Sekvenstäckande karta

Inom matematiken , närmare bestämt topologi , är en sekvenstäckande karta vilken som helst av en klass av kartor mellan topologiska utrymmen vars definitioner alla på något sätt relaterar sekvenser i koddomänen till sekvenser i domänen . Exempel inkluderar sekventiellt kvoterade kartor, sekvenstäckningar , 1-sekvenstäckningar och 2-sekvenstäckningar . Dessa klasser av kartor är nära besläktade med sekventiella utrymmen . Om domänen och/eller samdomänen har vissa ytterligare topologiska egenskaper (ofta är utrymmena som Hausdorff och först-räknebara är mer än tillräckligt) så blir dessa definitioner ekvivalenta med andra välkända klasser av kartor, såsom öppna kartor eller kvotkartor , till exempel. I dessa situationer kan karakteriseringar av sådana egenskaper i termer av konvergenta sekvenser ge fördelar liknande de som tillhandahålls av till exempel karakteriseringen av kontinuitet i termer av sekventiell kontinuitet eller karakterisering av kompakthet i termer av sekventiell kompaktitet (när sådana karakteriseringar gäller ).

Definitioner

Förberedelser

Huvudartiklar: Sekventiellt utrymme och Fréchet–Urysohn-utrymme

En delmängd $S$ av $(X,\tau )$ sägs vara sekventiellt öppen i $(X,\tau )$ om en sekvens i $X$ (i $(X,\tau )$ ) till någon punkt som hör till $S,$ så är den sekvensen nödvändigtvis i S $\ displaystyle S}$ (dvs högst ändligt många punkter i sekvensen hör inte till $S$ ). Uppsättningen $\operatorname {SeqOpen} (X,\tau )$ av alla sekventiellt öppna delmängder av $(X,\tau )$ bildar en topologi på $X$ som är finare än $X$ s givna topologi $\tau .$ Per definition kallas ${\displaystyle (X,\tau )} ett$ sekventiellt mellanslag om $\tau =\operatörsnamn {SeqOpen} (X,\tau ).$ Givet en sekvens $x_{\bullet }$ i $X$ och en punkt $x\in X,$$x_{\bullet }\to x$ in $(X,\tau )$ om och endast om $x_ {\bullet }\to x$ i $(X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau )).$ Dessutom är $\operatorname {SeqOpen} (X,\tau )$ den finaste topologin på $X$ för vilken denna karaktärisering av sekvenskonvergens i $(X,\tau )$ gäller.

En karta $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ kallas sekventiellt kontinuerlig om $f:(X,\operatörsnamn {SeqOpen} (X,\tau ))\till (Y,\operatörsnamn {SeqOpen} (Y,\sigma ))$ är kontinuerlig , vilket händer om och endast om för varje sekvens $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1 }^{\infty }$ i $X$ och varje $x\in X,$ om $x_{\bullet }\to x$ i $(X,\tau )$ sedan nödvändigtvis $f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)$ i $(Y,\sigma ).$ Varje kontinuerlig karta är sekventiellt kontinuerlig, men i allmänhet kan det omvända misslyckas. Faktum är att ett mellanslag $(X,\tau )$ är ett sekventiellt utrymme om och bara om det har följande universella egenskap för sekventiella utrymmen :

för varje topologiskt utrymme $(Y,\sigma )$ och varje karta $f:X\to Y,$ kartan $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ är kontinuerlig om och endast om den är sekventiellt kontinuerlig.

Den sekventiella stängningen i $(X,\tau )$ av en delmängd $S\subseteq X$ är mängden $\operatorname { scl} _{(X,\tau )}S$ som består av alla $x\in X$ för vilka det finns en sekvens i $S$ som konvergerar till $x$ i $(X,\tau ).$ En delmängd $S\subseteq X$ kallas sekventiellt sluten i $(X,\tau )$ om $S=\operatorname {scl} _{(X,\tau )}S,$ vilket händer om och endast om närhelst en sekvens i $S$ konvergerar i $(X,\tau )$ till någon punkt $x\in X$ då nödvändigtvis $x\in S.$ Mellanrummet $(X,\tau )$ kallas ett Fréchet–Urysohn-utrymme om $\operatorname {scl } _{X}S~=~\operatörsnamn {cl} _{X}S$ för varje delmängd $S\subseteq X,$ vilket händer om och endast om varje delrum av $(X,\tau )$ är ett sekventiellt mellanslag. Varje första-räknebart utrymme är ett Fréchet–Urysohn-utrymme och därmed också ett sekventiellt utrymme. Alla pseudometriserbara utrymmen , metriserbara utrymmen och andra räkningsbara utrymmen är första-räknebara.

