. Detta kan leda till komplicerade bandstrukturer eftersom orbitalerna tillhör olika punktgruppsrepresentationer . Det reciproka gittret och Brillouin-zonen tillhör ofta en annan rymdgrupp än den fasta kristallen . Högsymmetripunkter i Brillouin-zonen tillhör olika punktgruppsrepresentationer. När enkla system som elements gitter eller enkla föreningar studeras är det ofta inte särskilt svårt att analytiskt beräkna egentillstånd i högsymmetripunkter. Så den tight-bindande modellen kan ge fina exempel för den som vill lära sig mer om gruppteori .

Den tight-bindande modellen har en lång historia och har tillämpats på många sätt och med många olika syften och olika resultat. Modellen står inte för sig själv. Delar av modellen kan fyllas i eller utökas med andra typer av beräkningar och modeller som den nästan fria elektronmodellen . Själva modellen, eller delar av den, kan ligga till grund för andra beräkningar. I studiet av ledande polymerer , organiska halvledare och molekylär elektronik tillämpas till exempel tättbindande modeller där atomernas roll i det ursprungliga konceptet ersätts av molekylära orbitaler i konjugerade system och där de interatomära matriselementen ersätts av inter- eller intramolekylära hopp- och tunnelparametrar . Dessa ledare har nästan alla mycket anisotropa egenskaper och är ibland nästan perfekt endimensionella.

Historisk bakgrund

År 1928 hade idén om en molekylär orbital framförts av Robert Mulliken , som påverkades avsevärt av Friedrich Hunds arbete . LCAO-metoden för att approximera molekylära orbitaler introducerades 1928 av BN Finklestein och GE Horowitz, medan LCAO-metoden för fasta ämnen utvecklades av Felix Bloch , som en del av hans doktorsavhandling 1928, samtidigt med och oberoende av LCAO-MO-metoden. Ett mycket enklare interpolationsschema för att approximera den elektroniska bandstrukturen, särskilt för d-banden av övergångsmetaller , är den parametriserade tätbindningsmetoden som skapades 1954 av John Clarke Slater och George Fred Koster, ibland kallad SK-tätbindande metod. metod . Med SK tight-binding-metoden behöver elektroniska bandstrukturberäkningar på ett fast material inte utföras med full rigoritet som i den ursprungliga Blochs sats, utan snarare utförs förstaprincipberäkningar endast vid högsymmetripunkter och bandstrukturen interpoleras över resten av Brillouin-zonen mellan dessa punkter.

I detta tillvägagångssätt betraktas interaktioner mellan olika atomära platser som störningar . Det finns flera typer av interaktioner som vi måste överväga. Kristallen Hamiltonian är bara ungefär en summa av atomära Hamiltonianer belägna på olika platser och atomvågfunktioner överlappar intilliggande atomära platser i kristallen, och så är inte exakta representationer av den exakta vågfunktionen. Det finns ytterligare förklaringar i nästa avsnitt med några matematiska uttryck.

I den senaste forskningen om starkt korrelerat material är den täta bindningsmetoden grundläggande approximation eftersom starkt lokaliserade elektroner som 3-d övergångsmetallelektroner ibland uppvisar starkt korrelerade beteenden. I det här fallet måste elektron-elektroninteraktionens roll övervägas med hjälp av många kroppsfysikbeskrivningar .

Den tätt bindande modellen används vanligtvis för beräkningar av elektronisk bandstruktur och bandgap i den statiska regimen. Men i kombination med andra metoder såsom för slumpmässig fasapproximation (RPA) kan systemets dynamiska respons också studeras.

