Storlekshomotopigrupp

Begreppet storlekshomotopigrupp är analogt i storleksteorin till det klassiska begreppet homotopigrupp . För att ge dess definition, låt oss anta att ett storlekspar $(M,\varphi )$ ges, där $M$ är ett slutet grenrör av klass $C ^{0}\$ och $\varphi :M\to \mathbb {R} ^{k}$ är en kontinuerlig funktion . Betrakta den lexikografiska ordningen $\preceq$ på $\mathbb {R} ^{k}$ definierad av inställningen ${ \displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{k})\preceq (y_{1},\ldots,y_{k})\ } om och endast$ om $x_{1}\leq y_{1},\ldots ,x_{k}\leq y_{k}$ . För varje $Y\in \mathbb {R} ^{k}$ sätts $M_{Y}=\{Z\in \ mathbb {R} ^{k}:Z\preceq Y\}$ .

Antag att $P\in M_{X}\$ och $X\preceq Y\$ . Om $\alpha \$ , $\beta \$ är två vägar från $P\$ till $P\$ och en homotopi från $\alpha \$ till $\beta \$ , baserat på $P\$ , finns i det topologiska rummet $M_{Y}\$ , då skriver vi $\alpha \approx _{Y}\beta \$ . Den första storlekshomotopigruppen i storleksparet $(M,\varphi )\$ beräknad vid $(X,Y)\$ definieras som kvotmängden av mängden av alla vägar från $P\$ till $P\$ i $M_{X}\$ med avseende på ekvivalensrelationen $\approx _{Y} \$ , utrustad med operationen inducerad av den vanliga sammansättningen av baserade loopar .

Med andra ord, den första storlekshomotopigruppen i storleksparet $(M,\varphi )\$ beräknad vid $(X,Y)\$ och ${\ displaystyle P\ }$ är bilden $h_{XY}(\pi _{1}(M_{X},P))\$ av den första homotopigruppen $\pi _{1}(M_{X},P)\$ med baspunkt $P\$ för det topologiska rummet $M_{X} \$ , när $h_{XY}\$ är homomorfismen som induceras av inkluderingen av $M_{X}\$ i $M_{Y}\$ .

Den $n$ -th size homotopigruppen erhålls genom att ersätta slingorna baserade på $P\$ med de kontinuerliga funktionerna $\alpha :S^{n}\to M\$ tar en fast punkt av $S^{n}\$ till $P\$ , vilket händer när högre homotopigrupper definieras.

Se även

• Storleksfunktion
• Storleksfunktion
• Storlekspar
• Naturlig pseuddistans