Singular integraloperatorer av faltningstyp

I matematik är singulära integraloperatorer av faltningstyp de singulära integraloperatorer som uppstår på R ⁿ och T ⁿ genom faltning genom distributioner ; likaså är de de singulära integraloperatorerna som pendlar med översättningar. De klassiska exemplen inom harmonisk analys är den harmoniska konjugationsoperatorn på cirkeln, Hilbert-transformen på cirkeln och den reella linjen, Beurling-transformen i det komplexa planet och Riesz-transformerna i det euklidiska rummet. Kontinuiteten för dessa operatorer på L ² är uppenbar eftersom Fouriertransformen omvandlar dem till multiplikationsoperatorer . Kontinuitet på L ^p -utrymmen etablerades först av Marcel Riesz . De klassiska teknikerna inkluderar användningen av Poisson-integraler , interpolationsteori och Hardy-Littlewood-maximalfunktionen . För mer allmänna operatörer utvecklades grundläggande nya tekniker, som introducerades av Alberto Calderón och Antoni Zygmund 1952, av ett antal författare för att ge allmänna kriterier för kontinuitet på L ^p -utrymmen. Den här artikeln förklarar teorin för de klassiska operatorerna och skisserar den efterföljande allmänna teorin.

L ² teori

Hilbert förvandla på cirkeln

Se även: Harmoniskt konjugat

Teorin för L ² funktioner är särskilt enkel på cirkeln. Om f ∈ L ² ( T ), så har den en Fourier-serieexpansion

$$f(\theta )=\sum _{n\in \mathbf {Z} }a_{n}e^{in\theta }.$$

Hardy space H ² ( T ) består av de funktioner för vilka de negativa koefficienterna försvinner, a _n = 0 för n < 0. Det är just de kvadratintegrerbara funktionerna som uppstår som gränsvärden för holomorfa funktioner i den öppna enhetsskivan. Faktum är f är gränsvärdet för funktionen

$$F(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n},$$

i den meningen att funktionerna

$$f_{r}(\theta )=F(re^{i\theta }),$$

definieras av begränsningen av F till de koncentriska cirklarna | z | = r , tillfredsställa

$$\|f_{r}-f\|_{2}\högerpil 0.$$

Den ortogonala projektionen P av L ² ( T ) på H ² ( T ) kallas Szegő - projektionen . Det är en begränsad operator på L ² ( T ) med operatornorm 1. Enligt Cauchys teorem

$$F(z)={1 \over 2\pi i}\int _{|\zeta |=1}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta ={1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }{f(\theta ) \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\theta .$$

Således

$$F(re^{i\varphi })={1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }{f(\varphi -\theta ) \over 1-re^ {i\theta }}\,d\theta .$$

När r = 1 har integranden på höger sida en singularitet vid θ = 0. Den trunkerade Hilberttransformen definieras av

$$H_{\varepsilon }f(\varphi )={i \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |\theta |\leq \ pi }{f(\varphi -\theta ) \over 1-e^{i\theta }}\,d\theta ={1 \over \pi}\int _{|\zeta -e^{i\varphi }|\geq \delta }{f(\zeta ) \over \zeta -e^{i\varphi }}\,d\zeta ,$$

där δ = |1 – e ^iε |. Eftersom den definieras som faltning med en begränsad funktion är den en begränsad operator på L ² ( T ). Nu

$$H_{\varepsilon }{1}={i \over \pi }\int _{\varepsilon }^{\pi }2\Re (1-e^{i\theta })^{-1} \,d\theta ={i \over \pi }\int _{\varepsilon }^{\pi }1\,d\theta =i-{i\varepsilon \over \pi }.$$

Om f är ett polynom i z då

$$H_{\varepsilon }f(z)-{i(1-\varepsilon ) \over \pi }f(z)={1 \over \pi i}\int _{|\zeta -z|\ geq \delta }{f(\zeta )-f(z) \over \zeta -z}\,d\zeta .$$

Enligt Cauchys sats tenderar den högra sidan till 0 jämnt som ε , och därför tenderar δ , till 0. Så

$$H_{\varepsilon }f\rightarrow if$$

enhetligt för polynom. Å andra sidan, om u ( z ) = z är det omedelbart att

$${\overline {H_{\varepsilon }f}}=-u^{-1}H_{\varepsilon }(u{\overline {f}}).$$

Alltså om f är ett polynom i z ⁻¹ utan konstant term

$H_{\varepsilon }f\rightarrow -if$ enhetligt.

Definiera Hilbert-transformen på cirkeln med

$$H=i(2P-I).$$

Alltså om f är ett trigonometriskt polynom

$H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf$ enhetligt.

Det följer att om f är någon L ² funktion

$H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf$ i L ² -normen.

Detta är en omedelbar konsekvens av resultatet för trigonometriska polynom när det väl har fastställts att operatorerna H _ε är enhetligt begränsade i operatornormen . Men på [– π , π ]

$$(1-e^{i\theta })^{-1}=[(1-e^{i\theta})^{-1}-i\theta ^{-1}]+i\ theta ^{-1}.$$

Den första termen är begränsad till hela [–π,π], så det räcker för att visa att faltningsoperatorerna S _ε definierade av

$$S_{\varepsilon }f(\varphi )=\int _{\varepsilon \leq |\theta |\leq \pi }f(\varphi -\ theta )\theta ^{-1}\,d\theta$$

är enhetligt avgränsade. Med avseende på den ortonormala basen e ^inθ faltningsoperatorer diagonala och deras operatornormer ges genom att ta det högsta av modulerna för Fourierkoefficienterna. Direkt beräkning visar att dessa alla har formen

$${\frac {1}{\pi }}\left|\int _{a}^{b}{\sin t \over t}\,dt\right|$$

med 0 < a < b . Dessa integraler är välkända för att vara likformigt begränsade.

Det följer också att, för en kontinuerlig funktion f på cirkeln, H _ε f konvergerar likformigt till Hf , så i synnerhet punktvis. Den punktvisa gränsen är ett Cauchy-huvudvärde , skrivet

$$Hf=\mathrm {PV} \,{1 \over \pi }\int {f(\zeta ) \over \zeta -e^{i\varphi }}\,d\zeta .$$

Om f är just i L ² så konvergerar H _ε f till Hf punktvis nästan överallt. Definiera faktiskt Poisson-operatorerna på L ² -funktioner med

$$T_{r}\left(\sum a_{n}e^{in\theta}\right)=\summa r^{|n|}a_{n}e^{ in\theta },$$

för r < 1. Eftersom dessa operatorer är diagonala är det lätt att se att T _r f tenderar att f i L ² när r ökar till 1. Dessutom, som Lebesgue bevisade, tenderar T _r f också punktvis till f vid varje Lebesgue-punkt av f . Å andra sidan är det också känt att T _r Hf − H _{1 − r} f tenderar till noll vid varje Lebesgue-punkt i f . Därför H _{1 – r} f punktvis till f på de vanliga Lebesgue-punkterna för f och Hf och därför nästan överallt.

Resultat av detta slag på punktvis konvergens bevisas mer generellt nedan för L ^p -funktioner med hjälp av Poisson-operatorerna och Hardy–Littlewood-maximalfunktionen för f .

Hilbert-transformen har en naturlig kompatibilitet med orienteringsbevarande diffeomorfismer i cirkeln. Alltså om H är en diffeomorfism av cirkeln med

$$H(e^{i\theta })=e^{ih(\ theta )},\,\,\,h(\theta +2\pi )=h(\theta )+2\pi ,$$

sedan operatörerna

$$H_{\varepsilon }^{h}f(e^{i\varphi })={\frac {1} {\pi }}\int _{|e^{ih(\theta )}-e^{ih(\varphi )}|\geq \varepsilon }{\frac {f(e^{i\theta })} {e^{i\theta }-e^{i\varphi }}}e^{i\theta }\,d\theta ,$$

är likformigt avgränsade och tenderar i den starka operatortopologin till H . Dessutom, om Vf ( z ) = f ( H ​​( z )), så är VHV ⁻¹ − H en operator med mjuk kärna, så en Hilbert–Schmidt-operator .