Matematisk formulering

Vi introducerar atomorbitalerna ${\displaystyle \varphi _{m}(\mathbf {r} )} ,$ som är egenfunktioner till Hamiltonian $H_{\rm {at}}$ av en enda isolerad atom. När atomen är placerad i en kristall överlappar denna atomvågfunktion intilliggande atomplatser, och så är inte sanna egenfunktioner hos kristallen Hamiltonian. Överlappningen är mindre när elektroner är hårt bundna, vilket är källan till deskriptorn "tight-bindning". Eventuella korrigeringar av atompotentialen $\Delta U$ som krävs för att erhålla den sanna Hamiltonian $H$ i systemet, antas små:

$H(\mathbf {r} )=H_ {\mathrm {at} }(\mathbf {r} )+\summa _{\mathbf {R} _{n}\neq \mathbf {0} }V(\mathbf {r} -\mathbf {R} _ {n})=H_{\mathrm {at} }(\mathbf {r} )+\Delta U(\mathbf {r} )\ ,$

där $V(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})$ anger atompotentialen för en atom placerad på plats $\mathbf {R} _{n}$ i kristallgittret . En lösning $\psi _{m}$ till den tidsoberoende enstaka elektronen Schrödinger-ekvationen approximeras sedan som en linjär kombination av atomära orbitaler $\varphi _{m} (\mathbf {r-R_{n}} )$ :

$\psi _{m}(\mathbf {r} )=\summa _{\mathbf {R} _ {n}}b_{m}(\mathbf {R} _{n})\ \varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})$ ,

där $m$ avser den m:te atomenerginivån.

Translationell symmetri och normalisering

Bloch -satsen säger att vågfunktionen i en kristall kan förändras under translation endast av en fasfaktor:

$\psi (\mathbf {r+R_{\ell }} )=e^{i\mathbf {k\cdot R_{ \ell }} }\psi (\mathbf {r} )\ ,$

där $\mathbf {k}$ är vågvektorn för vågfunktionen. Följaktligen uppfyller koefficienterna

$\sum _{\mathbf {R} _{n}}b_{m}(\mathbf {R} _{n})\ \varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R } _{n}+\mathbf {R} _{\ell })=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{\ell }}\sum _{\mathbf {R} _ {n}}b_{m}(\mathbf {R} _{n})\ \varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\ .$

Genom att ersätta ${\displaystyle \mathbf {R} _{p}=\mathbf {R} _{n}-\mathbf {R_{\ell }} } finner$ vi

${\displaystyle b_{m}(\mathbf {R} _{p}+\mathbf {R} _{\ell })=e^{i\mathbf {k\cdot R_{\ell }} }b_{m}(\mathbf {R} _{p})\ ,} (där vi i RHS har ersatt$ dummyindexet $\mathbf {R} _{n}$ med $\mathbf {R} _{p}$ )

eller

$b_{m}(\mathbf {R} _{\ell })=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{\ell }}b_{m}(\mathbf { 0} )\ .$

Normalisera vågfunktionen till enhet:

$\int d^{3}r\ \psi _{m}^{*}(\mathbf {r} )\psi _{ m}(\mathbf {r} )=1$

$=\sum _{\mathbf {R} _{n}}b_{m}^{*}(\mathbf {R} _{n})\sum _{\mathbf {R_{\ ell }} }b_{m}(\mathbf {R_{\ell }} )\int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{\ell })$

$=b_{m}^{*}(0)b_{m}( 0)\summa _{\mathbf {R} _{n}}e^{-i\mathbf {k\cdot R_{n}} }\summa _{\mathbf {R_{\ell }} }e^{ i\mathbf {k\cdot R_{\ell }} }\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n} )\varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{\ell })$

$=Nb_{m}^{*}(0)b_{m}(0)\summa _{\mathbf {R} _{p} }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{p}}\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} - \mathbf {R} _{p})\varphi _{m}(\mathbf {r} )\$

$=Nb_{m}^{*}(0)b_{m}(0)\summa _{\mathbf {R} _{p}} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{p}}\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} )\varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{p})\ ,$

så normaliseringen sätter $b_{m}(0)$ som

$b_{m}^{*}(0)b_{m }(0)={\frac {1}{N}}\ \cdot \ {\frac {1}{1+\summa _{\mathbf {R} _{p}\neq 0}e^{i\ mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{p}}\alpha _{m}(\mathbf {R} _{p})}}\ ,$

där α _m ( R _p ) är de atomära överlappningsintegralerna, som ofta försummas vilket resulterar i

