Gauss summa

Ej att förväxla med Triangular Number § Formel .

I algebraisk talteori är en Gauss summa eller Gaussisk summa en viss typ av ändlig summa av enhetsrötter, vanligtvis

$G(\chi ):=G(\chi ,\psi )=\summa \chi (r)\ cdot \psi (r)$

där summan är över elementen r i någon ändlig kommutativ ring R , ψ är en grupphomomorfism av den additiva gruppen R ⁺ in i enhetscirkeln och χ är en grupphomomorfism av enhetsgruppen R ^× in i enhetscirkeln, utsträckt till icke -enhet r , där den tar värdet 0. Gausssummor är analogerna för ändliga fält av gammafunktionen .

Sådana summor är allestädes närvarande i talteorin . De förekommer till exempel i de funktionella ekvationerna för Dirichlet L -funktioner , där för ett Dirichlet-tecken χ ekvationen som relaterar L ( s , χ ) och L (1 − s , χ ) (där χ är det komplexa konjugatet av χ ) involverar en faktor

${\frac {G(\chi )}{|G(\chi)|}}.$

Historia

Det fall som ursprungligen övervägdes av Carl Friedrich Gauss var den kvadratiska Gauss summan , för R fältet av rester modulo ett primtal p , och χ Legendre -symbolen . I detta fall bevisade Gauss att G ( χ ) = p ^{1 ⁄ 2} eller ip ^{1 ⁄ 2} för p kongruent med 1 respektive 3 modulo 4 (den kvadratiska Gauss summan kan också utvärderas genom Fourier-analys såväl som genom konturintegration ).

En alternativ form för denna Gauss summa är:

$\sum e^{2\pi ir^{2}/p}$

Kvadratiska Gauss summor är nära förbundna med teorin om theta funktioner .

Den allmänna teorin om Gauss summor utvecklades i början av 1800-talet, med användningen av Jacobis summor och deras främsta nedbrytning i cyklotomiska fält . Gausssummor över en restring av heltal mod N är linjära kombinationer av närbesläktade summor som kallas Gaussperioder .

Det absoluta värdet av Gauss summor finns vanligtvis som en tillämpning av Plancherels sats på ändliga grupper. I fallet där R är ett fält av p element och χ är icke-trivialt, är det absoluta värdet p ^{1 ⁄ 2} . Bestämningen av det exakta värdet av allmänna Gauss-summor, efter resultatet av Gauss på kvadratiska fallet, är en långvarig fråga. För vissa fall se Kummer summa .

Egenskaper för Gauss summor av Dirichlet-karaktärer

Gausssumman av ett Dirichlet-tecken modulo N är

$G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{2\pi ia/N}.$

Om χ också är primitiv , då

$|G(\chi )|={\sqrt {N}},$

i synnerhet är det icke-noll. Mer allmänt, om N ₀ är ledaren av χ och χ ₀ är det primitiva Dirichlet-tecknet modulo N ₀ som inducerar χ , så är Gausssumman av χ relaterad till den för χ ₀ med

$G(\chi )=\mu \left({\frac {N}{N_{0}}}\right)\ chi _{0}\left({\frac {N}{N_{0}}}\right)G\left(\chi _{0}\right)$

där μ är Möbius-funktionen . Följaktligen G ( χ ) icke-noll exakt när N / N ₀ är kvadratfritt och relativt primtal till N ₀ .

Andra relationer mellan G ( χ ) och Gauss summor av andra tecken inkluderar

$G({\overline {\chi }})=\chi (-1){\overline {G(\chi )}},$

där χ är det komplexa konjugerade Dirichlet-teckenet, och om χ ′ är ett Dirichlet-tecken modulo N ′ så att N och N ′ är relativt primtal, då

$G\left(\chi \chi ^{\prime }\right)=\chi \left(N^{\prime }\right)\chi ^{\prime }(N)G(\chi )G \left(\chi ^{\prime }\right).$

Relationen mellan G ( χχ ′ ) , G ( χ ) , och G ( χ ′) när χ och χ ′ har samma modul (och χχ ′ är primitiv) mäts med Jacobisumman J ( χ , χ ′) . Specifikt,

$G\left(\chi \chi ^{\prime }\right)={\frac {G(\chi)G\left(\chi ^{\prime}\right)}{J\left(\ chi ,\chi ^{\prime }\right)}}.$

Ytterligare fastigheter

• Gauss summor kan användas för att bevisa kvadratisk reciprocitet , kubisk reciprocitet och kvarts reciprocitet
• Gausssummor kan användas för att beräkna antalet lösningar av polynomekvationer över ändliga fält, och kan därför användas för att beräkna vissa zetafunktioner

Se även

• Chowla–Mordells teorem
• Elliptisk Gauss summa
• Gaussisk period
• Hasse–Davenport relation
• Jacobi summa
• Stickelbergers sats
• Kvadratisk Gauss summa
• Kummer summa

•     Apostol, Tom M. (1976), Introduktion till analytisk talteori , Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , MR 0434929 , Zbl 03135.1000
•    Berndt, BC ; Evans, RJ; Williams, KS (1998). Gauss och Jacobi Sums . Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts. Wiley. ISBN 0-471-12807-4 . Zbl 0906.11001 .
•    Irland, Kenneth; Rosen, Michael (1990). En klassisk introduktion till modern talteori . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 84 (andra upplagan). Springer-Verlag . ISBN 0-387-97329-X . Zbl 0712.11001 .
• Avsnitt 3.4 i     Iwaniec, Henryk ; Kowalski, Emmanuel (2004), Analytisk talteori , American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 53, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3633-0 , MR 2061214 , Zbl 1059.11001