Sekvensbeläggningar

En sekvens ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} i en mängd$ X $\ displaystyle X}$ är per definition en funktion $x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X$ vars värde vid $i\in \mathbb {N}$ betecknas med $x_{i}$ (även om den vanliga notationen som används med funktioner, såsom parenteser $x_{\bullet }(i)$ eller sammansättning ${ \displaystyle f\circ x_{\bullet },}$ kan användas i vissa situationer för att förbättra läsbarheten). Påståenden som "sekvensen $x_{\bullet }$ är injektiv " eller " bilden (dvs. intervallet) $\operatorname {Im} x_{\bullet }$ av en sekvens $x_{\bullet }$ är oändlig" liksom annan terminologi och notation som är definierad för funktioner kan alltså appliceras på sekvenser. En sekvens $s_{\bullet }$ sägs vara en undersekvens av en annan sekvens $x_{\bullet }$ om det finns en strikt ökande karta $l_ {\bullet }:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ (eventuellt betecknad med $l_{\bullet }=\left(l_{k}\ höger)_{k=1}^{\infty }$ istället) så att $s_{k}=x_{l_{k}}$ för varje $k \in \mathbb {N} ,$ där detta villkor kan uttryckas i termer av funktionssammansättning $\circ$ som: $s_{\bullet }=x_{\bullet }\circ l_{\bullet }.$ Som vanligt, om $x_{l_{\bullet } }=\left(x_{l_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }$ förklaras vara (som per definition) en följd av $x_{\bullet }$ då bör det omedelbart antas att $l_{\bullet }:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ är strikt ökande. Notationen $x_{\bullet }\subseteq S$ och $\operatorname {Im} x_{\bullet }\subseteq S$ betyder att sekvensen ${\ displaystyle x_{\bullet }}$ värderas i mängden $S.$

Funktionen $f:X\to Y$ kallas en sekvens som täcker om det för varje konvergent sekvens $y_{\bullet }$ i $Y,$ finns en sekvens $x_{\bullet }\subseteq X$ så att $y_{\bullet }=f\circ x_{\bullet }.$ Det kallas en 1-sekvens som täcker om det för varje $y\in Y$ finns några $x\in f^{-1}(y)$ så att varje sekvens $y_{\bullet }\subseteq Y$ som konvergerar till $y$ i $(Y,\sigma ),$ det finns en sekvens $x_{\bullet }\subseteq X$ så att $y_{\ bullet }=f\circ x_{\bullet }$ och $x_{\bullet }$ konvergerar till $x$ i $(X,\tau ).$ Det är en 2-sekvens som täcker om $f:X\to Y$ är surjektiv och även för varje $y\in Y$ och varje $x\in f^{-1}(y),$ varje sekvens $y_{\bullet }\subseteq Y$ och konvergerar till $y$ i $(Y,\sigma ),$ finns det en sekvens $x_{\bullet }\subseteq X$ så att $y_{\bullet }=f\circ x_{\bullet }$ och $x_{\bullet }$ konvergerar till $x$ i $(X,\tau ).$ En karta $f:X\to Y$ är en kompakt beläggning om det för varje kompakt $K\subseteq Y$ finns några kompakt delmängd $C\subseteq X$ så att $f(C)=K.$

Sekventiella kvotmappningar

I analogi med definitionen av sekventiell kontinuitet kallas en karta $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ en sekventiell kvotmapp om

$f:(X,\operatörsnamn {SeqOpen} (X,\tau ))\to (Y, \operatörsnamn {SeqOpen} (Y,\sigma ))$

är en kvotmapp , som händer om och endast om för någon delmängd $S\subseteq Y,$$S$ är sekventiellt öppen $(Y,\sigma )$ om och endast om detta är sant för $f^{-1}(S)$ i $(X,\tau ).$ Sekventiella kvotkartor introducerades i Boone & Siwiec 1976 som definierade dem enligt ovan.

Varje sekventiell kvotmapp är nödvändigtvis surjektiv och sekventiellt kontinuerlig även om de kanske misslyckas med att vara kontinuerliga. Om $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ är en sekventiell kontinuerlig surjektion vars domän $( X,\tau )$ är ett sekventiellt mellanslag , då är $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ en kvotmapp om och endast om $(Y,\sigma )$ är ett sekventiellt mellanslag och $f:(X,\tau )\to ( Y,\sigma )$ är en sekventiell kvotkarta.