Faktum är att om G är inversen av H med motsvarande funktion g ( θ ), då

$$(VH_{\varepsilon }^{h}V^{-1}-H_{\varepsilon })f(e^{i\varphi })={1 \over \pi }\int _{|e ^{i\theta }-e^{i\varphi }|\geq \varepsilon }\left[{g^{\prime }(\theta )e^{ig(\theta )} \over e^{ig( \theta )}-e^{ig(\varphi )}}-{e^{i\theta} \over e^{i\theta}-e^{i\varphi }}\right]\,f(e ^{i\theta })\,d\theta .$$

Eftersom kärnan på höger sida är jämn på T × T , följer det att operatorerna ^på höger sida är likformigt avgränsade och därför är det också operatorerna H _εh . För att se att de tenderar starkt till H räcker det att kontrollera detta på trigonometriska polynom. Isåfall

$$H_{\varepsilon }^{h}f(\zeta )={1 \over \pi i}\int _{|H(z)-H(\zeta )|\geq \varepsilon }{\frac {f(z)}{z-\zeta }}dz={1 \över \pi i}\int _{|H(z)-H(\zeta )|\geq \varepsilon }{f(z)- f(\zeta ) \över z-\zeta }\,dz+{\frac {f(\zeta )}{\pi i}}\int _{|H(z)-H(\zeta )|\geq \ varepsilon }{dz \over z-\zeta }.$$

I den första integralen är integranden ett trigonometriskt polynom i z och ζ och därför är integralen ett trigonometriskt polynom i ζ . Den tenderar i L ² till det trigonometriska polynomet

$${1 \over \pi i}\int {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }\,dz.$$

Integralen i den andra termen kan beräknas genom argumentets princip . Den tenderar i L ² till konstantfunktionen 1, så att

$$\lim _{\varepsilon \to 0}H_{ \varepsilon }^{h}f(\zeta )=f(\zeta )+{1 \over \pi i}\int {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }\,dz ,$$

där gränsen är i L ² . Å andra sidan är den högra sidan oberoende av diffeomorfismen. Eftersom för identitetsdiffeomorfismen är den vänstra sidan lika med Hf , är den också lika med Hf (detta kan också kontrolleras direkt om f är ett trigonometriskt polynom). Låt slutligen ε → 0,

$$(VHV^{-1}-H)f(e^{i\varphi })={\frac {1}{\pi }}\int \left[{g^{\prime }(\theta )e^{ig(\theta )} \over e^{ig(\theta )}-e^{ig(\varphi )}}-{e^{i\theta } \over e^{i\theta } -e^{i\varphi }}\right]\,f(e^{i\theta })\,d\theta .$$

Den direkta metoden för att utvärdera Fourier-koefficienter för att bevisa den enhetliga begränsningen av operatorn H ^ε generaliserar inte direkt till L ^p -utrymmen med 1 < p < ∞. Istället används klassiskt en direkt jämförelse av H ^ε f med Poisson-integralen för Hilbert-transformen för att bevisa detta. Om f har Fourierserier

$$f(e^{i\theta })=\summa _{n\in \mathbf {Z} }a_{n}e ^{in\theta },$$

dess Poisson-integral definieras av

$${\display style P_ {r}f(e^{i\theta })=\summa _{n\in \mathbf {Z} }a_{n}r^{|n|}e^{in\theta }={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{(1-r^{2})f(e^{i\theta }) \över 1-2r\cos \theta +r^{2 }}\,d\theta =K_{r}\star f(e^{i\theta }),}$$

där Poissonkärnan K _r ges av

$$K_{r}(e^{i\theta })=\summa _{n\in \mathbf {Z} }r^{|n|}e^{in\theta }={1-r^ {2} \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}.$$

I f är i L ^p ( T ) då uppfyller operatorerna P _r

$$\|P_{r}ff\|_{p}\högerpil 0.$$

Faktum är att K _r är positiva så

$$\|K_{r}\|_{1}={1 \över 2\pi }\int _{0}^{2\pi }K_{r}(e^{i\theta })\,d\theta =1.$$

Operatörerna P _r har således operatornormen begränsad av 1 på L ^p . Konvergenssatsen ovan följer av kontinuitet från resultatet för trigonometriska polynom, där det är en omedelbar konsekvens av formeln för Fourierkoefficienterna för K _r .

Den enhetliga begränsningen av operatornormen för H _ε följer eftersom HP _r − H _{1− r} ges som faltning av funktionen ψ _r , där

$${\begin{aligned}\psi _{r}(e^{i\theta })&=1+{\frac {1-r}{1+r}}\cot \left( {\tfrac {\theta }{2}}\right)K_{r}(e^{i\theta })\\&\leq 1+{\frac {1-r}{1+r}}\cot \left({\tfrac {1-r}{2}}\right)K_{r}(e^{i\theta })\end{aligned}}$$

för 1 − r ≤ |θ| ≤ π , och, för |θ| < 1 − r ,

$$\psi _{r}(e^{i\theta })=1+{2r\sin \theta \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}.$$

Dessa uppskattningar visar att L ¹ -normerna ∫ |ψ _r | är enhetligt avgränsade. Eftersom H är en begränsad operator, följer det att operatorerna H _ε är enhetligt begränsade i operatornorm på L ² ( T ). Samma argument kan användas på L ^p ( T ) när det är känt att Hilbert-transformen H är begränsad i operatornorm på L ^p ( T ).

Hilbert transformerar på den verkliga linjen

Se även: Hilbert transform

Liksom i fallet med cirkeln är teorin för L ² -funktioner särskilt lätt att utveckla. I själva verket, som observerats av Rosenblum och Devinatz, kan de två Hilbert-transformerna relateras med hjälp av Cayley-transformen.

Hilbert _- transformen HR på L2 ⁽ R ) definieras av

$${\widehat {H_{\mathbf {R} }f}}=\left(i\chi _ {[0,\infty )}-i\chi _{(-\infty ,0]}\right){\widehat {f}},$$

där Fouriertransformen ges av

$${\widehat {f}}(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-itx }\,dx.$$

Definiera Hardy-utrymmet H ² ( R ) som det slutna underrummet av L ² ( R ) som består av funktioner för vilka Fouriertransformen försvinner på den negativa delen av den reella axeln. Dess ortogonala komplement ges av funktioner för vilka Fouriertransformen försvinner på den positiva delen av den reella axeln. Det är det komplexa konjugatet av H ² ( R ). Om PR är den ortogonala projektionen på H ² ₍ R ) , då

$$H_{\mathbf {R} }=i(2P_{\mathbf {R} }-I).$$

Cayley-förvandlingen

$$C(x)={xi \över x+i}$$

bär den förlängda reella linjen på cirkeln, skickar punkten vid ∞ till 1, och det övre halvplanet till enhetsskivan.

Definiera enhetsoperatorn från L ² ( T ) till L ² ( R ) med

$$Uf(x)=\pi ^{-1/2}(x+i)^{-1}f(C(x)).$$

Denna operatör bär Hardy-utrymmet i cirkeln H ² ( T ) till H ² ( R ). Faktum är att | w | < 1, funktionernas linjära spann

$$f_{w}(z)={\frac {1}{1-wz}}$$

är tät i H2 ⁽ T ) . Dessutom,

$$Uf_{w}(x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{(1-w)(x-{\overline {z}})}}$$

var

$$z=C^{-1}({\overline {w}}).$$

Å andra sidan, för z ∈ H , det linjära spannet för funktionerna

$$g_{z}(t)=e^{itz}\chi _{[0,\infty )}(t)$$

är tät i L2 ((0,∞)) ^. Med Fourier-inversionsformeln är de Fourier-transformerna av

$$h_{z}(x)={\widehat {g_{z}}}(-x) ={i \over {\sqrt {2\pi }}}(x+z)^{-1},$$

så det linjära spannet för dessa funktioner är tätt i H ² ( R ). Eftersom U bär fw till multipler av h _z , följer det att U bär H2 ⁽ T ) till ^H2 ( R ) _. Således

$$UH_{\mathbf {T} }U^{*}=H_{\mathbf {R} }.$$

I Nikolski (1986) utvecklas en del av L ² -teorin om den reella linjen och det övre halvplanet genom att överföra resultaten från cirkeln och enhetsskivan. De naturliga ersättningarna för koncentriska cirklar i skivan är linjer parallella med den reella axeln i H . Under Cayley-transformen motsvarar dessa cirklar i skivan som tangerar enhetscirkeln i punkt ett. Funktionernas beteende i H ² ( T ) på dessa cirklar är en del av teorin om Carlesonmått . Teorin om singulära integraler kan dock utvecklas lättare genom att arbeta direkt på R .