$b_{m}(0)\approx {\frac {1}{\sqrt {N}}}\ ,$

och

$\psi _{m}(\mathbf {r} )\approx {\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {R} _{n}}e^{i \mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\ \varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\ .$

Den tätt bindande Hamiltonian

Genom att använda den täta bindande formen för vågfunktionen och anta att endast den m:te atomenerginivån är viktig för det m:te energibandet, är Bloch-energierna ε $\displaystyle \varepsilon _{m}}$ av formen

$\varepsilon _{m}=\int d^{3}r\ \psi _{m}^{* }(\mathbf {r} )H(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )$

$=\sum _{\mathbf {R} _{n}}b^{*}(\mathbf {R} _{n})\ \int d ^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})H(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )$

$=\sum _{\mathbf {R_{\ell }} }\ \sum _{\mathbf {R} _{n}}b_{m}^{*}(\mathbf {R} _{n })\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})H_{\mathrm {at} }(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{\ell })\psi _{m}(\mathbf {r} )\ +\sum _{\mathbf {R} _{n}}b_{m}^{ *}(\mathbf {R} _{n})\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n}) \Delta U(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )\ .$

$\approx E_{m}+b_{m}^{*}(0)\sum _{\mathbf {R} _{n}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf { R} _{n}}\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\Delta U(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )\ .$

Här försummas termer som involverar den atomära Hamiltonian på andra platser än där den är centrerad. Energin blir då

$\varepsilon _{m}(\mathbf {k})=E_{m$

$=E_{m }-\ {\frac {\beta _{m}+\sum _{\mathbf {R} _{n}\neq 0}\sum _{l}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\gamma _{m,l}(\mathbf {R} _{n})}{\ \ 1+\summa _{\mathbf {R} _{n}\neq 0} \sum _{l}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\alpha _{m,l}(\mathbf {R} _{n})}}\ ,$

där E _m är energin för den m -:te atomnivån, och $\alpha _{m,l}$ , $\beta _{m}$ och ${ \displaystyle \gamma _{m,l}}$ är de täta bindande matriselementen som diskuteras nedan.

De täta bindande matriselementen

Elementen

$$\beta _{m}=-\int {\varphi _{m}^{*}( \mathbf {r} )\Delta U(\mathbf {r} )\varphi _{m}(\mathbf {r} )\,d^{3}r}{\text{,}}$$

är atomenergiskiftet på grund av potentialen på angränsande atomer. Denna term är relativt liten i de flesta fall. Om den är stor betyder det att potentialer på angränsande atomer har ett stort inflytande på centralatomens energi.

Nästa klass av termer

$$\gamma _{m,l}(\mathbf {R } _{n})=-\int {\varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} )\Delta U(\mathbf {r} )\varphi _{l}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\,d^{3}r}{\text{,}}$$

är det interatomära matriselementet mellan atomorbitalerna m och l på intilliggande atomer. Det kallas även bindningsenergin eller tvåcentrumintegralen och det är den dominerande termen i den täta bindningsmodellen.

Den sista klassen av termer

$$\alpha _{m,l}(\mathbf {R} _{n}) =\int {\varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} )\varphi _{l}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\,d^{3 }r}{\text{,}}$$

beteckna överlappningsintegralerna mellan atomorbitalerna m och l på intilliggande atomer. Även dessa är vanligtvis små; om inte, så Pauli-avstötningen ett icke försumbart inflytande på centralatomens energi.

Utvärdering av matriselementen

Som tidigare nämnts är värdena för $\beta _{m}$ -matriselementen inte så stora i jämförelse med joniseringsenergin eftersom potentialerna för angränsande atomer på den centrala atomen är begränsade. Om $\beta _{m}$ inte är relativt liten betyder det att potentialen för den angränsande atomen på den centrala atomen inte heller är liten. I så fall är det en indikation på att den täta bindningsmodellen av någon anledning inte är en särskilt bra modell för beskrivningen av bandstrukturen. De interatomära avstånden kan vara för små eller så är laddningarna på atomerna eller jonerna i gittret fel till exempel.

