GW approximation

GW - approximationen (GWA) är en approximation gjord för att beräkna självenergin hos ett elektronsystem med många kroppar . Approximationen är att expansionen av självenergin Σ i termer av den enskilda partikeln Greens funktion G och den skärmade Coulomb-interaktionen W (i enheter av $\hbar =1$ )

\Sigma =iGW-GWGWG+\cdots

kan trunkeras efter den första termen:

\Sigma \approx iGW

Med andra ord, självenergin expanderas i en formell Taylor-serie i potenser av den skärmade interaktionen W och den lägsta ordningens term behålls i expansionen i GWA.

Teori

Ovanstående formler är schematiska till sin natur och visar den övergripande idén om approximationen. Mer exakt, om vi märker en elektronkoordinat med dess position, spin och tid och buntar ihop alla tre till ett sammansatt index (siffrorna 1, 2, etc.), har vi

\Sigma (1,2)=iG(1,2)W(1^{+},2)-\int d3\int d4\,G(1,3)G(3,4)G( 4,2)W(1,4)W(3,2)+...

där "+" upphöjd betyder att tidsindexet förskjuts framåt med ett oändligt litet belopp. GWA är då

\Sigma (1,2)\approx iG(1,2)W(1^{+},2)

För att sätta detta i sitt sammanhang, om man ersätter W med den nakna Coulomb-interaktionen (dvs. den vanliga 1/r-interaktionen), genererar man standardserien för störande rörelser för den självenergi som finns i de flesta läroböcker med många kroppar. GWA med W ersatt av den kala Coulomb ger inget annat än Hartree-Fock- utbytespotentialen (självenergi). Därför, löst uttryckt, representerar GWA en typ av dynamiskt screenad Hartree-Fock självenergi.

I ett solid state-system bör serien för självenergin i termer av W konvergera mycket snabbare än den traditionella serien i den nakna Coulomb-interaktionen. Detta beror på att avskärmningen av mediet minskar den effektiva styrkan hos Coulomb-interaktionen: om man till exempel placerar en elektron i någon position i ett material och frågar vad potentialen är vid någon annan position i materialet, är värdet mindre än ges av den nakna Coulomb-interaktionen (omvänt avstånd mellan punkterna) eftersom de andra elektronerna i mediet polariserar (flyttar eller förvränger sina elektroniska tillstånd) för att avskärma det elektriska fältet. Därför W en mindre kvantitet än den blotta Coulomb-interaktionen så att en serie i W bör ha högre förhoppningar om att konvergera snabbt.

För att se den snabbare konvergensen kan vi överväga det enklaste exemplet som involverar den homogena eller likformiga elektrongasen som kännetecknas av en elektrondensitet eller ekvivalent den genomsnittliga elektron-elektronseparationen eller Wigner–Seitz radie $r_{s}$ . (Vi presenterar bara ett skalningsargument och kommer inte att beräkna numeriska prefaktorer som är ordningsenhet.) Här är de viktigaste stegen:

Den kinetiska energin för en elektron skalar till $1/r_{s}^{2}$
Den genomsnittliga elektron-elektronrepulsionen från den nakna ( oskärmade ) Coulomb-interaktionen skalar som $1/r_{s}$ (helt enkelt inversen av den typiska separationen)
Elektrongasens dielektriska funktion i den enklaste Thomas–Fermi-screeningsmodellen för en vågvektor $q$ är

\epsilon (q)=1+\lambda ^{2}/q^{2}

där $\lambda$ är screeningvågstalet som skalas som $r_{s}^{-1/2}$

Typiska vågvektorer $q$ skalar som $1/r_{s}$ (återigen typisk invers separation)
Därför är ett typiskt screeningvärde $\epsilon \sim 1+r_{s}$
Den skärmade Coulomb-interaktionen är $W(q)=V(q)/\epsilon (q)$

För den blotta Coulomb-interaktionen är alltså förhållandet mellan Coulomb och kinetisk energi av ordningen $r_{s}$ som är av ordningen 2-5 för en typisk metall och inte alls liten: med andra ord, den blotta Coulomb-interaktionen är ganska stark och ger en dålig störande expansion. Å andra sidan reduceras förhållandet mellan en typisk $W$ och den kinetiska energin avsevärt av screeningen och är av storleksordningen $r_{s}/(1+ r_{s})$ som är väluppförd och mindre än enhet även för stora $r_{s}$ : den skärmade interaktionen är mycket svagare och är mer sannolikt att ge en snabbt konvergerande störande serie.