H ² ( R ) består exakt av L ² funktioner f som uppstår av gränsvärden för holomorfa funktioner på H i följande betydelse: f är i H ² förutsatt att det finns en holomorf funktion F ( z ) på H så att funktionerna f _y ( x ) = f ( x + iy ) för y > 0 är i L ² och f _y tenderar att f i L ² som y → 0. I detta fall är F nödvändigtvis unikt och ges av Cauchys integralformel :

$$F(z)={1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{f(s) \over sz}\,ds.$$

Faktum är att identifiering av H ² med L ² (0,∞) via Fouriertransformen, för _y > 0 multiplikation med e ^{− yt} på L ² (0,∞) inducerar en kontraktionssemigrupp Vy på H ² . Därav för f i L ²

$${1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{f(s) \over sz}\,ds={1 \over {\sqrt {2\pi } }}\int _{-\infty }^{\infty }f(s){\widehat {g_{z}}}(s)\,ds={1 \over {\sqrt {2\pi }}} \int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(s)g_{z}(s)\,ds=V_{y}Pf(x).$$

Om f är i H ^{2 är} F ( z ) holomorft för Im z > 0, eftersom familjen av L ² -funktioner g _z beror holomorft på z . Dessutom tenderar f _y = V _y f att f i H ² eftersom detta är sant för Fourier-transformerna. Omvänt om ett sådant F existerar, genom Cauchys integralsats och ovanstående identitet tillämpad på f _y

$$f_{y+t}=V_{t}Pf_{y}$$

0 för t > 0. Låter t tendera till , följer att Pf _y = f _y , så att f _y ligger i H ² . Men då gäller också gränsen f . Eftersom

$$V_{t}f_{y}=f_{y+t}=V_{y}f_{t},$$

unikhet hos F följer av

$$f_{t}=\lim _{y\to 0}f_{y+t}=\lim _{y\to 0}V_{t}f_{y}=V_{t}f.$$

För f i L ² definieras de trunkerade Hilbert-transformerna av

$${\begin{aligned}H_{\varepsilon ,R}f(x)&={1 \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |yx|\leq R}{f(y) \ över xy}\,dy={1 \över \pi }\int _{\varepsilon \leq |y|\leq R}{f(xy) \över y}\,dy\\H_{\varepsilon }f( x)&={1 \over \pi }\int _{|yx|\geq \varepsilon }{f(y) \over xy}\,dy={1 \over \pi }\int _{|y| \geq \varepsilon }{f(xy) \over y}\,dy.\end{aligned}}$$

Operatörerna H _{ε , R} är faltningar av begränsade funktioner av kompakt stöd, så deras operatornormer ges av den enhetliga normen för deras Fouriertransformer. Som tidigare har de absoluta värdena formen

$${1 \over {\sqrt {2\pi }}}\left|\int _{a}^{b}{2\sin t \over t}\,dt\right|.$$

med 0 < a < b , så är operatorerna H _{ε , R} likformigt begränsade i operatornorm. Eftersom H _{ε , Rf} tenderar att Hεf i L ² för f med kompakt stöd, och följaktligen för godtycklig _f , är operatorerna H _{ε också enhetligt begränsade} i operatornorm.

För att bevisa att H _ε f tenderar till Hf som ε tenderar mot noll, räcker det att kontrollera detta på en tät uppsättning funktioner. Å andra sidan,

$${\overline {H_{\varepsilon }f}}=-H_{\varepsilon }({\overline {f}}),$$

så det räcker för att bevisa att H _ε f tenderar att om för en tät uppsättning funktioner i H ² ( R ), till exempel Fouriertransformerna av jämna funktioner g med kompakt stöd i (0,∞). Men Fouriertransformen f sträcker sig till en hel funktion F på C , som är begränsad till Im( z ) ≥ 0. Detsamma gäller för derivatorna av g . Upp till en skalär motsvarar dessa att multiplicera F ( z ) med potenser av z . Således uppfyller F en Payley-Wiener uppskattning för Im( z ) ≥ 0:

$$|F^{(m)}(z)|\leq K_{N,m}(1+|z|)^{-N}$$

för vilken m som helst , N ≥ 0. Speciellt kan integralen som definierar H εf ₍ x ) beräknas genom att ta en standard halvcirkelkontur centrerad på x . Den består av en stor halvcirkel med radien R och en liten cirkelradie ε med de två delarna av den reella axeln mellan sig. Enligt Cauchys sats är integralen runt konturen noll. Integralen runt den stora konturen tenderar till noll enligt Paley-Wieners uppskattning. Integralen på den verkliga axeln är den sökta gränsen. Den anges därför som minus gränsen på den lilla halvcirkelformade konturen. Men detta är gränsen för

$${1 \over \pi }\int _{\Gamma }{F(z) \over zx}\,dz.$$

Där Γ är den lilla halvcirkelformade konturen, orienterad moturs. Med de vanliga teknikerna för konturintegrering är denna gräns lika med om ( x ). I detta fall är det lätt att kontrollera att konvergensen domineras i L ² sedan

$$H_{\varepsilon }f(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{|yx |\geq \varepsilon }{\frac {f(y)-f(x)}{yx}}\,dy={\frac {1}{\pi }}\int _{|yx|\geq \varepsilon }\int _{0}^{1}f^{\prime }(x+t(yx))\,dt\,dy$$

så att konvergensen domineras av

$$G(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{1}\int _{-\infty }^{\infty }|f^{\ primtal }(x+ty)|\,dy$$

som är i L ² enligt Paley-Wieners uppskattning.

Det följer att för f på L ² ( R )

$$H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf.$$

Detta kan också härledas direkt eftersom H _ε och H , efter att ha övergått till Fourier-transformer , blir multiplikationsoperatorer med likformigt avgränsade funktioner. Multiplikatorerna för H _ε tenderar punktvis nästan överallt till multiplikatorn för H , så påståendet ovan följer av den dominerade konvergenssatsen som tillämpas på Fouriertransformerna.

När det gäller Hilbert-transformen på cirkeln, tenderar H _ε f att Hf punktvis nästan överallt om f är en L ² -funktion. Definiera faktiskt Poisson-operatorerna på L ² -funktioner med

$$T_{y}f(x)=\int _{-\infty }^{\infty } P_{y}(xt)f(t)\,dt,$$

där Poissonkärnan ges av

$$P_{y}(x)={\frac {y}{\pi (x^{2}+y^{2})}}.$$

för y > 0. Dess Fouriertransform är

$${\widehat {P_{y}}}(t)=e^{-y|t|},$$

från vilket det är lätt att se att T _y f tenderar till f i L ² när y ökar till 0. Dessutom, som Lebesgue bevisade, tenderar T _y f också punktvis till f vid varje Lebesgue-punkt i f . Å andra sidan är det också känt att T _y Hf – H _y f tenderar till noll vid varje Lebesgue-punkt av f . Därför tenderar H _ε f punktvis till f på de vanliga Lebesgue-punkterna för f och Hf och därför nästan överallt. De absoluta värdena för funktionerna T _y f − f och T _y Hf – H _y f kan avgränsas punktvis av multiplar av den maximala funktionen för f .

När det gäller Hilbert-transformen på cirkeln, följer den enhetliga begränsningen av operatornormerna för H _ε från den för T _ε om H är känd för att vara begränsad, eftersom HT _ε − H _ε är faltningsoperatorn av funktionen

$$g_{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {x}{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}&|x|\ leq \varepsilon \\{\frac {x}{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}-{\frac {1}{\pi x}}&|x|>\varepsilon \end{cases}}$$

L ^{1 -} normerna för dessa funktioner är enhetligt begränsade.

Riesz transformerar i det komplexa planet

Huvudartikel: Riesz transform

De komplexa Riesz-transformerna R och R * i det komplexa planet är enhetsoperatorerna på L ² ( C ) definierade som multiplikation med z /| z | och dess konjugat på Fouriertransformen av en L ² funktion f :

$${\widehat {Rf}}(z)={{\overline {z}} \over |z|}{\widehat {f}}(z),\,\,\,{\widehat {R ^{*}f}}(z)={z \over |z|}{\widehat {f}}(z).$$

Identifiering av C med R2 ^, R och R * ges av

$$R=-iR_{1}+R_{2},\,\,\,R^{*}=- iR_{1}-R_{2},$$

där R1 och R2 är Riesz-transformerna _på ^R2 definierade nedan _.

På L ² ( C ) är operatorn R och dess heltalspotenser enhetliga. De kan också uttryckas som singulära integraloperatorer:

$${R^{k}f(w)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|zw|\ geq \varepsilon }M_{k}(wz)f(z)\,dx\,dy,}$$

var

$$M_{k}(z)={k \over 2\pi i^{k}}{z^{k} \over |z|^{k+2}}\,\,\,\, (k\geq 1),\,\,\,\,M_{-k}(z)={\överlinje {M_{k}(z)}}.$$

Att definiera den trunkerade högre Riesz transformerar som

$${R_{\varepsilon }^{(k)}f(w)=\int _{|zw|\geq \varepsilon } M_{k}(wz)f(z)\,dx\,dy,}$$

dessa operatorer kan visas vara enhetligt begränsade i operatornorm. För udda potenser kan detta härledas med metoden för rotation av Calderón och Zygmund, som beskrivs nedan. Om operatorerna är kända för att vara begränsade i operatornorm kan det också härledas med hjälp av Poisson-operatorerna.

Poisson-operatorerna T _s på R ² definieras för s > 0 av

$${T_{s}f(x)={1 \over 2\pi }\int _{\mathbf {R} ^{2}}{sf(x) \over (|xt|^{2} +s^{2})^{3/2}}\,dt.}$$

De ges genom faltning med funktionerna

$${P_{s}(x)={s \över 2\pi (|x|^{2}+s^{2})^{3/2}}.}$$

P _s är Fouriertransformen av funktionen e ^{− s | x |} , så under Fouriertransformen motsvarar de multiplikation med dessa funktioner och bildar en kontraktionssemigrupp på L ² ( R ² ). Eftersom P _y är positiv och integrerbar med integral 1, definierar operatorerna T _s också en kontraktionssemigrupp på varje L ^p- rum med 1 < p < ∞.