De interatomära matriselementen $\gamma _{m,l}$ kan beräknas direkt om atomvågens funktioner och potentialerna är kända i detalj. Oftast är detta inte fallet. Det finns många sätt att få parametrar för dessa matriselement. Parametrar kan erhållas från energidata för kemiska bindningar . Energier och egentillstånd på vissa punkter med hög symmetri i Brillouin-zonen kan utvärderas och värdeintegraler i matriselementen kan matchas med bandstrukturdata från andra källor.

De interatomiska överlappande matriselementen $\alpha _{m,l}$ bör vara ganska små eller försumbara. Om de är stora är det återigen en indikation på att den täta bindningsmodellen är av begränsat värde för vissa ändamål. Stor överlappning är en indikation på för kort interatomärt avstånd till exempel. I metaller och övergångsmetaller kan det breda s-bandet eller sp-bandet anpassas bättre till en befintlig bandstrukturberäkning genom införandet av nästa-närmast-granne-matriselement och överlappande integraler men passningar som det ger inte en mycket användbar modell för den elektroniska vågfunktionen hos en metall. Breda band i täta material beskrivs bättre av en nästan fria elektronmodell .

Den täta bindningsmodellen fungerar särskilt bra i fall där bandbredden är liten och elektronerna är starkt lokaliserade, som i fallet med d-band och f-band. Modellen ger också bra resultat vid öppna kristallstrukturer, som diamant eller kisel, där antalet grannar är litet. Modellen kan enkelt kombineras med en nästan fri elektronmodell i en hybrid NFE-TB-modell.

Anslutning till Wannier funktioner

Bloch-funktioner beskriver de elektroniska tillstånden i ett periodiskt kristallgitter . Bloch-funktioner kan representeras som en Fourier-serie

$\psi _{m}\mathbf {(k,r)} ={\frac { 1}{\sqrt {N}}}\summa _{n}{a_{m}\mathbf {(R_{n},r)} }e^{\mathbf {ik\cdot R_{n}} }\ ,$

där R _n betecknar ett atomställe i ett periodiskt kristallgitter, k är vågvektorn för Blochs funktion, r är elektronpositionen, m är bandindex och summan är över alla N atomära platser. Blochens funktion är en exakt egenlösning för vågfunktionen hos en elektron i en periodisk kristallpotential som motsvarar en energi E _m ( k ), och sprids över hela kristallvolymen.

Med hjälp av Fouriertransformanalysen kan en spatialt lokaliserad vågfunktion för det m -te energibandet konstrueras från flera Blochs funktioner:

$a_{m}\mathbf {(R_{n},r)} ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\summa _{\mathbf {k} }{e^{\mathbf {-ik\cdot R_{n}} }\psi _{m}\mathbf {(k,r)} }={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {k } }{e^{\mathbf {ik\cdot (r-R_{n})} }u_{m}\mathbf {(k,r)} }.$

Dessa verkliga rymdvågsfunktioner ${a_{m}\mathbf {(R_{n},r)} }$ kallas Wannier-funktioner och är ganska nära lokaliserade till atomplatsen R _n . Naturligtvis, om vi har exakta Wannier-funktioner , kan de exakta Bloch-funktionerna härledas med hjälp av den inversa Fourier-transformen.

Det är dock inte lätt att direkt beräkna antingen Bloch-funktioner eller Wannier-funktioner . Ett ungefärligt tillvägagångssätt är nödvändigt vid beräkningen av elektroniska strukturer av fasta ämnen. Om vi ​​betraktar extremfallet med isolerade atomer, skulle Wannier-funktionen bli en isolerad atomomloppsbana. Den gränsen antyder valet av en atomvågfunktion som en ungefärlig form för Wannierfunktionen, den så kallade täta bindningsapproximationen.

Andra kvantiseringen

Moderna förklaringar av elektronisk struktur som tJ-modellen och Hubbard-modellen är baserade på tight binding-modellen. Tight bindning kan förstås genom att arbeta under en andra kvantiseringsformalism .