Anropa ett mellanslag $(Y,\sigma )$ sekventiellt Hausdorff if $(Y,\operatörsnamn {SeqOpen} (Y,\sigma ))$ är ett Hausdorff-utrymme . På ett analogt sätt kan en "sekventiell version" av alla andra separationsaxiom definieras i termer av huruvida mellanrummet $(Y,\operatornamn {SeqOpen} (Y) eller inte ,\sigma ))$ besitter det. Varje Hausdorff-utrymme är nödvändigtvis sekventiellt Hausdorff. Ett sekventiellt utrymme är Hausdorff om och endast om det är sekventiellt Hausdorff.

Om $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ är en sekventiell kontinuerlig surjektion då antas att $(Y,\sigma )$ är sekventiellt Hausdorff, följande är ekvivalenta:

1. $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ är sekventiell kvotient.
2. När $y_{\bullet }\to y$ är en konvergent sekvens i $Y$ så finns det en konvergent sekvens $x_{\bullet }\to x$ i $X$ så att $f(x)=y$ och $f\circ x_{\bullet }$ är en följd av $y_{\bullet }.$
3. När $y_{\bullet }$ är en konvergent sekvens i $Y$ så finns det en konvergent sekvens $x_{\bullet }$ i $X$ så att $f\circ x_{\bullet }$ är en följd av $y_{\bullet }.$
   • Detta uttalande skiljer sig från (2) ovan endast genom att det inte finns några krav på gränserna för sekvenserna (vilket blir en viktig skillnad endast när $Y$ inte är sekventiellt Hausdorff).
   • Om $f:X\to Y$ är en kontinuerlig insprutning på ett sekventiellt kompakt utrymme $Y$ så gäller detta villkor även om $Y$ inte är sekventiellt Hausdorff.

Om antagandet att $Y$ är sekventiellt Hausdorff skulle tas bort, skulle påstående (2) fortfarande antyda de två andra påståendena, men ovanstående karaktärisering skulle inte längre garanteras att gälla (om punkter i koddomänen var måste vara sekventiellt stängd, så skulle varje sekventiell kvotmapp nödvändigtvis uppfylla villkor (3)). Detta förblir sant även om det sekventiella kontinuitetskravet på $f:X\to Y$ stärktes för att kräva (vanlig) kontinuitet. Istället för att använda den ursprungliga definitionen, definierar vissa författare "sekventiell kvotkarta" för att betyda en kontinuerlig surjection som uppfyller villkor (2) eller alternativt villkor (3). Om koddomänen är sekventiellt Hausdorff så skiljer sig dessa definitioner från originalet endast i det tillagda kravet på kontinuitet (snarare än att bara kräva sekventiell kontinuitet).

Kartan $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ kallas presequential if för varje konvergent sekvens $y_{\bullet }\to y$ i $(Y,\sigma )$ så att $y_{\bullet }$ till slut inte är lika med $y,$ mängden $\bigcup _{\stackrel {i\in \mathbb {N} ,}{y_{i}\neq y}}f ^{-1}\left(y_{i}\right)$ stängs inte sekventiellt i $(X,\tau ),$ där denna uppsättning också kan beskrivas som:

$_ \displaystyle \bigcup _{\stackrel {i\in \mathbb {N} ,}{y_{i}\neq y}}f^{-1}\left(y_{i}\right)~=~f^ {-1}\left(\left(\operatörsnamn {Im} y_{\bullet}\right)\setminus \{y\}\right)~=~f^{-1}\left(\operatörsnamn {Im} y_{\bullet }\right)\setminus f^{-1}(y)}$

På motsvarande sätt $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ presekventiell om och endast om för varje konvergent sekvens ${ \displaystyle y_{\bullet }\to y}$ i $(Y,\sigma )$ så att $y_{\bullet }\subseteq Y\ setminus \{y\},$ mängden $f^{-1}\left(\operatörsnamn {Im} y_{\bullet }\right)$ stängs inte sekventiellt i $(X,\tau ).$

En surjektiv karta $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ mellan Hausdorff-utrymmen är sekventiell kvotient om och endast om den är sekventiellt kontinuerlig och en presekventiell karta.