De högre Riesz-transformerna av Poisson-kärnan kan beräknas:

$${R^{k}P_{s}(z)={k \over 2\pi i^{k}}{z^{k} \over (|z|^{2}+s^{2})^{k/2+1}}}$$

för k ≥ 1 och komplexkonjugatet för − k . Den högra sidan är faktiskt en harmonisk funktion F ( x , y , s ) av tre variabler och för sådana funktioner

$${T_{s_{1}}F(x,y,s_{2})=F(x,y,s_{1}+s_{2}).}$$

Som tidigare operatörerna

$${T_{\varepsilon }R^{k}-R_{\varepsilon }^{(k)}}$$

ges av faltning med integrerbara funktioner och har enhetligt avgränsade operatörsnormer. Eftersom Riesz-transformerna är enhetliga på L ² ( C ), innebär den enhetliga begränsningen av de trunkerade Riesz-transformerna att de konvergerar i den starka operatortopologin till motsvarande Riesz-transformer.

Den enhetliga avgränsningen av skillnaden mellan transformen och den trunkerade transformationen kan också ses för udda k med användning av Calderón-Zygmund-metoden för rotation. Gruppen T verkar genom rotation på funktioner på C via

$${U_{\theta }f(z)=f(e^{i\theta}z).}$$

Detta definierar en enhetsrepresentation på L2 ₍ ^C ) och enhetsoperatorerna R6 pendlar med Fouriertransformen. Om A är en begränsad operator på L ² ( R ) så definierar den en begränsad operator A ⁽¹⁾ på L ² ( C ) helt enkelt genom att få A att agera på den första koordinaten. Med beteckningen L ² ( R ² ) = L ² ( R ) ⊗ L ² ( R ), A ⁽¹⁾ = A ⊗ I . Om φ är en kontinuerlig funktion på cirkeln kan en ny operator definieras av

$${B={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (\theta )U_{\theta }A^{(1)}U_{\theta }^ {*}\,d\theta .}$$

Denna definition förstås i den meningen att

$${(Bf,g)={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (\theta )(U_{\theta }A^{(1)}U_{\theta }^{*}f,g)\,d\theta }$$

för varje f , g i L ² ( C ). Det följer att

$${\|B\|\leq {1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }|\varphi (\theta )|\cdot \|A\|\,d\ theta .}$$

Om man tar A för att vara Hilbert-transformen H på L ² ( R ) eller dess trunkering H _ε , följer det att

$${\begin{aligned}R&={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }e^{-i\theta }U_{\theta }H^{(1) }U_{\theta }^{*}\,d\theta ,\\R_{\varepsilon }&={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }e^{-i \theta }U_{\theta }H_{\varepsilon }^{(1)}U_{\theta }^{*}\,d\theta .\end{aligned}}$$

Att ta adjoints ger en liknande formel för R* och dess trunkering. Detta ger ett andra sätt att verifiera uppskattningar av normerna för R , R * och deras trunkering. Den har fördelen att den även kan användas för L ^p -utrymmen.

_ε Poisson-operatorerna kan också användas för att visa att de trunkerade högre Riesz-transformerna av en funktion tenderar till den högre Riesz-transformen vid de vanliga Lebesgue-punkterna för funktionen och dess transformation. Faktum RkTε ^k är att ( − R ^{( k )} _ε ) f → → 0 at each Lebesgue point of fR^k − R^kT_ε)f → 0 at each Lebesgue point of R^kf.

Beurling transformerar i det komplexa planet

Se även: Beltramis ekvation

Eftersom

$${{\overline {z}} \over z}=\left({{\overline {z}} \over |z|}\right)^ {2},$$

Beurling-transformen ^T på L2 är enhetsoperatorn lika med R2 ^. Denna relation har använts klassiskt i Vekua (1962) och Ahlfors (1966) för att fastställa kontinuitetsegenskaperna för T på L ^p -utrymmen. Resultaten på Riesz-transformen och dess krafter visar att T är gränsen i den starka operatortopologin för de trunkerade operatorerna

$$T_{\varepsilon }f(w)=-{\frac {1}{\pi }}\iint _{|zw|\geq \varepsilon }{\frac {f(z)}{(wz) ^{2}}}dxdy.$$

Följaktligen kan Tf skrivas som en Cauchy-huvudvärdeintegral:

$$Tf(w)=-{\frac {1}{\pi }}PV\iint {\frac {f(z)}{(wz)^{2}}}dxdy=-{\frac {1 }{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\iint _{|zw|\geq \varepsilon }{\frac {f(z)}{(wz)^{2}}}dx\, dy.$$

Av beskrivningen av T och T * på Fourier-transformer, följer att om f är jämnt med kompakt stöd

$${\begin{aligned}T(\partial _{z}f)&=\partial _{z}T(f),\\T(\partial _{\overline {z}}f)&= \partial _{\overline {z}}T(f).\end{aligned}}$$

Liksom Hilbert-transformen i en dimension har Beurling-transformen en kompatibilitet med konforma koordinatförändringar. Låt Ω vara ett begränsat område i C med jämn gräns ∂Ω och låt φ vara en envärd holomorf karta av enhetsskivan D på Ω som sträcker sig till en jämn diffeomorfism av cirkeln på ∂Ω. Om χ _Ω är den karakteristiska funktionen för Ω, kan operatorn χ _Ω Tχ _Ω definierar en operator T (Ω) på L ² (Ω). Genom den konforma kartan φ inducerar den en operator, även betecknad T (Ω), på L ² ( D ) som kan jämföras med T ( D ). Detsamma gäller trunkeringarna T _ε (Ω) och T _ε ( D ).

Låt U _ε vara disken | z − w | < ε och V ^ε regionen |φ( z ) − φ( w )| < ε . På L ² ( D )

$${\begin{aligned}T_{\varepsilon }(\ Omega )f(w)&=-{\frac {1}{\pi }}\iint _{D\backslash V_{\varepsilon }}\left[{\varphi ^{\prime }(w)\varphi ^ {\prime }(z) \over (\varphi (z)-\varphi (w))^{2}}f(z)\right]dx\,dy,\\T_{\varepsilon }(D)f (w)&=-{1 ​​\over \pi }\iint _{D\backslash U_{\varepsilon }}{f(z) \over (zw)^{2}}\,dx\,dy,\end {Justerat}}$$

och operatörsnormerna för dessa trunkerade operatorer är enhetligt begränsade. Å andra sidan, om

$$T_{\varepsilon }^{\prime }(D) f(w)=-{1 \over \pi }\iint _{D\backslash V_{\varepsilon }}{\frac {f(z)}{(zw)^{2}}}dx\,dy,$$

då är skillnaden mellan denna operator och T _ε (Ω) en trunkerad operator med jämn kärna K ( w , z ) :

$$K(w,z)=-{1 \over \pi }\left[{\varphi '(w)\varphi '(z) \over (\varphi (z)-\varphi (w))^ {2}}-{1 \over (zw)^{2}}\right].$$

Så operatorerna T′ _ε ( D ) måste också ha enhetligt avgränsade operatornormer. För att se att deras skillnad tenderar till 0 i den starka operatörstopologin, räcker det att kontrollera detta för f smidigt eller kompakt stöd i D . Enligt Greens teorem

$$\left(T_{\varepsilon }(D)-T_{\varepsilon }^{\prime }(D)\right)f(w)={\frac {1}{\pi }}\iint _ {U_{\varepsilon }}{\partial _{z}f(z) \over zw}dx\,dy-{1 \over \pi }\iint _{V_{\varepsilon }}{\partial _{z }f(z) \over zw}dx\,dy+{1 \over 2\pi i}\int _{\partial U_{\varepsilon }}{\frac {f(z)}{zw}}d{\ overline {z}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial V_{\varepsilon }}{f(z) \over zw}\,d{\overline {z}} .$$

Alla fyra termerna på höger sida tenderar till 0. Därav är skillnaden T (Ω) − T ( D ) Hilbert–Schmidt-operatorn med kärnan K .

För punktvis konvergens finns det ett enkelt argument på grund av att Mateu & Verdera (2006) visar att de trunkerade integralerna konvergerar till Tf precis vid dess Lebesgue-punkter, det vill säga nästan överallt. T har faktiskt följande symmetriegenskap för f , g ∈ L ² ( C )

$$\iint (Tf)g=-{1 \over \pi }\lim \int _{|zw|\geq \varepsilon }{\frac {f(w)g(z)}{(wz)^ {2}}}=\iint f(Tg).$$

Å andra sidan, om χ är den karakteristiska funktionen för skivan D ( z , ε ) med centrum z och radie ε , då

$$T\chi (w)=-\varepsilon ^{2}{\frac {1-\chi (w)}{(wz)^{2}}}.$$

Därav

$$T_{\varepsilon }(f)(z)={1 \over \pi \varepsilon ^{2}}\iint f(T\chi )={1 \over \pi \varepsilon ^{2}} \iint (Tf)\chi =\mathbf {Av} _{D(z,\varepsilon )}\,Tf.$$

Genom Lebesgues differentieringssats konvergerar den högra sidan till Tf vid Lebesgue-punkterna i Tf .

