k·p störningsteori

I fasta tillståndets fysik är k ·p- perturbationsteorin en approximerad semi-empirisk metod för att beräkna bandstrukturen (särskilt effektiv massa ) och optiska egenskaper hos kristallina fasta ämnen. Det uttalas "k prick p", och kallas även " k·p -metoden". Denna teori har tillämpats specifikt inom ramen för Luttinger-Kohn-modellen (efter Joaquin Mazdak Luttinger och Walter Kohn ), och för Kane-modellen (efter Evan O. Kane ).

Bakgrund och härledning

Blochs sats och vågvektorer

Se även: Bloch-staten

Enligt kvantmekaniken (i singelelektronapproximationen ) kännetecknas de kvasifria elektronerna i alla fasta ämnen av vågfunktioner som är egentillstånd för följande stationära Schrödinger-ekvation :

$\left({\frac {p^{2}}{2m}}+V\right)\psi =E\psi$

där p är den kvantmekaniska momentumoperatorn , V är potentialen och m är elektronens vakuummassa. (Denna ekvation försummar spin-omloppseffekten ; se nedan.)

I ett kristallint fast ämne är V en periodisk funktion , med samma periodicitet som kristallgittret . Blochs teorem bevisar att lösningarna till denna differentialekvation kan skrivas på följande sätt:

$\psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf { k} \cdot \mathbf {x} }u_{n,\mathbf {k} }(\mathbf {x} )$

där k är en vektor (kallad vågvektor ), n är ett diskret index (kallat bandindex ), och u n , k är en med funktion _{samma periodicitet som} kristallgittret.

För varje givet n kallas de associerade tillstånden ett band . I varje band kommer det att finnas ett samband mellan vågvektorn k och energin för tillståndet E _{n , k} , kallat banddispersion . Att beräkna denna dispersion är en av de primära tillämpningarna av k · p störningsteori.

Perturbationsteori

Se även: Perturbationsteori (kvantmekanik)

Den periodiska funktionen u _{n , k} uppfyller följande ekvation av Schrödinger-typ (enkelt en direkt expansion av Schrödinger-ekvationen med en vågfunktion av Bloch-typ):

$H_{\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k} }u_{n ,\mathbf {k} }$

där Hamiltonian är

$H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{ \frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V$

Observera att k är en vektor som består av tre reella tal med dimensioner av invers längd , medan p är en vektor av operatorer; att vara tydlig,

$\mathbf {k} \cdot \mathbf {p } =k_{x}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}})+k_{y}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}})+ k_{z}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}})$

I alla fall skriver vi denna Hamiltonian som summan av två termer:

$H=H_{0}+H_{\mathbf {k} }',\;\;H_{0}={\frac {p^{2}}{2m}}+V,\;\;H_{\mathbf {k} }'={\frac {\hbar ^ {2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}$

₀ Detta uttryck är grunden för störningsteorin . Den "oberoende Hamiltonian" är H , som i själva verket är lika med den exakta Hamiltonianen vid k = 0 (dvs vid gammapunkten ). "Perturbationen" är termen $H_{\mathbf {k} }'$ . Analysen som resulterar kallas " k·p perturbation theory", på grund av termen proportionell mot k·p . Resultatet av denna analys är ett uttryck för E _{n , k} och u _{n , k} i termer av energier och vågfunktioner vid k = 0.

Observera att "störnings"-termen $H_{\mathbf {k} }'$ blir gradvis mindre när k närmar sig noll. Därför är k·p-störningsteorin mest exakt för små värden på k . Men om tillräckligt många termer ingår i den störande expansionen , så kan teorin faktiskt vara rimligt korrekt för vilket värde som helst av k i hela Brillouin-zonen .

Uttryck för ett icke degenererat band

För ett icke degenererat band (dvs ett band som har en annan energi vid k = 0 från något annat band), med ett extremum vid k = 0, och utan spin-omloppskoppling , är resultatet av k · p störningsteorin ( till lägsta icke-triviella ordning ):

$u_{n,\mathbf {k} }=u_{n,0}+{\frac {\hbar }{m}}\ summa _{n'\neq n}{\frac {\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle }{E_{n, 0}-E_{n',0}}}u_{n',0}$

$E_{n,\mathbf {k} }=E_{n,0}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}} +{\frac {\hbar ^{2}}{m^{2}}}\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \ cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle |^{2}}{E_{n,0}-E_{n',0}}}$

Eftersom k är en vektor av reella tal (snarare än en vektor med mer komplicerade linjära operatorer), kan matriselementet i dessa uttryck skrivas om som:

$\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle =\mathbf {k} \cdot \langle u_ {n,0}|\mathbf {p} |u_{n',0}\rangle$

Därför kan man beräkna energin vid vilken k som helst med endast ett fåtal okända parametrar, nämligen E _{n ,0} och $\langle u_{n,0}|\mathbf {p} |u_{n',0}\rangle$ . De senare kallas "optiska matriselement", nära besläktade med övergångsdipolmoment . Dessa parametrar härleds vanligtvis från experimentella data.