Karakteriseringar

Om $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ är en kontinuerlig surjektion mellan två först-räknebara Hausdorff -mellanrum så är följande påståenden Sann:

• $f$ är nästan öppen om och bara om det är en 1-sekvens täckning.
  • En nästan öppen karta är surjektiv karta $f:X\to Y$ med egenskapen att för varje $y\in Y,$ finns det några $x\in f^{-1}(y)$ så att $x$ är en öppenhetspunkt för $f,$ vilket per definition betyder att för varje öppet område $U$ av $x,$$f(U)$ är en grannskap av $f(x)$ i $Y.$
• $f$ är en öppen karta om och bara om det är en 2-sekvens täckning.
• Om $f$ är en kompakt täckande karta så är $f$ en kvotkarta.
• Följande är likvärdiga:
  1. $f$ är en kvotkarta.
  2. $f$ är en sekventiell kvotmapp.
  3. $f$ är en sekvenstäckning.
  4. $f$ är en pseudoöppen karta.
     • En karta $f:X\to Y$ kallas pseudoöppen om för varje $y\in Y$ och varje öppet område $U$ av $f^{-1}(y)$ (betyder en öppen delmängd $U$ så att $f^{-1}(y)\ subseteq U$ ), $y$ tillhör nödvändigtvis interiören ( tagen i $Y$ ) av $f(U).$

  och om dessutom både $X$ och $Y$ är separerbara metriska utrymmen kan den här listan läggas till:

  5. $f$ är en ärftlig kvotkarta .

Egenskaper

Följande är en tillräcklig förutsättning för att en kontinuerlig surjektion ska vara sekventiellt öppen, vilket med ytterligare antaganden resulterar i en karakterisering av öppna kartor . Antag att $f:X\to Y$ är en kontinuerlig överblick från ett reguljärt utrymme $X$ på ett Hausdorff-utrymme $Y.$ Om begränsningen $f{\big \vert }_{U}:U\to f(U)$ är sekventiell kvotient för varje öppen delmängd $U$ av $X$ sedan $f:X\to Y$ mappar öppna delmängder av $X$ till sekventiellt öppna delmängder av $Y.$ Följaktligen, om $X$ och $Y$ också är sekventiella mellanslag , då är $f:X\to Y$ en öppen karta om och endast om $f{\big \vert }_{U}:U\to f(U)$ är sekventiell kvot (eller motsvarande kvot ) för varje öppen delmängd $U$ av $X.$

Givet ett element $y\in Y$ i codomänen för en (inte nödvändigtvis surjektiv) kontinuerlig funktion $f:X\to Y,$ ger följande ett tillräckligt villkor för $y$ ska tillhöra $f$ s bild: $y\in \operatorname {Im} f:=f(X).$ En familj ${\mathcal {B}}$ av delmängder av ett topologiskt utrymme $(X) ,\tau )$ sägs vara lokalt ändlig i en punkt $x\in X$ om det finns någon öppen grannskap $U$ av $x$ så att mängden ${\displaystyle \left\{B\in {\mathcal {B}}~:~U\cap B\neq \varnothing \right\}} är ändlig$ . Antag att $f:X\to Y$ är en kontinuerlig karta mellan två Hausdorff först-räknade rum och låt $y\in Y.$ Om det finns en sekvens $y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1} ^{\infty }$ i $Y$ så att (1) $y_{\bullet }\to y$ och (2) det finns några $x\in X$ så att $\left\{f^{-1}\left(y_{i}\right)~:~i\in \mathbb {N } \right\}$ är inte lokalt ändlig vid $x,$ då $y\in \operatorname {Im} f=f(X).$ Det omvända är sant om det inte finns någon punkt där $f$ är lokalt konstant ; det vill säga om det inte finns någon icke-tom öppen delmängd av $X$ där $f$ begränsar till en konstant karta.

Tillräckliga förutsättningar

Antag $f:X\to Y$ är en kontinuerlig öppen surjektion från ett första-räknebart utrymme $X$ till ett Hausdorff-utrymme $Y,$ låt ${ \displaystyle D\subseteq Y}$ vara vilken icke-tom delmängd som helst, och låt $y\in \operatorname {cl} _{Y}D$ där $\operatorname { cl} _{Y}D$ betecknar stängningen av $D$ i $Y.$ Sedan givet valfritt $x,z\in f^{-1}(y)$ och valfri sekvens $x_{\bullet }$ i $f^{-1}(D)$ som konvergerar till $x,$ finns det en sekvens $z_{\bullet }$ i $f^{-1}(D)$ som konvergerar till $z$ samt en undersekvens $\left(x_{l_{ k}}\right)_{k=1}^{\infty }$ av $x_{\bullet }$ så att $f(z_ {k})=f\left(x_{l_{k}}\right)$ för alla $k\in \mathbb {N} .$ I korthet anger detta att givet en konvergent sekvens $x_{\bullet }\subseteq f^{-1}(D )$ så att $x_{\bullet }\to x$ sedan för alla andra $z\in f^{-1}(f( x))$ som tillhör samma fiber som $x,$ är det alltid möjligt att hitta en underföljd $x_{l_{\bullet }} =\left(x_{l_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }$ så att ${\displaystyle f \circ x_{l_{\bullet }}=\left(f\left(x_{l_{k}}\right)\right)_{k=1}^{\infty }} kan "lyftas"$ av $f$ till en sekvens som konvergerar till $z.$

