Carleson mått

Inom matematik är ett Carlesonmått en typ av ^mått på delmängder av det n - dimensionella euklidiska rummet Rn . Grovt sett är ett Carlesonmått på en domän Ω ett mått som inte försvinner vid gränsen för Ω jämfört med ytmåttet på gränsen för Ω.

Carleson-mått har många tillämpningar inom harmonisk analys och teorin om partiella differentialekvationer , till exempel i lösningen av Dirichlet-problem med "grov" gräns. Carleson-tillståndet är nära relaterat till Poisson- operatorns avgränsning . Carlesonmåtten är uppkallade efter den svenske matematikern Lennart Carleson .

Definition

Låt n ∈ N och låt Ω ⊂ R ⁿ vara en öppen (och därmed mätbar ) mängd med icke-tom gräns ∂Ω. Låt μ vara ett Borelmått på Ω, och låt σ beteckna ytmåttet på ∂Ω. Måttet μ sägs vara ett Carlesonmått om det finns en konstant C > 0 så att för varje punkt p ∈ ∂Ω och varje radie r > 0,

$\mu \left(\Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right )\leq C\sigma \left(\partial \Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right),$

var

$\mathbb {B} _{r}(p):=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\left|\|xp\ |_{\mathbb {R} ^{n}}<r\right.\right\}$

betecknar den öppna kulan med radie r ca p .

Carlesons sats om Poisson-operatorn

Låt D beteckna enhetsskivan i det komplexa planet C , utrustad med något Borelmått μ . För 1 ≤ p < +∞, låt H ^p (∂ D ) beteckna Hardy-utrymmet på gränsen för D och låt L ^p ( D , μ ) beteckna L ^{p -} utrymmet på D med avseende på måttet μ . Definiera Poisson-operatorn

$P:H^{p}(\partial D)\to L^{p}(D,\mu )$

förbi

$P(f)(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\mathrm {Re} {\frac {e^{it}+ z}{e^{it}-z}}f(e^{it})\,\mathrm {d} t.$

Då är P en avgränsad linjär operator om och endast om måttet μ är Carleson.

Andra relaterade begrepp

Infimum av den uppsättning konstanter C > 0 för vilken Carleson - villkoret

$\forall r>0,\forall p\in \partial Omega ,\mu \left(\Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right)\leq C\sigma \left(\partial \Omega \cap \mathbb {B} _{r}( p)\right)$

håller är känd som Carlesonnormen för måttet μ .

Om C ( R ) definieras som infimum av mängden av alla konstanter C > 0 för vilka det begränsade Carleson-villkoret

$\forall r)\in (0,R)\in ( ,\forall p\in \partial \Omega ,\mu \left(\Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right)\leq C\sigma \left(\partial \Omega \cap \ mathbb {B} _{r}(p)\right)$

gäller, då sägs måttet μ uppfylla det försvinnande Carleson-villkoret om C ( R ) → 0 som R → 0.

•   Carleson, Lennart (1962). "Interpolationer av avgränsade analytiska funktioner och coronaproblemet". Ann. av matte. 76 (3): 547–559. doi : 10.2307/1970375 . MR 0141789 .

externa länkar

• Mortini, R. (2001) [1994], "Carleson measure" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press