Med hjälp av atomomloppsbanan som bastillstånd kan den andra kvantiseringen Hamiltonian operatorn i det täta bindande ramverket skrivas som:

${\displaystyle H=-t\sum _{\langle i,j\rangle ,\sigma } (c_{i,\sigma }^{\dolk }c_{j,\sigma }^{}+hc)} ,$ c

$\displaystyle c_{i\sigma }^{\dolk } ,c_{j\sigma }}$ - skapande och förintelseoperatorer

$\displaystyle \sigma$ - spin polarisation

$\displaystyle t$ - hoppintegral

$\displaystyle \langle i, j\rangle$ - närmaste granne index

$\displaystyle hc$ - den hermitiska konjugatet av de andra termerna

Här motsvarar hoppintegralen $\displaystyle t$ överföringsintegralen $\displaystyle \gamma$ i tight bindningsmodell. Med tanke på extremfall av $t\rightarrow 0$ är det omöjligt för en elektron att hoppa in i angränsande platser. Detta fall är det isolerade atomsystemet. Om hopptermen är aktiverad ( $\displaystyle t>0$ ) kan elektroner stanna på båda platserna och sänka deras kinetiska energi .

I det starkt korrelerade elektronsystemet är det nödvändigt att beakta elektron-elektroninteraktionen. Denna term kan skrivas in

$\displaystyle H_{ee}= {\frac {1}{2}}\sum _{n,m,\sigma }\langle n_{1}m_{1},n_{2}m_{2}|{\frac {e^{2} }{|r_{1}-r_{2}|}}|n_{3}m_{3},n_{4}m_{4}\rangle c_{n_{1}m_{1}\sigma _{1 }}^{\dolk }c_{n_{2}m_{2}\sigma _{2}}^{\dolk }c_{n_{4}m_{4}\sigma _{2}}c_{n_{ 3}m_{3}\sigma _{1}}$

Denna interaktion Hamiltonian inkluderar direkt Coulomb interaktionsenergi och utbytesinteraktionsenergi mellan elektroner. Det finns flera ny fysik inducerad från denna elektron-elektroninteraktionsenergi, såsom metallisolatorövergångar (MIT), supraledning vid hög temperatur och flera kvantfasövergångar .

Exempel: endimensionellt s-band

Här illustreras den täta bindningsmodellen med en s-bandsmodell för en sträng av atomer med en enda s-orbital i en rak linje med mellanrum a och σ bindningar mellan atomära platser.

För att hitta ungefärliga egentillstånd för Hamiltonian kan vi använda en linjär kombination av atomorbitaler

$|k\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{n=1}^{N}e^{inka}|n\rangle$

där N = totalt antal platser och $k$ är en reell parameter med $-{\frac {\pi }{a}}\leqq k\leqq {\frac {\pi }{a}}$ . (Denna vågfunktion normaliseras till enhet med den ledande faktorn 1/√N förutsatt att överlappning av atomvågsfunktioner ignoreras.) Om man antar att endast närmaste granne överlappar, kan de enda matriselementen som inte är noll i Hamiltonian uttryckas som

$\langle n|H|n\rangle =E_{0}=E_{i}-U\ .$

$\langle n\pm 1|H|n\rangle =-\Delta \$

  $\langle n|n\rangle =1\ ;$$\langle n\pm 1|n\rangle =S\ .$

Energin E _i är joniseringsenergin som motsvarar den valda atombanan och U är orbitalens energiskifte som ett resultat av angränsande atomers potential. ⟨ $\langle n\pm 1|H|n\rangle =-\Delta$ element, som är Slater och Koster interatomiska matriselement , är bindningsenergierna $E_{ i,j}$ . I denna endimensionella s-bandsmodell har vi bara $\sigma$ -bindningar mellan s-orbitalerna med bindningsenergi $E_{s,s}=V_{ss \sigma }$ . Överlappningen mellan tillstånd på angränsande atomer är S . Vi kan härleda statens energi $|k\rangle$ med ovanstående ekvation:

$H|k\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{n}e^{inka}H|n\rangle$

  $\langle k|H|k\rangle ={\frac {1}{N}}\summa _{n,\ m}e^{i(nm)ka}\langle m|H|n \rangle$$={\frac {1}{N}}\sum _{n}\langle n|H|n\rangle +{\frac {1}{N}}\summa _ {n}\langle n-1|H|n\rangle e^{+ika}+{\frac {1}{N}}\summa _{n}\langle n+1|H|n\rangle e^ {-ika}$$=E_{0}-2\Delta \,\cos(ka)\ ,$

där man t.ex.

