Storleksteori

I matematik studerar storleksteori egenskaperna hos topologiska utrymmen utrustade med $\mathbb {R} ^{k}$ -värderade funktioner , med avseende på förändringen av dessa funktioner. Mer formellt är ämnet för storleksteori studiet av det naturliga pseudavståndet mellan storlekspar . En undersökning av storleksteori finns i .

Historik och applikationer

Början av storleksteorin har sina rötter i begreppet storleksfunktion , introducerat av Frosini. Storleksfunktioner har ursprungligen använts som ett matematiskt verktyg för formjämförelse i datorseende och mönsterigenkänning .

En utvidgning av begreppet storleksfunktion till algebraisk topologi gjordes i Size homotopy groups för beräkning av naturliga storleksavstånd , där storlekshomotopigrupper introducerades, tillsammans med den naturliga pseudodistansen för $\mathbb {R} ^{k }$ -värderade funktioner. En utökning av homologiteorin (storleksfunktorn ) introducerades i . Storlekshomotopigruppen och storleksfunktionen är strikt relaterade till begreppet persistent homologigrupp, studerad i persistent homologi . Det är värt att påpeka att storleksfunktionen är rangen för den $0$ -e persistenta homologigruppen, medan relationen mellan den persistenta homologigruppen och storlekshomotopigruppen är analog med den som existerar mellan homologigrupper och homotopi grupper .

I storleksteorin ses storleksfunktioner och storlekshomotopigrupper som verktyg för att beräkna nedre gränser för den naturliga pseuddistansen . Egentligen finns följande länk mellan värdena som tas av storleksfunktionerna $\ell _{(N,\psi )}({\bar {x}}, {\bar {y}})$ , $\ell _{(M,\varphi )}({\tilde {x}},{\tilde { y}})$ och den naturliga pseuddistansen $d((M,\varphi ),(N,\psi ))$ mellan storleksparen $(M,\varphi ),\ (N,\psi )$ ,

${\text{If }}\ell _{(N,\psi )}({\bar {x}},{\bar {y}})>\ell _{(M,\varphi )} ({\tilde {x}},{\tilde {y}}){\text{ sedan }}d((M,\varphi ),(N,\psi ))\geq \min\{{\tilde { x}}-{\bar {x}},{\bar {y}}-{\tilde {y}}\}.$

Ett analogt resultat gäller för storlekshomotopigruppen .

Försöket att generalisera storleksteorin och begreppet naturlig pseudavstånd till normer som skiljer sig från den högsta normen har lett till studier av andra omparametriseringsinvarianta normer.

Se även

• Storleksfunktion
• Naturlig pseuddistans
• Storleksfunktion
• Storlekshomotopigrupp
• Storlekspar
• Matchande avstånd