I praktiken inkluderar summan över n ofta bara det närmaste ett eller två band, eftersom dessa tenderar att vara de viktigaste (på grund av nämnaren). För förbättrad noggrannhet, särskilt vid större k , måste dock fler band inkluderas, såväl som fler termer i den störande expansionen än de som skrivs ovan.

Effektiv massa

Huvudartikel: Effektiv massa (fasta tillståndets fysik)

Genom att använda uttrycket ovan för energispridningsrelationen kan ett förenklat uttryck för den effektiva massan i ledningsbandet hos en halvledare hittas. För att approximera spridningsrelationen i fallet med ledningsbandet, ta energin E _n0 som den lägsta ledningsbandsenergin E _c0 och inkludera i summan endast termer med energier nära valensbandets maximum, där energiskillnaden i nämnaren är minst . (Dessa termer är de största bidragen till summeringen.) Denna nämnare approximeras sedan som bandgapet E _g , vilket leder till ett energiuttryck:

$E_{c}({\boldsymbol {k}})\approx E_{c0}+{\frac {(\hbar k)^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar ^ {2}}{{E_{g}}m^{2}}}\sum _{n}{|\langle u_{c,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{ n,0}\rangle |^{2}}$

Den effektiva massan i riktning ℓ är då:

${\frac {1}{{m}_{\ell }}}={{1} \over {\hbar ^{2}}}\summa _{m}\cdot {{ \partial ^{2}E_{c}({\boldsymbol {k}})} \över {\partial k_{\ell }\partial k_{m}}}\approx {\frac {1}{m}} +{\frac {2}{E_{g}m^{2}}}\sum _{m,\ n}{\langle u_{c,0}|p_{\ell }|u_{n,0} \rangle }{\langle u_{n,0}|p_{m}|u_{c,0}\rangle }$

Om man ignorerar detaljerna i matriselementen, är de viktigaste konsekvenserna att den effektiva massan varierar med det minsta bandgapet och går till noll när gapet går till noll. En användbar approximation för matriselementen i direktgap- halvledare är:

${\frac {2}{E_{g}m^{2}}}\sum _{m,\ n}{|\langle u_{c,0}| p_{\ell }|u_{n,0}\rangle |}{|\langle u_{c,0}|p_{m}|u_{n,0}\rangle |}\approx 20\mathrm {eV} {\frac {1}{mE_{g}}}\ ,$

vilket gäller inom cirka 15 % eller bättre för de flesta grupp-IV, III-V och II-VI halvledare.

I motsats till denna enkla approximation, i fallet med valensbandsenergi måste spin-omloppsinteraktionen införas (se nedan) och många fler band måste beaktas individuellt. Beräkningen tillhandahålls i Yu och Cardona . I valensbandet är de mobila bärarna hål . Man finner att det finns två typer av hål, benämnda tunga och lätta , med anisotropa massor.

k·p-modell med spin–omloppsinteraktion

Inklusive spin-omloppsinteraktionen är Schrödinger-ekvationen för u :

$H_{\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k} }u_{n ,\mathbf {k} }$

var

$H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar }{m}}\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} +{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V+{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}(\nabla V\times (\mathbf {p} +\ hbar \mathbf {k} ))\cdot {\vec {\sigma }}$

där ${\vec {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})$ är en vektor som består av de tre Pauli-matriserna . Denna Hamiltonian kan utsättas för samma typ av störningsteorianalys som ovan.

Beräkning i degenererat fall

För degenererade eller nästan degenererade band, i synnerhet valensbanden i vissa material som galliumarsenid , kan ekvationerna analyseras med metoderna för degenererad störningsteori . Modeller av denna typ inkluderar " Luttinger-Kohn-modellen " (aka "Kohn-Luttinger-modellen") och " Kane-modellen ".

I allmänhet introduceras en effektiv Hamiltonian $H^{\rm {eff}}$ , och till den första ordningen kan dess matriselement uttryckas som

$H_{\mathbf {k} ,mn}^{\rm {eff}}=\langle u_{m,0}|H_{0}|u_{n,0}\rangle +\ mathbf {k} \cdot \langle u_{m,0}|\nabla _{\mathbf {k} }H_{\mathbf {k} }'|u_{n,0}\rangle$

Efter att ha löst det erhålls vågfunktionerna och energibanden.

Se även

Elektronisk bandstruktur

• Elektronisk bandstruktur
• Nästan fria elektronmodell
• Kronig–Penney modell

Bandets egenskaper

• Bandgap
• Effektiv massa
• Täthet av stater
• Fermi yta

Vågfunktioner

• Wannier funktioner
• Blochs teorem

Grundläggande teori

• Kohn–Shams ekvationer
• Uppskattning av lokal densitet