${\frac {1}{N}}\sum _{n}\langle n|H|n\rangle =E_{0}{\frac {1 }{N}}\summa _{n}1=E_{0}\ ,$

och

${\frac {1}{N}}\sum _{n}\langle n-1|H|n\rangle e^{+ika}=-\Delta e^{ika}{\frac {1 }{N}}\summa _{n}1=-\Delta e^{ika}\ .$

${\frac {1}{N}}\sum _{n}\langle n-1|n\rangle e^{+ika}=Se^{ika}{\frac {1}{N}} \sum _{n}1=Se^{ika}\ .$

Alltså energin i detta tillstånd $|k\rangle$ kan representeras i den välbekanta formen av energispridningen:

$E(k)={\frac {E_{0}-2\Delta \,\cos( ka)}{1+2S\,\cos(ka)}}$ .

• För $k=0$ är energin $E=(E_{0}-2\Delta )/(1+2S)$ och tillståndet består av en summa av alla atomära orbitaler. Detta tillstånd kan ses som en kedja av bindande orbitaler .
• För $k=\pi /(2a)$ är energin $E=E_{0}$ och tillståndet består av summan av atomära orbitaler som är en faktor $e^{i\pi /2}$ ur fas. Detta tillstånd kan ses som en kedja av icke-bindande orbitaler .
• Slutligen för $k=\pi /a$ är energin $E=(E_{0}+2\Delta ) /(1-2S)$ och tillståndet består av en alternerande summa av atomära orbitaler. Detta tillstånd kan ses som en kedja av antibindande orbitaler .

Detta exempel utökas lätt till tre dimensioner, till exempel till ett kroppscentrerat kubiskt eller ansiktscentrerat kubiskt gitter genom att introducera de närmaste intilliggande vektorplatserna istället för helt enkelt na . På samma sätt kan metoden utökas till flera band med användning av flera olika atomära orbitaler på varje plats. Den allmänna formuleringen ovan visar hur dessa förlängningar kan åstadkommas.

Tabell över interatomiska matriselement

År 1954 publicerade JC Slater och GF Koster, främst för beräkning av övergångsmetall -d-band, en tabell över interatomiska matriselement

$E_{i,j}({\vec {\mathbf {r}}}_{n,n'})=\langle n,i|H|n',j\rangle$

som också kan härledas från de kubiska harmoniska orbitalen helt enkelt. Tabellen uttrycker matriselementen som funktioner av LCAO -tvåcentrumbindningsintegraler mellan två kubiska harmoniska orbitaler, i och j , på intilliggande atomer. Bindningsintegralerna är till exempel $V_{ss\sigma }$ , $V_{pp\pi }$ och $V_{dd\delta }$ för sigma , pi och deltabindningar (Observera att dessa integraler också bör bero på avståndet mellan atomerna, dvs är en funktion av $(l,m,n)$ , även om det anges inte uttryckligen varje gång.).

Den interatomära vektorn uttrycks som

${\vec {\mathbf {r} }}_{n,n'}=(r_ {x},r_{y},r_{z})=d(l,m,n)$

där d är avståndet mellan atomerna och l , m och n är riktningen cosinus till den intilliggande atomen.