Riesz förvandlas i högre dimensioner

Huvudartikel: Riesz transform

För f i Schwartz-utrymmet för Rn definieras den j: te Riesz-transformen ^av

$$R_{j}f(x)=c_{n}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|y|\geq \varepsilon }f(xy){y_ {j} \over |y|^{n+1}}dy={\frac {c_{n}}{n-1}}\int \partial _{j}f(xy){1 \over |y |^{n-1}}dy,$$

var

$$c_{n}=\Gamma \left({\tfrac {n+1}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {n+1}{2}}}.$$

Under Fouriertransformen:

$${\widehat {R_{j}f}}(t)={it_{j} \over |t|}{\widehat {f}}(t).$$

R _{j motsvarar} alltså operatorn ∂ _j Δ ^−1/2 , där Δ = −∂ ₁ ² − ⋯ −∂ _n ² betecknar Laplacian på R ⁿ . Per definition R _j en bounded och skew-adjoint operator för L ² normen och

$$R_{1}^{2}+\cdots +R_{n}^{2}=-I.$$

Motsvarande trunkerade operatorer

$$R_{j,\varepsilon }f(x)=c_{n}\int _{|y|\geq \varepsilon }f(xy){y_{j} \över |y| ^{n+1}}dy$$

är enhetligt begränsade i operatörsnormen. Detta kan antingen bevisas direkt eller kan fastställas med Calderón−Zygmund-metoden för rotationer för gruppen SO( n ). Detta uttrycker operatorerna Rj _. och deras trunkationer i termer av Hilbert-transformerna i en dimension och dess trunkationer Faktum är att om G = SO( n ) med normaliserat Haarmått och H ⁽¹⁾ är Hilberttransformen i den första koordinaten, då

$${\begin{aligned}R_{j}&=\int _{G}\varphi (g)gH^{(1)}g^{-1}\,dg,\\R_{j,\ varepsilon }&=\int _{G}\varphi (g)gH_{\varepsilon }^{(1)}g^{-1}\,dg,\\R_{j,\varepsilon ,R}&=\ int _{G}\varphi (g)gH_{\varepsilon ,R}^{(1)}g^{-1}\,dg.\end{aligned}}$$

där φ ( g ) är (1, j ) matriskoefficienten för g .

Speciellt ^för f ∈ L2 , Rj , _{. εf} → ^Rjf i L2 _ _{_} _ _ Dessutom tenderar Rj _{, εf} till Rj _. nästan överallt ^{Detta kan bevisas exakt som för Hilbert-transformen genom att använda +1} Poisson-operatorerna definierade på L ² ( Rn ) när Rn betraktas som gränsen för ett halvrum i Rn . Rj _Alternativt kan det bevisas direkt från resultatet för Hilbert-transformationen på R genom att använda uttrycket av som en integral över G .

Poisson-operatorerna T _y på R ⁿ definieras för y > 0 av

$$T_{y}f(x)=c_{n}\int _{\mathbf {R} ^{n}}{\frac {yf(x)}{\left(|xt|^{2} +y^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}dt.$$

De ges genom faltning med funktionerna

$$P_{y}(x)=c_{n}{\frac {y}{\left(|x|^{2}+y^{2}\right)^{\frac {n+1} {2}}}}.$$

P _y är Fouriertransformen av funktionen e ^{− y | x |} , så under Fouriertransformen motsvarar de multiplikation med dessa funktioner och bildar en kontraktionssemigrupp på L ^{2 (} Rn ) . Eftersom P _y är positiv och integrerbar med integral 1, definierar operatorerna T _y också en kontraktionssemigrupp på varje L ^p -rum med 1 < p < ∞.

Riesz-transformerna av Poisson-kärnan kan beräknas

$$R_{j}P_{\varepsilon }(x)=c_{n}{\frac {x_{j}}{\left(|x|^{2}+\varepsilon ^{2}\right) ^{\frac {n+1}{2}}}}.$$

_ε Operatören RjT funktion _{. ε} ges av faltning med denna Det kan kontrolleras direkt att operatorerna R _j T _ε − Rj _{L , ε} ges av faltning med funktioner likformigt begränsade i 1 ^norm . Operatörsnormen för skillnaden är därför enhetligt begränsad. Vi har ( R _j T _ε − R _{j , ε} ) f → 0 vid varje Lebesgue-punkt i f ; medan ( Rj − _j RjTε ) _jT f → → 0 at each Lebesgue point of R_jfR_j,εf → R_jf on the common Lebesgue points of f and R_jf.

L ^p teori

Elementära bevis för M. Riesz sats

Marcel Riesz ' teorem hävdar att singulära integraloperatorer som är kontinuerliga för L ² -normen också är kontinuerliga i L ^p -normen för 1 < p < ∞ och att operatornormerna varierar kontinuerligt med p .

Bochners bevis för Hilberts transformation på cirkeln

När det väl har fastställts att Hilbert-transformens operatornormer på L ^p ( T ) är gränsade för jämna heltal, följer det av Riesz–Thorins interpolationssats och dualitet att de är gränsade för alla p med 1 < p < ∞ och att normerna varierar kontinuerligt med p . Dessutom kan argumenten med Poisson-integralen appliceras för att visa att de trunkerade Hilbert-transformerna H _ε är enhetligt begränsade i operatornorm och konvergerar i den starka operatortopologin till H .

Det räcker för att bevisa gränsen för verkliga trigonometriska polynom utan konstant term:

$$f\left(e^{i\theta}\right)=\sum _{m=1}^{N}a_{m}e^{im\theta}+a_{-m}e^{ -im\theta },\qquad a_{-m}={\overline {a_{m}}}.$$

Eftersom f + iHf är ett polynom i e ^iθ utan konstant term

$${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }(f+ iHf)^{2n}\,d\theta =0.$$

Därför tar man den verkliga delen och använder Hölders ojämlikhet :

$$\|Hf\|_{2n}^{2n}\leq \sum _{k=0}^{n-1}{2n \choose 2k}\left|\left((Hf)^{2k },f^{2n-2k}\right)\right|\leq \sum _{k=0}^{n-1}{2n \choose 2k}\|Hf\|_{2n}^{2k} \cdot \|f\|_{2n}^{2n-2k}.$$

Så M. Riesz-satsen följer av induktion för p ett jämnt heltal och därmed för alla p med 1 < p < ∞ .

Cotlars bevis för Hilberts transformation på linjen

När det väl har fastställts att Hilberttransformens operatornormer på L ^p ( R ) är begränsade när p är en potens av 2, följer det av Riesz–Thorins interpolationssats och dualitet att de är begränsade för alla p med 1 < p < ∞ och att normerna varierar kontinuerligt med p . Dessutom kan argumenten med Poisson-integralen appliceras för att visa att de trunkerade Hilbert-transformerna H _ε är enhetligt begränsade i operatornorm och konvergerar i den starka operatortopologin till H .

Det räcker med att bevisa bunden när f är en Schwartz-funktion. I så fall gäller följande identitet för Cotlar:

$$(Hf)^{2}=f^{2}+2H(fH(f)).$$

Skriv faktiskt f = f ₊ + f ₋ enligt ± i egenrymden för H . Eftersom f ± iHf sträcker sig till holomorfa funktioner i det övre och nedre halvplanet, så gör deras kvadrater också. Därav

$$f^{2}-(Hf)^{2}=\left(f_{+}+f_{-}\right)^{2}+\left(f_{+}-f_{-}\ höger)^{2}=2\left(f_{+}^{2}+f_{-}^{2}\right)=-2iH\left(f_{+}^{2}-f_{-} ^{2}\höger)=-2H(f(Hf)).$$

(Cotlars identitet kan också verifieras direkt genom att ta Fourier-transformationer.)

Antag därför M. Riesz-satsen för p = 2 ⁿ ,

$$\|Hf\|_{2^{n+1}}^{2}=\left\|(Hf)^{2}\right\|_{2^{n}}\leq \left \|f^{2}\right\|_{2^{n}}+2\|H(fH(f))\|_{2^{n}}\leq \|f\|_{2 ^{n+1}}^{2}+2\|H\|_{2^{n}}\|f\|_{2^{n+1}}\|Hf\|_{2^ {n+1}}.$$

Eftersom

$$R^{2}>1+2\|H\|_{2^{n}}R$$

för R tillräckligt stor måste M. Riesz-satsen också gälla för p = 2 ^{n +1} .

Exakt samma metod fungerar för Hilbert-transformen på cirkeln. Samma identitet för Cotlar kan enkelt verifieras på trigonometriska polynom f genom att skriva dem som summan av termerna med icke-negativa och negativa exponenter, dvs ± i egenfunktionerna för H . L ^p - gränserna kan därför fastställas när p är en potens av 2 och följas i allmänhet av interpolation och dualitet.

