Gross–Koblitz formel

Inom matematik uttrycker Gross -Koblitz-formeln , introducerad av Gross och Koblitz ( 1979 ), en Gausssumma med hjälp av en produkt av värden för den p-adiska gammafunktionen . Det är en analog av Chowla–Selberg-formeln för den vanliga gammafunktionen. Det antyder Hasse-Davenport-relationen och generaliserar Stickelberger-satsen . Boyarsky (1980) gav ytterligare ett bevis på Gross-Koblitz-formeln (Boyarski är en pseudonym för Bernard Dwork ), och Robert (2001) gav ett elementärt bevis.

Påstående

Gross–Koblitz-formeln anger att Gausssumman τ kan ges i termer av den p -adiska gammafunktionen Γ _p av

$\tau _{q}(r)=-\pi ^{s_{p }(r)}\prod _{0\leq i<f}\Gamma _{p}\left({\frac {r^{(i)}}{q-1}}\right)$

var

• q är en potens p ^f av ett primtal p
• r är ett heltal med 0 ≤ r < q–1
• r ⁽ⁱ⁾ är heltal vars bas p- expansion är en cyklisk permutation av f- siffrorna i r med i - positioner
• s _p ( r ) är summan av siffrorna i r i basen p
• ${\displaystyle \tau _{q}(r)=\summa _{a^{q-1}=1}a ^{-r}\zeta _{\pi }^{{\text{Tr}}}(a)}} , där summan är över rötterna av$ 1 i tillägget Q _p (π)
• π uppfyller π ^{p – 1} = – p
• ζ _π är den p :te roten av 1 kongruent med 1+π mod π ²

•     Boyarsky, Maurizio (1980), "p-adic gamma functions and Dwork cohomology", Transactions of the American Mathematical Society , 257 (2): 359–369, doi : 10.2307/1998301 , ISSN 0002-9947 9 , JSTOR 30119 , JSTOR 36019 , 8MR 3011 5
•    Cohen, Henri (2007). Talteori – Volym II: Analytiska och moderna verktyg . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 240. Springer-Verlag . s. 383–395. ISBN 978-0-387-49893-5 . Zbl 1119.11002 .
•     Gross, Benedict H.; Koblitz, Neal (1979), "Gauss sums and the p-adic Γ-function", Annals of Mathematics , Second Series, 109 (3): 569–581, doi : 10.2307 /1971226 , ISSN 0003-486X , JSTOR 7122 7122 MR 0534763
•    Robert, Alain M. (2001), "The Gross-Koblitz formula revisited" , Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova. The Mathematical Journal of University of Padova , 105 : 157–170, ISSN 0041-8994 , MR 1834987