$E_{s,s}=V_{ss\sigma }$

$E_{s,x}=lV_{sp\ sigma }$

$E_{x,x}=l^{2}V_{pp\sigma }+(1- l^{2})V_{pp\pi }$

$E_{x,y}=lmV_{pp\sigma }-lmV_{ pp\pi }$

$E_{x,z}=lnV_{pp\sigma }-lnV_{pp\pi }$

$E_{s,xy}={\sqrt {3}}lmV_{sd\sigma }$

$E_{s,x^{2}-y^{2}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}(l^{2}-m^{ 2})V_{sd\sigma }$

$E_{s,3z^{2} -r^{2}}=[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{sd\sigma }$

$E_{x,xy}={\sqrt {3}}l^{2}mV_{pd\sigma }+m(1-2l^ {2})V_{pd\pi }$

$E_{x,yz}={\sqrt {3} }lmnV_{pd\sigma }-2lmnV_{pd\pi }$

$E_{x,zx }={\sqrt {3}}l^{2}nV_{pd\sigma }+n(1-2l^{2})V_{pd\pi }$

$E_{x,x^{2}-y^{2}}={\frac { \sqrt {3}}{2}}l(l^{2}-m^{2})V_{pd\sigma }+l(1-l^{2}+m^{2})V_{pd \pi }$

$E_{y,x ^{2}-y^{2}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}m(l^{2}-m^{2})V_{pd\sigma}-m(1 +l^{2}-m^{2})V_{pd\pi }$

$E_{z,x^{2}-y^{2}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}n(l^{2}-m^ {2})V_{pd\sigma }-n(l^{2}-m^{2})V_{pd\pi }$

$E_{x,3z^{2}-r^{2}}=l[n^{2}-(l ^{2}+m^{2})/2]V_{pd\sigma }-{\sqrt {3}}ln^{2}V_{pd\pi }$

$E_{y,3z^{2}-r^{2}}=m[ n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{pd\sigma }-{\sqrt {3}}mn^{2}V_{pd\pi }$

$E_{z,3z^ {2}-r^{2}}=n[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{pd\sigma }+{\sqrt {3}}n (l^{2}+m^{2})V_{pd\pi }$

$E_{xy,xy}=3l^{2}m^{2}V_{dd\sigma }+(l^{2 }+m^{2}-4l^{2}m^{2})V_{dd\pi}+(n^{2}+l^{2}m^{2})V_{dd\delta }$

$E_{xy ,yz}=3lm^{2}nV_{dd\sigma }+ln(1-4m^{2})V_{dd\pi}+ln(m^{2}-1)V_{dd\delta }$

$E_{xy, zx}=3l^{2}mnV_{dd\sigma }+mn(1-4l^{2})V_{dd\pi}+mn(l^{2}-1)V_{dd\delta }$

$E_{xy,x^{2}-y^{2}}={\frac {3}{2}}lm(l^{2}-m^{2} )V_{dd\sigma }+2lm(m^{2}-l^{2})V_{dd\pi}+[lm(l^{2}-m^{2})/2]V_{dd \delta }$

$E_{yz,x^{2}-y^{2}}={\frac {3}{2}}mn( l^{2}-m^{2})V_{dd\sigma }-mn[1+2(l^{2}-m^{2})]V_{dd\pi }+mn[1+( l^{2}-m^{2})/2]V_{dd\delta }$

$E_{zx,x^{2}-y ^{2}}={\frac {3}{2}}nl(l^{2}-m^{2})V_{dd\sigma }+nl[1-2(l^{2}-m ^{2})]V_{dd\pi}-nl[1-(l^{2}-m^{2})/2]V_{dd\delta }$

$E_{xy,3z^{2}-r^{2}}={\sqrt {3}}\left[lm(n^{2}-(l^{2}+m^{2} })/2)V_{dd\sigma }-2lmn^{2}V_{dd\pi}+[lm(1+n^{2})/2]V_{dd\delta }\right]$

$E_{yz,3z^{2}-r^{2}}={\sqrt {3}}\left[mn(n ^{2}-(l^{2}+m^{2})/2)V_{dd\sigma }+mn(l^{2}+m^{2}-n^{2})V_{ dd\pi }-[mn(l^{2}+m^{2})/2]V_{dd\delta }\right]$