Calderón-Zygmund rotationsmetod

Rotationsmetoden för Riesz-transformer och deras trunkering gäller lika väl på L ^p- rum för 1 < p < ∞ . Således kan dessa operatorer uttryckas i termer av Hilbert-transformen på R och dess trunkering. Integrationen av funktionerna Φ från gruppen T eller SO( n ) i utrymmet för operatorer på L ^p tas i den svaga betydelsen:

$$\left(\int _{G}\Phi (x)\,dx\,f ,g\right)=\int _{G}(\Phi (x)f,g)\,dx$$

där f ligger i L ^p och g ligger i dubbelrummet L ^q med 1 / p + 1 / q . Det följer att Riesz-transformer är begränsade på L ^p och att skillnaderna med deras trunkering också är enhetligt begränsade. Kontinuiteten för L ^p -normerna för en fixerad Riesz-transform är en konsekvens av Riesz–Thorins interpolationssats .

Punktvis konvergens

Se även: Fatous sats

Bevisen för punktvis konvergens för Hilbert och Riesz omvandlingar förlitar sig på Lebesgues differentieringsteorem , som kan bevisas med hjälp av Hardy-Littlewood maximal funktion . Teknikerna för det enklaste och mest kända fallet, nämligen Hilbert-transformen på cirkeln, är en prototyp för alla andra transformationer. Detta fall förklaras i detalj här.

Låt f vara i L ^p ( T ) för p > 1. Lebesgues differentieringssats säger att

$${A(\varepsilon )={1 \över 2\varepsilon }\int _{x-\varepsilon }^{x+\varepsilon }|f(t)-f(x)|\,dt \till 0}$$

för nästan alla x i T . Punkterna där detta gäller kallas Lebesgue-punkterna i f . Med hjälp av detta sats följer att om f är en integrerbar funktion på cirkeln, tenderar Poisson-integralen T _r f punktvis till f vid varje Lebesgue-punkt i f . Faktum är att för x fix är A ( ε ) en kontinuerlig funktion på [0, π ] . Kontinuitet vid 0 följer eftersom x är en Lebesgue-punkt och på andra ställen eftersom, om h är en integrerbar funktion, integralen av |h| på intervaller med avtagande längd tenderar till 0 av Hölders ojämlikhet .

Om man låter r = 1 − ε , kan skillnaden uppskattas med två integraler:

$$2\pi |T_{r}f(x)-f(x)|=\int _{0}^{2\pi }|(f(xy)-f(x))P_{r} (y)|\,dy\leq \int _{|y|\leq \varepsilon }+\int _{|y|\geq \varepsilon }.$$

Poissonkärnan har två viktiga egenskaper för ε small

$${\begin{aligned}\sup _{y\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}|P_{1-\varepsilon }(y)|&\leq \varepsilon ^{-1} .\\\sup _{y\notin (-\varepsilon ,\varepsilon )}|P_{1-\varepsilon }(y)|&\to 0.\end{aligned}}$$

Den första integralen är begränsad av A ( ε ) av den första olikheten så tenderar att bli noll när ε går till 0; den andra integralen tenderar till 0 med den andra olikheten.

Samma resonemang kan användas för att visa att T _{1 − ε} Hf – H _ε f tenderar till noll vid varje Lebesgue-punkt i f . Operatören T _{1 − ε} Hf har faktiskt kärnan Q _r + i , där den konjugata Poisson-kärnan Q _r definieras av

$${Q_{r}(\theta )={2r\sin \theta \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}.}$$

Därav

$${2\pi |T_{1-\varepsilon }Hf(x)-H_{\varepsilon }f(x)|\leq \int _{|y|\leq \varepsilon }|f(xy)- f(x)|\cdot |Q_{r}(y)|\,dy+\int _{|y|\geq \varepsilon }|f(xy)-f(x)|\cdot |Q_{1}( y)-Q_{r}(y)|\,dy.}$$

Den konjugerade Poisson-kärnan har två viktiga egenskaper för ε small

$${\begin{aligned}\sup _{y\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}|Q_{1-\varepsilon }(y)|&\leq \varepsilon ^{-1} .\\\sup _{y\notin (-\varepsilon ,\varepsilon )}|Q_{1}(y)-Q_{1-\varepsilon }(y)|&\to 0.\end{aligned}}$$

Exakt samma resonemang som tidigare visar att de två integralerna tenderar till 0 som ε → 0.

Genom att kombinera dessa två gränsformler följer det att H _ε f tenderar punktvis till Hf på de vanliga Lebesgue-punkterna för f och Hf och därför nästan överallt.

Maximala funktioner

Se även: Hardy–Littlewood maximal funktion

Mycket av Lp ^- teorin har utvecklats med maximala funktioner och maximala transformationer. Detta tillvägagångssätt har fördelen att det även sträcker sig till L ¹ -utrymmen i lämplig "svag" mening och ger förfinade uppskattningar i Lp ^- rum för p > 1. Dessa finare uppskattningar utgör en viktig del av teknikerna som ingår i Lennart Carlesons lösning 1966 av Lusins ​​gissning att Fourier-serien av L ² -funktioner konvergerar nästan överallt. I de mer rudimentära formerna av detta tillvägagångssätt ges L ^{2 -teorin mindre företräde: istället läggs större tonvikt på L 1} -teorin, i synnerhet dess måttteoretiska och probabilistiska aspekter; resultat för andra L ^p -rum härleds genom en form av interpolation mellan L ¹ och L ^∞ -rum. Tillvägagångssättet beskrivs i ett flertal läroböcker, inklusive klassikerna Zygmund (1977) och Katznelson (1968) . Katznelsons redogörelse följs här för det speciella fallet med Hilberttransformationen av funktioner i L ¹ ( T ), fallet som inte omfattas av utvecklingen ovan. F. Riesz bevis på konvexitet, ursprungligen etablerat av Hardy , etableras direkt utan att tillgripa Riesz−Thorin-interpolation .

Om f är en L ¹ funktion på cirkeln definieras dess maximala funktion av

$${f^{*}(t)=\sup _{0<h\leq \pi }{1 \över 2h}\int _{th}^{t+h}|f(s)|\ ,ds.}$$

f * är ändlig nästan överallt och är av svag L ¹ typ. Faktum är att för λ > 0 if

$${E_{f}(\lambda )=\{x:\,|f(x)|>\lambda \},\,\,f_ {\lambda }=\chi _{E(\lambda )}f,}$$

sedan

$$m(E_{f^{*}}(\lambda ))\leq {8 \over \lambda }\int _{E_{f}(\lambda )}|f |\leq {8\|f\|_{1} \over \lambda },$$

där m betecknar Lebesgue mått.

Hardy−Littlewood-ojämlikheten ovan leder till ett bevis på att nästan varje punkt x i T är en Lebesgue-punkt för en integrerbar funktion f , så att

$$\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{xh}^{x+h}|f(t)-f(x)|\,dt} {2h}}\till 0.$$

Faktum är att låt

$$\omega (f)(x)=\limsup _{h\to 0}{\frac {\int _{xh}^{x+h}|f(t)-f(x)|\, dt}{2h}}\leq f^{*}(x)+|f(x)|.$$

Om g är kontinuerlig, då är ω ( g ) =0, så att ω ( f − g ) = ω ( f ). Å andra sidan f approximeras godtyckligt nära i L ¹ med kontinuerlig g . Sedan, med hjälp av Chebychevs ojämlikhet ,

$$m\{x:\,\omega (f)(x)>\lambda \}=m\{x:\,\omega (fg)(x)>\lambda \}\leq m\{x :\,(fg)^{*}(x)>\lambda \}+m\{x:\,|f(x)-g(x)|>\lambda \}\leq C\lambda ^{- 1}\|fg\|_{1}.$$

Den högra sidan kan göras godtyckligt liten, så att ω( f ) = 0 nästan överallt.

Poisson-integralerna för en L ¹ -funktion f uppfyller

$${|T_{r}f|\leq f^{*}.}$$

Det följer att T _r f tenderar att f punktvis nästan överallt. I själva verket låt

$${\Omega (f)=\limsup _{r\to 1}|T_{r}ff|.}$$

Om g är kontinuerlig, tenderar skillnaden att bli noll överallt, så Ω( f − g ) = Ω( f ). Å andra sidan f approximeras godtyckligt nära i L ¹ med kontinuerlig g . Sedan, med hjälp av Chebychevs ojämlikhet ,

$$m\{x:\,\Omega (f)(x)>\lambda \}=m\{x:\,\Omega (fg)(x)>\lambda \}\leq m\{x :\,(fg)^{*}(x)>\lambda \}+m\{x:\,|f(x)-g(x)|>\lambda \}\leq C\lambda ^{- 1}\|fg\|_{1}.$$

Den högra sidan kan göras godtyckligt liten, så att Ω( f ) = 0 nästan överallt. Ett mer förfinat argument visar att konvergens sker vid varje Lebesgue-punkt av f .

