Storleksfunktion

Storleksfunktioner är formdeskriptorer, i geometrisk/topologisk mening. De är funktioner från halvplanet $x<y$ till de naturliga talen, som räknar vissa anslutna komponenter i ett topologiskt utrymme . De används i mönsterigenkänning och topologi .

Formell definition

I storleksteorin är storleksfunktionen ℓ $\displaystyle \ell _{(M,\varphi )}:\Delta ^{+}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x<y\}\to \mathbb {N} } associerade$ med storleksparet $(M,\varphi :M\to \mathbb {R} )$ definieras på följande sätt. För varje $(x,y)\in \Delta ^{+}$ , $\ell _{(M,\ varphi )}(x,y)$ är lika med antalet anslutna komponenter i mängden $\{p\in M:\varphi (p)\leq y \}$ som innehåller minst en punkt där mätfunktionen ( en kontinuerlig funktion från ett topologiskt utrymme $M$ till $\mathbb {R} ^{k}$ ) $\ varphi$ tar ett värde som är mindre än eller lika med $x$ . Begreppet storleksfunktion kan enkelt utvidgas till fallet med en mätfunktion ${\displaystyle \varphi :M\to \mathbb {R} ^{k}} ,$ där $\mathbb {R} ^{k}$ är utrustad med den vanliga delordningen . En undersökning om storleksfunktioner (och storleksteori ) finns i.

Ett exempel på storleksfunktion. (A) Ett storlekspar ${\displaystyle (M,\varphi :M\to \mathbb {R} )} ,$ där $M$ är den blå kurvan och $\varphi :M\to \mathbb {R}$ är höjdfunktionen. (B) Mängden $\{p\in M:\varphi (p)\leq b\}$ är avbildad i grönt. (C) Uppsättningen punkter där mätfunktionen $\varphi$ tar ett värde som är mindre än eller lika med ${\displaystyle a} ,$ det vill säga ${ \displaystyle \{p\in M:\varphi (p)\leq a\}}$ , avbildas i rött. (D) Två sammankopplade komponenter i mängden $\{p\in M:\varphi (p)\leq b\}$ innehåller minst en punkt i ${\displaystyle \{p\in M:\varphi (p)\leq a\}} , det vill säga minst$ en punkt där mätfunktionen φ $\displaystyle \varphi }$ tar ett värde som är mindre än eller lika med $a$ . (E) Värdet på storleksfunktionen $\ell _{(M,\varphi )}$ i punkten $(a,b)$ är lika med $2$ .

Historik och applikationer

Storleksfunktioner introducerades i det speciella fallet $M$ lika med det topologiska utrymmet för alla bitvis $C^{1}$ stängda banor i en $C^{\infty }$ stängt grenrör inbäddat i ett euklidiskt utrymme. Här induceras topologin på ${\displaystyle M} av$$C^{0}$ -normen, medan mätfunktionen $\varphi$ tar varje väg $\gamma \ i M$ till dess längd. I fallet med $M$ lika med det topologiska rummet för alla ordnade $k$ -tupler av punkter i en undergren av ett euklidiskt rum. Här induceras topologin på ${\displaystyle M} av metriken$$d((P_{1},\ldots,P_{k}),(Q_{1}\ldots,Q_{k}))=\max _{1\leq i\leq k}\|P_ {i}-Q_{i}\|$ .

En utvidgning av begreppet storleksfunktion till algebraisk topologi gjordes där begreppet storlekshomotopigrupp introducerades. Här mätfunktioner som tar värden i $\mathbb {R} ^{k}$ tillåtna. En utökning av homologiteorin (storleksfunktorn ) introducerades i . Begreppen storlekshomotopigrupp och storleksfunktion är strikt relaterade till begreppet persistent homologigrupp som studerats i persistent homologi . Det är värt att påpeka att storleksfunktionen är rangen för den $0$ -e persistenta homologigruppen, medan relationen mellan den persistenta homologigruppen och storlekshomotopigruppen är analog med den som existerar mellan homologigrupper och homotopi grupper .

Storleksfunktioner har initialt introducerats som ett matematiskt verktyg för formjämförelse i datorseende och mönsterigenkänning , och har utgjort fröet till storleksteorin . Huvudpoängen är att storleksfunktioner är invarianta för varje transformation som bevarar mätfunktionen . Därför kan de anpassas till många olika applikationer, genom att helt enkelt ändra mätfunktionen för att få den önskade invariansen. Dessutom visar storleksfunktioner egenskaper hos relativ motstånd mot brus, beroende på att de fördelar informationen över hela halvplanet $\Delta ^{+}$ .