Programvara som implementerar GW-approximationen

ABINIT - planvågs pseudopotentialmetod
BerkeleyGW - planvågs pseudopotentialmetod
CP2K - Gauss-baserad lågskalande allelektron- och pseudopotentialmetod
ELK - metod med full potential (linjäriserad) förstärkt planvåg (FP-LAPW)
FHI-aims - numeriska atomcentrerade orbitalermetod
Fiesta - Gaussisk helelektronmetod
GAP - en helelektron GW- kod baserad på förstärkta planvågor, för närvarande ansluten till WIEN2k
GPAW
Molgw - liten gaussisk grundkod
PySCF
Quantum ESPRESSO - Wannier-funktion pseudopotential metod
Questaal - Full Potential (FP-LMTO) metod
SaX Arkiverad 2009-02-03 på Wayback Machine - planvågs pseudopotentialmetod
Spex - metod med full potential (linjäriserad) förstärkt planvåg (FP-LAPW)
TURBOMOLE - Gaussisk helelektronmetod
VASP - projektor-augmented-wave (PAW) metod
Väst - storskalig GW
YAMBO-kod - planvågs-pseudopotentialmetod

Källor

De viktigaste publikationerna om tillämpningen av GW -approximationen Arkiverad 2019-02-04 på Wayback Machine
Bild på Lars Hedin, uppfinnare av GW
GW100 - Benchmarking av GW -metoden för molekyler.

^ Hedin, Lars (1965). "Ny metod för att beräkna en-partikelgröns funktion med tillämpning på elektron-gasproblemet" . Phys. Rev. _ 139 (3A): A796–A823. Bibcode : 1965PhRv..139..796H . doi : 10.1103/PhysRev.139.A796 . S2CID 73720887 .
^ Aulbur, Wilfried G.; Jönsson, Lars; Wilkins, John W. (2000). "Kvasipartikelberäkningar i fasta ämnen". Fasta tillståndets fysik . 54 : 1–218. doi : 10.1016/S0081-1947(08)60248-9 . ISBN 9780126077544 . ISSN 0081-1947 .
^ Aryasetiawan, F; Gunnarsson, O (1998). " GW -metoden". Rapporter om framsteg i fysik . 61 (3): 237–312. arXiv : cond-mat/9712013 . Bibcode : 1998RPPh...61..237A . doi : 10.1088/0034-4885/61/3/002 . ISSN 0034-4885 . S2CID 119000468 .

Vidare läsning

Electron Correlation in the Solid State, Norman H. March (redaktör), World Scientific Publishing Company
Aryasetiawan, Ferdi. "Korrelationseffekter i fasta ämnen från första principer" ( PDF) . {{ citera journal }} : Citera journal kräver |journal= ( hjälp )

[Hedin65-1] Hedin, Lars (1965). "Ny metod för att beräkna en-partikelgröns funktion med tillämpning på elektron-gasproblemet" . Phys. Rev. _ 139 (3A): A796–A823. Bibcode : 1965PhRv..139..796H . doi : 10.1103/PhysRev.139.A796 . S2CID 73720887 .

[AulburJönsson2000-2] Aulbur, Wilfried G.; Jönsson, Lars; Wilkins, John W. (2000). "Kvasipartikelberäkningar i fasta ämnen". Fasta tillståndets fysik . 54 : 1–218. doi : 10.1016/S0081-1947(08)60248-9 . ISBN 9780126077544 . ISSN 0081-1947 .

[AryasetiawanGunnarsson1998-3] Aryasetiawan, F; Gunnarsson, O (1998). " GW -metoden". Rapporter om framsteg i fysik . 61 (3): 237–312. arXiv : cond-mat/9712013 . Bibcode : 1998RPPh...61..237A . doi : 10.1088/0034-4885/61/3/002 . ISSN 0034-4885 . S2CID 119000468 .