Om f är integrerbar definieras de konjugerade Poisson-integralerna och ges av faltning av kärnan Q _r . Detta definierar Hf inuti | z | < 1. För att visa att Hf har en radiell gräns för nästan alla vinklar, överväg

$${F(z)=\exp(-f(z)-iHf(z)),}$$

där f ( z ) anger förlängningen av f med Poisson-integralen. F är holomorf i enhetsskivan med | F ( z )| ≤ 1. Begränsningen av F till en räkningsbar familj av koncentriska cirklar ger en sekvens av funktioner i L ^∞ ( T ) som har en svag g- gräns i L ^∞ ( T ) med Poisson-integralen F . Med L ² -resultaten är g den radiella gränsen för nästan alla vinklar av F . Det följer att Hf ( z ) har en radiell gräns nästan överallt. Detta tas som definitionen av Hf på T , så att T _r H f tenderar punktvis till H nästan överallt. Funktionen Hf är av svag L ¹ typ.

Olikheten som används ovan för att bevisa punktvis konvergens för L ^p -funktion med 1 < p < ∞ är meningsfull för L ¹ -funktioner genom att anropa den maximala funktionen. Ojämlikheten blir

$${|H_{\varepsilon }f-T_{1-\varepsilon }Hf|\leq 4f^{*}.}$$

Låta

$${\omega (f)=\limsup _{\varepsilon \to 0}|H_{\varepsilon }f-T_{1-\varepsilon }Hf|.}$$

Om g är jämn, tenderar skillnaden att bli noll överallt, så ω( f − g ) = ω ( f ). Å andra sidan f approximeras godtyckligt nära i L ¹ med jämn g . Sedan

$$m\{x:\,\omega (f)(x)>\lambda \}=m\{x:\,\omega (fg)(x)>\lambda \}\leq m\{x :\,4(fg)^{*}(x)>\lambda \}\leq C\lambda ^{-1}\|fg\|_{1}.$$

Den högra sidan kan göras godtyckligt liten, så att ω ( f ) = 0 nästan överallt. Således tenderar skillnaden för f att bli noll nästan överallt. Ett mer förfinat argument kan ges för att visa att, som i fallet med L ^p , tenderar skillnaden att vara noll vid alla Lebesgue-punkter i f . I kombination med resultatet för den konjugata Poisson-integralen, följer det att, om f är i L ¹ ( T ), så konvergerar H _ε f till Hf nästan överallt, en sats som ursprungligen bevisades av Privalov 1919.

Allmän teori

Calderón & Zygmund (1952) introducerade allmänna tekniker för att studera singulära integraloperatorer av faltningstyp. I Fouriertransform ges operatorerna av multiplikationsoperatorer. Dessa kommer att ge begränsade operatorer på L ² om motsvarande multiplikatorfunktion är begränsad. För att bevisa avgränsning på L ^p -utrymmen, introducerade Calderón och Zygmund en metod för att sönderdela L ¹ -funktioner, och generaliserade F. Riesz ' uppgående sol-lemma . Denna metod visade att operatören definierade en kontinuerlig operator från L ¹ till funktionsutrymmet för svag L ¹ . Marcinkiewiczs interpolationssats och dualitet innebär då att singularintegraloperatorn är begränsad på alla L ^p för 1 < p < ∞. En enkel version av denna teori beskrivs nedan för operatorer på R . Som de Leeuw (1965) visade kan resultat på R härledas från motsvarande resultat för T genom att begränsa multiplikatorn till heltal, eller på motsvarande sätt periodisera operatorns kärna. Motsvarande resultat för cirkeln fastställdes ursprungligen av Marcinkiewicz 1939. Dessa resultat generaliserar till R ⁿ och T ⁿ . De tillhandahåller en alternativ metod för att visa att Riesz-transformerna, de högre Riesz-transformerna och i synnerhet Beurling-transformen definierar avgränsade operatorer på L p- ^rum .

Calderón-Zygmunds nedbrytning

Se även: Rising sun-lemma och Calderón–Zygmund-lemma

Låt f vara en icke-negativ integrerbar eller kontinuerlig funktion på [ a , b ]. Låt I = ( a , b ). För alla öppna delintervall J av [ a , b ] låt f _J beteckna medelvärdet av | f | över J. _ Låt α vara en positiv konstant större än f _I . Dela upp I i ​​två lika intervall (utan mittpunkten). Ett av dessa intervall måste uppfylla f _J < α eftersom deras summa är 2 f _I alltså mindre än 2α. Annars kommer intervallet att uppfylla α ≤ f _J < 2α. Släng sådana intervaller och upprepa halveringsprocessen med det återstående intervallet, kassera intervaller med samma kriterium. Detta kan fortsätta på obestämd tid. De kasserade intervallen är disjunkta och deras förening är en öppen uppsättning Ω. För punkter x i komplementet ligger de i en kapslad uppsättning intervall med längder som minskar till 0 och på var och en av vilka medelvärdet av f begränsas av α. Om f är kontinuerlig tenderar dessa medelvärden att | f ( x )|. Om f bara är integrerbar är detta bara sant nästan överallt, för det är sant vid Lebesgue-punkterna i f av Lebesgues differentieringssats . Således uppfyller f | f ( x )| ≤ α nästan överallt på Ω ^c , komplementet till Ω. Låt J _n vara uppsättningen av kasserade intervall och definiera den "bra" funktionen g av

$${g(x)=\chi _{J_{n}}(f)\,\,\,(x\i J_{n}),\,\,\,\,\,g(x )=f(x)\,\,\,(x\i \Omega ^{c}).}$$

Genom konstruktion | g ( x )| ≤ 2 α nästan överallt och

$${\|g\|_{1}\leq \|f\|_{1}.}$$

Att kombinera dessa två ojämlikheter ger

$${\|g\|_{p}^{p}\leq (2\alpha )^{p-1}\|f\|_{1}.}$$

Definiera den "dåliga" funktionen b med b = f − g . Således b 0 från Ω och lika med f minus dess medelvärde på J _n . Så medeltalet av b på J _n är noll och

$${\|b\|_{1}\leq 2\|f\|_{1}.}$$

Dessutom, eftersom | b | ≥ α på Ω

$${m(\Omega )\leq \alpha ^{-1}\|f\|_{1}.}$$

Nedbrytningen

$$\displaystyle {f(x)=g(x)+b(x)}$$

kallas Calderón–Zygmund-nedbrytningen .

Multiplikatorsats

Se även: Multiplikator (Fourier-analys) och Marcinkiewicz-interpolationssats

Låt K ( x ) vara en kärna definierad på R \{0} så att

$$W(f)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|x|\geq \varepsilon }K(x)f(x) \,dx$$

existerar som en tempererad fördelning för f en Schwartz - funktion . Antag att Fouriertransformen av T är begränsad, så att faltning av W definierar en begränsad operator T på L ² ( R ). Sedan om K uppfyller Hörmanders villkor

$$A=\sup _{y\neq 0}\int _{|x|\geq 2|y|}|K(xy)-K(x)|\,dx<\infty ,$$

då definierar T en begränsad operator på L ^p för 1 < p < ∞ och en kontinuerlig operator från L ¹ till funktioner av svag typ L ¹ .

Faktum är att med Marcinkiewicz interpolationsargument och dualitet, räcker det att kontrollera att om f är smidigt med kompakt stöd då

$$m\{x:\,|Tf(x)|\geq 2\lambda \}\leq (2A+4\|T\|)\cdot \lambda ^{-1}\|f\|_ {1}.$$

Ta en Calderón−Zygmund-nedbrytning av f enligt ovan

$$f(x)=g(x)+b(x)$$

med intervall J _n och med α = λμ , där μ > 0. Då

$$m\{x:\,|Tf(x)|\geq 2\lambda \}\leq m\{x:\,|Tg(x)|\geq \lambda \}+m\{x: \,|Tb(x)|\geq \lambda \}.$$

Termen för g kan uppskattas med hjälp av Chebychevs olikhet :

$$m\{x:\,|Tg(x)|\geq 2\lambda \}\leq \lambda ^{-2}\|Tg\|_{2}^{2}\leq \lambda ^ {-2}\|T\|^{2}\|g\|_{2}^{2}\leq 2\lambda ^{-1}\mu \|T\|^{2}\|f \|_{1}.$$

Om J * definieras som intervallet med samma centrum som J men två gånger så lång, kan termen för b delas upp i två delar:

$$m\{x:\,|Tb(x)|\geq \lambda \}\leq m\{x:\,x\notin \cup J_{n}^{*},\,\,\ ,|Tb(x)|\geq \lambda \}+m(\cup J_{n}^{*}).$$

Den andra termen är lätt att uppskatta:

$$m(\cup J_{n}^{*})\leq \sum m(J_{n}^{*})=2\summa m(J_{n})\leq 2\lambda ^{- 1}\mu ^{-1}\|f\|_{1}.$$