$E_{zx,3z^{2}-r^{2}}={\sqrt {3}}\left[ln(n^{2}-(l^{2}+m^{ 2})/2)V_{dd\sigma }+ln(l^{2}+m^{2}-n^{2})V_{dd\pi }-[ln(l^{2}+m ^{2})/2]V_{dd\delta }\right]$

$E_{x^{2}-y^{ 2},x^{2}-y^{2}}={\frac {3}{4}}(l^{2}-m^{2})^{2}V_{dd\sigma}+ [l^{2}+m^{2}-(l^{2}-m^{2})^{2}]V_{dd\pi }+[n^{2}+(l^{2} }-m^{2})^{2}/4]V_{dd\delta }$

$E_{x^{2}-y^{2},3z^{2}-r^{2}}={\sqrt {3}}\left[(l^{2}-m ^{2})[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{dd\sigma }/2+n^{2}(m^{2}-l ^{2})V_{dd\pi }+[(1+n^{2})(l^{2}-m^{2})/4]V_{dd\delta }\right]$

$E_{3z^{2}-r^{2},3z^{2}-r^{2}}=[n^{2}-( l^{2}+m^{2})/2]^{2}V_{dd\sigma }+3n^{2}(l^{2}+m^{2})V_{dd\pi } +{\frac {3}{4}}(l^{2}+m^{2})^{2}V_{dd\delta }$

Alla interatomära matriselement är inte uppräknade explicit. Matriselement som inte är listade i denna tabell kan konstrueras genom permutation av index och cosinusriktningar för andra matriselement i tabellen. Observera att byte av orbitalindex motsvarar att ta $(l,m,n)\rightarrow (-l,-m,-n)$ , dvs $E_{\alpha ,\beta }(l,m,n)=E_{\beta ,\alpha }(-l,-m,-n)$ . Till exempel, $E_{x,s}=-lV_{sp\sigma }$ .

Se även

• Elektronisk bandstruktur
• Nästan fri elektronmodell
• Blochs satser
• Kronig-Penney modell
• Fermi yta
• Wannier funktion
• Hubbard modell
• tJ modell
• Effektiv massa
• Andersons regel
• Dynamisk teori om diffraktion
• Fasta tillståndets fysik
• Linjär kombination av atomorbitaler molecular orbital method (LCAO)
• Holstein–sillmetoden
• Peierls byte
• Hückel metod

• NW Ashcroft och ND Mermin, Solid State Physics (Thomson Learning, Toronto, 1976).
• Stephen Blundell Magnetism in Condensed Matter (Oxford, 2001).
• S. Maekawa et al. Fysik för övergångsmetalloxider (Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2004).
• John Singleton Band Theory and Electronic Properties of Solids (Oxford, 2001).

Vidare läsning

•   Walter Ashley Harrison (1989). Elektronisk struktur och fasta ämnens egenskaper . Dover Publikationer. ISBN 0-486-66021-4 .
• NW Ashcroft och ND Mermin (1976). Fasta tillståndets fysik . Toronto: Thomson Learning.
•   Davies, John H. (1998). Fysiken hos lågdimensionella halvledare: En introduktion . Cambridge, Storbritannien: Cambridge University Press. ISBN 0-521-48491-X .
•   Goringe, CM; Bowler, DR; Hernández, E (1997). "Tättbindande modellering av material". Rapporter om framsteg i fysik . 60 (12): 1447–1512. Bibcode : 1997RPPh...60.1447G . doi : 10.1088/0034-4885/60/12/001 . S2CID 250846071 .
• Slater, JC; Koster, GF (1954). "Förenklad LCAO-metod för det periodiska potentiella problemet". Fysisk granskning . 94 (6): 1498–1524. Bibcode : 1954PhRv...94.1498S . doi : 10.1103/PhysRev.94.1498 .

externa länkar

•   Crystal-field Theory, Tight-binding Method och Jahn-Teller Effect i E. Pavarini, E. Koch, F. Anders och M. Jarrell (red.): Correlated Electrons: From Models to Materials, Jülich 2012, ISBN 978 -3-89336-796-2
• Tight-Binding Studio : Ett tekniskt programpaket för att hitta parametrarna för Tight-Binding Hamiltonian