Riesz förvandla

I den matematiska teorin för harmonisk analys är Riesz- transformerna en familj av generaliseringar av Hilbert-transformationen till euklidiska rum med dimension d > 1. De är en typ av singulära integraloperatorer , vilket betyder att de ges av en faltning av en funktion med en annan funktion som har en singularitet vid ursprunget. Specifikt definieras Riesz-transformerna av en funktion ƒ med komplext värde på Rd ^av

R_{j}f(x)=c_{d}\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\mathbf {R} ^{d}\backslash B_{\epsilon }(x)}{\frac {(x_{j}-t_{j})f(t)}{|xt|^{d+1}}}\,dt

()

för j = 1,2,..., d . Konstanten c _d är en dimensionell normalisering som ges av

c_{d}={\frac {1}{\pi \omega _{d-1}}}={\frac {\Gamma [(d+1)/2]}{\pi ^{( d+1)/2}}}.

där ω _{d −1} är volymen av enheten ( d − 1)-kulan . Gränsen skrivs på olika sätt, ofta som ett huvudvärde eller som en faltning med den tempererade fördelningen

K(x)={\frac {1}{\pi \omega _{d-1}}}\,pv{\frac {x_{j}}{|x|^{d+1}} }.

Riesz-transformerna uppstår i studiet av differentieringsegenskaper hos harmoniska potentialer i potentialteori och övertonsanalys . I synnerhet uppstår de i beviset för Calderón-Zygmund-ojämlikheten ( Gilbarg & Trudinger 1983, §9.4).

Multiplikatoregenskaper

Riesz-transformerna ges av en Fouriermultiplikator . Fouriertransformen av R _j ƒ ges faktiskt av

{\mathcal {F}}(R_{j}f)(x)=-i{\frac {x_{j}}{|x|}}({\mathcal {F}}f)(x ).

I denna form ses Riesz-transformerna vara generaliseringar av Hilbert-transformen . Kärnan är en fördelning som är homogen av grad noll. ^En speciell konsekvens av denna sista observation är att Riesz-transformen definierar en avgränsad linjär operator från L ² ( Rd ) till sig själv.

Denna homogenitetsegenskap kan också anges mer direkt utan hjälp av Fouriertransformen. Om σ _s är utvidgningen på Rd av skalären ^s , det vill säga σ _s x = sx , så definierar σ _s en åtgärd på funktioner via pullback :

\sigma _{s}^{*}f=f\circ \sigma _{s}.

Riesz transformerar pendling med σ _s :

\sigma _{s}^{*}(R_{j}f)=R_{j}(\sigma _{x}^{*}f).

På samma sätt Riesz-transformerna pendlar med översättningar. Låt τ _a vara translationen på R ^d längs vektorn a ; det vill säga τ _a ( x ) = x + a . Sedan

\tau _{a}^{*}(R_{j}f)=R_{j}(\tau _{a}^{*}f).

För den slutliga egenskapen är det lämpligt att betrakta Riesz-transformerna som en enda vektoriell enhet R ƒ = ( R ₁ ƒ,..., R _d ƒ). Betrakta en rotation ρ i R ^d . Rotationen verkar på rumsliga variabler, och därmed på funktioner via pullback. Men den kan också verka på den rumsliga vektorn R ƒ. Den slutliga transformationsegenskapen hävdar att Riesz-transformen är ekvivariant med avseende på dessa två åtgärder; det är,

\rho ^{*}R_{j}[(\rho ^{-1})^{*}f]=\summa _{k=1}^{d}\rho _{jk}R_{ K F.

Dessa tre egenskaper karaktäriserar faktiskt Riesz-transformen i följande mening. Låt T =( T ₁ ,..., T _d ) vara en d -tupel av avgränsade linjära operatorer från L ² ( R ^d ) till L ² ( R ^d ) så att

T pendlar med alla utvidgningar och översättningar.
T är ekvivariant med avseende på rotationer.

Sedan, för någon konstant c , T = cR .

Släktskap med laplacianen

Något oprecist ger Riesz-transformerna av $f$ de första partiella derivatorna av en lösning av ekvationen

{(-\Delta )^{\frac {1}{2}}u=f},

där Δ är Laplacian. Riesz-transformen av $f$ kan alltså skrivas som:

{Rf=\nabla (-\Delta )^{-{\frac {1}{2}}}f}

I synnerhet bör man också ha

R_{i}R_{j}\Delta u=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_ {i}\partial x_{j}}},

så att Riesz-transformerna ger ett sätt att återvinna information om hela Hessian av en funktion från kunskap om endast dess Laplacian.

Detta har nu gjorts mer exakt. Antag att $u$ är en Schwartz-funktion . Då har man faktiskt genom den explicita formen av Fouriermultiplikatorn

R_{i}R_{j}(\Delta u)=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.

Identiteten är i allmänhet inte sann i betydelsen distributioner . Till exempel, om $u$ är en tempererad fördelning så att $\Delta u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{d})$ , då kan man bara dra slutsatsen att

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{ j}}}=-R_{i}R_{j}\Delta u+P_{ij}(x)

för något polynom $P_{ij}$ .

Se även

Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order , New York: Springer, ISBN 3-540-41160-7 .
Stein, Elias (1970), Singular integraler och funktioners differentiabilitetsegenskaper , Princeton University Press .
Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X .
Arcozzi, N. (1998), Riesz Transform on spheres and compact Lie groups , New York: Springer, doi : 10.1007/BF02384766 , ISSN 0004-2080 , S2CID 119919955 .