För att uppskatta den första termen notera att

$$b=\sum b_{n},\qquad b_{n}=(f-\mathbf {Av} _{J_{n}}(f))\chi _{J_{n}}.$$

Således av Chebychevs ojämlikhet:

$$m\{x:\,x\notin \cup J_{m}^{*},\,\,\,|Tb(x)|\geq \lambda \}\leq \lambda ^{-1 }\int _{(\cup J_{m}^{*})^{c}}|Tb(x)|\,dx\leq \lambda ^{-1}\summa _{n}\int _{ (J_{n}^{*})^{c}}|Tb_{n}(x)|\,dx.$$

Genom konstruktion är integralen av b _n över J _n noll. Således, om y _n är mittpunkten av J _n , så av Hörmanders villkor:

$$\int _{(J_{n}^{*})^{c}}|Tb_{n}(x)|\,dx=\int _{(J_{n}^{*})^ {c}}\left|\int _{J_{n}}(K(xy)-K(x-y_{n}))b_{n}(y)\,dy\right|\,dx\leq \int _{J_{n}}|b_{n}(y)|\int _{(J_{n}^{*})^{c}}|K(xy)-K(x-y_{n })|\,dxdy\leq A\|b_{n}\|_{1}.$$

Därav

$$m\left\{x:\,x\notin \cup J_{m}^{*},|Tb(x)|\geq \lambda \right\}\leq \lambda ^{-1}A \|b\|_{1}\leq 2A\lambda ^{-1}\|f\|_{1}.$$

Att kombinera de tre uppskattningarna ger

$$m\{x:\,|Tf(x)|\geq \lambda \}\leq \left(2\mu \|T\|^{2}+2\mu ^{-1}+2A \right)\lambda ^{-1}\|f\|_{1}.$$

Konstanten minimeras genom att ta

$$\mu =\|T\|^{-1}.$$

Markinciewicz-interpolationsargumentet utökar gränserna till valfri L ^p med 1 < p < 2 enligt följande. Med en > 0, skriv

$$f=f_{a}+f^{a},$$

där fa ₌ f om | f | < a och 0 annars och f ^a = f om | f | ≥ a och 0 annars. Sedan av Chebychevs ojämlikhet och den svaga typ L ¹ ojämlikheten ovan

$$m\{x:\,|Tf(x)|>a\}\leq m\left\{x:\,|Tf_{a}(x)|>{\tfrac {a}{2} }\right\}+m\left\{x:\,|Tf^{a}(x)|>{\tfrac {a}{2}}\right\}\leq 4a^{-2}\| T\|^{2}\|f_{a}\|_{2}^{2}+Ca^{-1}\|f^{a}\|_{1}.$$

Därav

$${\begin{aligned}\|Tf\|_{p}^{p}&=p\int _{0}^{\infty }a^{p-1}m\{x:\, |Tf(x)|>a\}\,da\\&\leq p\int _{0}^{\infty }a^{p-1}\left(4a^{-2}\|T\ |^{2}\|f_{a}\|_{2}^{2}+Ca^{-1}\|f^{a}\|_{1}\right)da\\&=4 \|T\|^{2}\iint _{|f(x)|<a}|f(x)|^{2}a^{p-3}\,dx\,da+2C\iint _ {|f(x)|\geq a}|f(x)|a^{p-2}\,dx\,da\\&\leq \left(4\|T\|^{2}(2} -p)^{-1}+C(p-1)^{-1}\right)\int |f|^{p}\\&=C_{p}\|f\|_{p}^ {p}.\end{aligned}}$$

Genom dualitet

$$\|Tf\|_{q}\leq C_{p}\|f\|_{q}.$$

Normernas kontinuitet kan visas med ett mer förfinat argument eller följer av Riesz–Thorins interpolationssats .

Anteckningar

• Ahlfors, Lars V. (1966), Lectures on quasiconformal mappings , Van Nostrand Mathematical Studies, vol. 10, Van Nostrand
•   Arias de Reyna, Juan (2002), Pointwise Convergence of Fourier Series , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1785, Springer, ISBN 3540432701
•   Astala, Kari; Iwaniec, Tadeusz ; Martin, Gaven (2009), Elliptiska partiella differentialekvationer och kvasikonformella avbildningar i planet , Princeton Mathematical Series, vol. 48, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-13777-3
•   Bell, Steven R. (1992), The Cauchy transform, potential theory, and conformal mapping , Studies in Advanced Mathematics, CRC Press, ISBN 0-8493-8270-X
• Calderón, Alberto ; Zygmund, Antoni (1952), "Om förekomsten av vissa singulära integraler", Acta Math. , 88 : 85–139, doi : 10.1007/bf02392130
• Calderón, Alberto (1966), "Singular integrals" , Bull. Amer. Matematik. Soc. , 72 (3): 427–465, doi : 10.1090/s0002-9904-1966-11492-1
•   de Leeuw, Karel (1965), "On L ^p multipliers", Ann. av matte. , 81 (2): 364–379, doi : 10.2307/1970621 , JSTOR 1970621
• Devinatz, Allen (1967), On Wiener-Hopf-operatorer , Funktionsanalys (Proc. Conf., Irvine, Calif., 1966), Academic Press, s. 81–118
•   Duoandikoetxea, Javier (2001), Fourier Analysis , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2172-5
• Duren, P. (1970), Theory of H ^p -Spaces , Academic Press
•   Garnett, John B. (2007), Bounded analytic functions , Graduate Texts in Mathematics, vol. 236, Springer, ISBN 978-0-387-33621-3
•   Gohberg, Israel; Krupnik, Naum (1968), "Norm of the Hilbert transformation in the L _p space", Funct. Anal. Appl. , 2 (2): 180–181, doi : 10.1007/BF01075955 , S2CID 121822947
•   Gohberg, Israel; Krupnik, Naum (1992), Endimensionella linjära singularekvationer, I. Introduktion , Operator Theory: Advances and Applications, vol. 53, Birkhäuser, ISBN 3-7643-2584-4
•   Grafakos, Loukas (2008), Classical Fourier Analysis (2:a upplagan), Springer, ISBN 978-0-387-09431-1
• Hörmander, Lars (1960), "Estimates for translation invariant operators in L ^p spaces", Acta Mathematica , 104 (1–2): 93–140, doi : 10.1007/bf02547187
•   Hörmander, Lars (1990), Analysen av linjära partiella differentialoperatorer, I. Distribution theory and Fourier analysis (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-52343-X
• Iwaniec, Tadeusz ; Martin, Gaven (1996), "Riesz transforms and related singular integrals", J. Reine Angew. Matematik. 473 : 25-57
•   Katznelson, Yitzhak (1968), An Introduction to Harmonic Analysis (2nd ed.), Dover Publications , ISBN 9780486633312
•   Krantz, Steven G. (1999), A panorama of harmonic analysis , Carus Mathematical Monographs, vol. 27, Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-031-1
•   Mateu, Joan; Verdera, Joan (2006), "L ^p och svaga L ¹ uppskattningar för den maximala Riesz-transformen och den maximala Beurling-transformen", Math. Res. Lett. , 13 (6): 957–966, arXiv : math/0603077 , doi : 10.4310/mrl.2006.v13.n6.a10 , S2CID 17629849
• Mikhlin, Solomon G. (1965), Multidimensional singular integrals and integral equations , International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics, vol. 83, Pergamon Press
•   Mikhlin, Solomon G. ; Prössdorf, Siegfried (1986), Singular integral operators , Springer-Verlag, ISBN 3-540-15967-3
•   Nikolski, NK (1986), Avhandling om skiftoperatören. Spectral function theory , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 273, Springer-Verlag, ISBN 3-540-15021-8
•   Pressley, Andrew; Segal, Graeme (1986), Loop groups , Oxford University Press, ISBN 0-19-853535-X
•   Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1997), Hardy classes and operator theory , Dover, ISBN 0-486-69536-0
•   Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1994), Ämnen i härdiga klasser och univalenta funktioner , Birkhäuser, ISBN 3-7643-5111-X
•   Segal, Graeme (1981), "Unitary representations of some infinite-dimensional groups", Comm . Matematik. Phys. , 80 (3): 301–342, Bibcode : 1981CMaPh..80..301S , doi : 10.1007/bf01208274 , S2CID 121367853
• Stein, Elias M. (1970), Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions , Princeton University Press
•   Stein, Elías M.; Weiss, Guido L. (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces , Princeton University Press, ISBN 069108078X
•   Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2005), Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces , Princeton Lectures in Analysis, vol. 3, Princeton University Press, ISBN 0691113866
•   Titchmarsh, EC (1939), The Theory of Functions (2:a upplagan), Oxford University Press, ISBN 0198533497
•   Torchinsky, Alberto (2004), Real-Variable Methods in Harmonic Analysis , Dover, ISBN 0-486-43508-3
• Vekua, IN (1962), Generalized analytic functions , Pergamon Press
•   Zygmund, Antoni (1977), Trigonometric Series. Vol. I, II (andra upplagan), Cambridge University Press, ISBN 0-521-07477-0
• Zygmund, Antoni (1971), Intégrales singulières , Lecture Notes in Mathematics, vol. 204, Springer-Verlag