Thaines sats

Inom matematiken är Thaines sats en analog till Stickelbergers sats för verkliga abelska fält, introducerad av Thaine ( 1988 ). Thaines metod har använts för att förkorta beviset för Mazur-Wiles-satsen ( Washington 1997 ), för att bevisa att vissa Tate-Shafarevich-grupper är ändliga och i beviset för Mihăilescus sats ( Schoof 2008 ).

Formulering

Låt $p$ och $q$ vara distinkta udda primtal med $q$ som inte delar $p-1$ . Låt $G^{+}$ vara Galois-gruppen av $F=\mathbb {Q} (\zeta _{p}^{+})$ över $\mathbb {Q}$ , låt $E$ vara dess grupp av enheter, låt $C$ vara undergruppen av cyklotomiska enheter, och låt $Cl^{+}$ vara dess klassgrupp. Om $\theta \in \mathbb {Z} [G^{+}]$ utplånar $E/CE^{q}$ så förintar det $Cl^{+}/Cl^{+q$ .

•    Schoof, René (2008), Catalan's conjecture , Universitext, London: Springer-Verlag London, Ltd., ISBN 978-1-84800-184-8 , MR 2459823 Se särskilt kapitel 14 (s. 91–94) för användningen av Thaines sats för att bevisa Mihăilescus sats , och kapitel 16 "Thaines sats" (s. 107–115) för bevis på ett specialfall av Thaines sats.
•    Thaine, Francisco (1988), "On the ideal class groups of real abelian number fields" , Annals of Mathematics , 2nd ser., 128 (1): 1–18, doi : 10.2307/1971460 , JSTOR 1971460 , MR 5 095150
•    Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to Cyclotomic Fields , Graduate Texts in Mathematics, vol. 83 (2nd ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94762-0 , MR 1421575 Se särskilt kapitel 15 ( sid. 332–372 ) för Thaines teorem (avsnitt 15.2) och dess tillämpning på Mazur – Wiles sats .