Shapiro–Francia test

Shapiro –Francia-testet är ett statistiskt test för normaliteten hos en population, baserat på provdata. Det introducerades av SS Shapiro och RS Francia 1972 som en förenkling av Shapiro-Wilk-testet .

Teori

Låt $x_{(i)}$ vara det $i$ -te ordnade värdet från vårt storleks- $n$ -exempel. Till exempel, om provet består av värdena $\left\{5.6,-1.2,7.8,3.4\right\}$ , $x_{(2)}=3.4$ , eftersom det är det näst lägsta värdet. Låt $m_{i:n}$ vara medelvärdet av ${\displaystyle i}:$ e ordningens statistik när man gör $n$ oberoende drag från en normalfördelning . Till exempel, ${\displaystyle m_{2:4}\approx -0,297},$ vilket betyder att det näst lägsta värdet i ett urval av fyra drag från en normalfördelning vanligtvis är cirka 0,297 standardavvikelser under betyda. Bilda Pearsons korrelationskoefficient mellan $x$ och $m$ :

$W'={\frac {\operatörsnamn {cov} (x,m)}{\sigma _{x}\sigma _{ m}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{(i)}-{\bar {x}})(m_{i}-{\bar {m}} )}{\sqrt {\left(\sum _{i=1}^{n}(x_{(i)}-{\bar {x}})^{2}\right)\left(\summa _ {i=1}^{n}(m_{i}-{\bar {m}})^{2}\right)}}}$

Under nollhypotesen att data hämtas från en normalfördelning kommer denna korrelation att vara stark, så ${\displaystyle W'}-$ värden kommer att klusta strax under 1, där toppen blir smalare och närmare 1 som $n$ ökar. Om data avviker kraftigt från en normalfördelning blir ${\displaystyle W'} mindre.$

Detta test är en formalisering av den äldre praxisen att bilda en Q–Q-plot för att jämföra två fördelningar, där $x$ spelar rollen som kvantilpunkterna i provfördelningen och $m$ spelar rollen roll för motsvarande kvantilpunkter i en normalfördelning .

Jämfört med Shapiro–Wilk- teststatistiken ${\displaystyle W} är$ Shapiro–Francia-teststatistiken $W'$ lättare att beräkna, eftersom den inte kräver att vi bildar och inverterar matrisen av kovarianser mellan ordning och reda. statistik.

Öva

Det finns inget känt analytiskt uttryck i sluten form för värdena för $m_{i:n}$ som krävs av testet. Det finns dock flera approximationer som är tillräckliga för de flesta praktiska ändamål.

Den exakta formen av nollfördelningen av $W'$ är endast känd för $n=3$ . Monte-Carlo- simuleringar har visat att den transformerade statistiken $\ln(1-W')$ är nästan normalfördelad, med värden på medelvärdet och standardavvikelsen som varierar långsamt med ${\ displaystyle n}$ i en lätt parametrerad form.

Kraft

Jämförelsestudier har kommit fram till att orderstatistiska korrelationstest som Shapiro–Francia och Shapiro–Wilk är bland de mest kraftfulla av de etablerade statistiska testerna för normalitet . Man kan anta att den kovariansjusterade viktningen av olika ordningsstatistik som används av Shapiro–Wilk-testet borde göra det något bättre, men i praktiken är varianterna Shapiro–Wilk och Shapiro–Francia ungefär lika bra. Faktum är att Shapiro-Francia-varianten faktiskt uppvisar mer kraft för att särskilja någon alternativ hypotes.