Huvudegenskaper

Antag att $M$ är ett kompakt lokalt anslutet Hausdorff-utrymme . Följande uttalanden gäller:

• varje storleksfunktion $\ell _{(M,\varphi )}(x,y)$ är en icke-minskande funktion i variabeln $x$ och en icke-ökande funktion i variabeln $y$ .
• varje storleksfunktion $\ell _{(M,\varphi )}(x,y)$ är lokalt högerkonstant i båda dess variabler.
• för varje $x<y$ , $är {\displaystyle \ell _{(M,\varphi )}(x,y)}$ ändlig.
• för varje $x<\min \varphi$ och varje $y>x$ , $\ell _{(M ,\varphi )}(x,y)=0$ .
• för varje $y\geq \max \varphi$ och varje $x<y$ , $\ell _{(M ,\varphi )}(x,y)$ är lika med antalet anslutna komponenter i $M$ där minimivärdet på $\varphi$ är mindre än eller lika med $x$ .

Om vi ​​också antar att $M$ är ett jämnt slutet grenrör och $\varphi$ är en $C^{1}$ -funktion, gäller följande användbara egenskap:

• för att $(x,y)$ är en diskontinuitetspunkt för $\ell _{(M,\varphi )}$ är det nödvändigt att antingen ${ \displaystyle x}$ eller $y$ eller båda är kritiska värden för $\varphi$ .

En stark koppling mellan begreppet storleksfunktion och begreppet naturlig pseuddistans $d((M,\varphi ),(N,\psi ))$ mellan storleksparen $(M,\varphi ),\ (N,\psi )$ finns.

• om $\ell _{(N,\psi )}({\bar {x}} ,{\bar {y}})>\ell _{(M,\varphi )}({\tilde {x}},{\tilde {y}})$ sedan $d((M,\varphi ),(N,\psi ))\geq \min\{{\tilde {x} }-{\bar {x}},{\bar {y}}-{\tilde {y}}\}$ .

Det tidigare resultatet ger ett enkelt sätt att få lägre gränser för den naturliga pseuddistansen och är en av huvudmotivationerna för att introducera begreppet storleksfunktion.

Representation genom formella serier

I . Punkterna (kallade hörnpunkter ) och linjerna (kallade hörnlinjer ) i sådana formella serier kodar informationen om diskontinuiteter för motsvarande storleksfunktioner, medan deras multipliciteter innehåller informationen om de värden som storleksfunktionen tar.

Formellt:

• hörnpunkter definieras som de punkter $p=(x,y)$ , med $x<y$ , så att talet

$\mu (p){\stackrel {\rm {def}}{=}}\min _{\alpha >0,\ beta >0}\ell _{({M},\varphi )}(x+\alpha ,y-\beta )-\ell _{({M},\varphi )}(x+\alpha ,y+\beta ) -\ell _{({M},\varphi )}(x-\alpha ,y-\beta )+\ell _{({M},\varphi )}(x-\alpha ,y+\beta )$

är positivt. Talet $\mu (p)$ sägs vara multipliciteten av $p$ .

• hörnlinjer och definieras som dessa linjer $r:x=k$ så att

$\mu (r){\stackrel {\rm {def}}{=}}\min _{\alpha >0 ,k+\alpha <y}\ell _{({M},\varphi )}(k+\alpha ,y)-\ell _{({M},\varphi )}(k-\alpha ,y)> 0.$

Talet $\mu (r)$ är sorgligt att vara multipliciteten av r $\displaystyle r}$ .

• Representationssats : För varje ${\bar {x}}<{\bar {y}}$ gäller den

$\ell _{({M},\varphi )}({ \bar {x}},{\bar {y}})=\summa _{p=(x,y) \atop x\leq {\bar {x}},y>{\bar {y}}} \mu {\big (}p{\big )}+\sum _{r:x=k \atop k\leq {\bar {x}}}\mu {\big (}r{\big )}$ .

Denna representation innehåller samma mängd information om formen som studeras som den ursprungliga storleksfunktionen, men är mycket mer koncis.

Denna algebraiska inställning till storleksfunktioner leder till definitionen av nya likhetsmått mellan former, genom att översätta problemet med att jämföra storleksfunktioner till problemet med att jämföra formella serier. Det mest studerade av dessa mått mellan storleksfunktioner är matchningsavståndet .

Se även

• Storleksteori
• Naturlig pseuddistans
• Storleksfunktion
• Storlekshomotopigrupp
• Storlekspar
• Matchande avstånd
• Topologisk dataanalys