Följande visar att under vissa förhållanden räcker kartans fiber som är en räknebar uppsättning för att garantera förekomsten av en punkt av öppenhet . Om $f:X\to Y$ är en sekvens som täcker från ett Hausdorff- sekventiellt utrymme $X$ till ett Hausdorff -försträknat utrymme $Y$ och om ${ \displaystyle y\in Y}$ är sådan att fibern $f^{-1}(y)$ är en räknebar mängd, då finns det några ${\ displaystyle x\in f^{-1}(y)}$ så att $x$ är en öppenhetspunkt för $f:X\to Y.$ Följaktligen, om $f:X\to Y$ är en kvotmapp mellan två Hausdorff första-räknebara utrymmen och om varje fiber i $f$ är räknebar, då är $f:X\to Y$ en nästan öppen karta och följaktligen också en 1-sekvenstäckning.

Se även

• Fréchet–Urysohn utrymme
• Öppna karta – En funktion som skickar öppna (resp. stängda) delmängder till öppna (resp. stängda) delmängder Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Perfekt karta – Kontinuerlig sluten surjektiv karta, vars fibrer också är kompakta uppsättningar
• Korrekt karta – Karta mellan topologiska utrymmen med egenskapen att förbilden av varje kompakt är kompakt
• Sekventiellt utrymme – Topologiskt utrymme kännetecknat av sekvenser
• Sekventiellt kompakt utrymme – Topologiskt utrymme där varje sekvens har en konvergent undersekvens.

Citat

•   Arkhangel'skii, AV (1966). "Mappningar och utrymmen" (PDF) . Ryska matematiska undersökningar . 21 (4): 115–162. Bibcode : 1966RuMaS..21..115A . doi : 10.1070/RM1966v021n04ABEH004169 . ISSN 0036-0279 . Hämtad 10 februari 2021 .
•   Akiz, Hürmet Fulya; Koçak, Lokman (2019). "Sekventiellt Hausdorff och hela sekventiellt Hausdorff-utrymmen" . Kommunikation Naturvetenskapliga fakulteten University of Ankara Series A1Matematik och statistik . 68 (2): 1724–1732. doi : 10.31801/cfsuasmas.424418 . ISSN 1303-5991 . Hämtad 10 februari 2021 .
•   Boone, James (1973). "En anteckning om mesokompakta och sekventiellt mesokompakta utrymmen" . Pacific Journal of Mathematics . 44 (1): 69–74. doi : 10.2140/pjm.1973.44.69 . ISSN 0030-8730 .
•   Boone, James R.; Siwiec, Frank (1976). "Sekventiella kvotmappningar" . Tjeckoslovakisk matematisk tidskrift . 26 (2): 174–182. doi : 10.21136/CMJ.1976.101388 . ISSN 0011-4642 .
•   Çakallı, Hüseyin (2012). "Sekventiella definitioner av anknytning" . Tillämpade matematikbokstäver . 25 (3): 461–465. doi : 10.1016/j.aml.2011.09.036 . ISSN 0893-9659 .
•   Foged, L. (1985). "En karaktärisering av slutna bilder av metriska utrymmen" . Proceedings of the American Mathematical Society . 95 (3): 487. doi : 10.1090/S0002-9939-1985-0806093-3 . ISSN 0002-9939 .
•   Franklin, S. (1965). "Utrymmen där sekvenser räcker till" . Fundamenta Mathematicae . 57 (1): 107–115. doi : 10.4064/fm-57-1-107-115 . ISSN 0016-2736 .
•   Gruenhage, Gary; Michael, Ernest; Tanaka, Yoshio (1984). "Utrymmen bestäms av punkträknade omslag" . Pacific Journal of Mathematics . 113 (2): 303–332. doi : 10.2140/pjm.1984.113.303 . ISSN 0030-8730 .
•   Lin, Shou; Yan, Pengfei (2001). "Sekvenstäckande kartor över metriska utrymmen" . Topologi och dess tillämpningar . 109 (3): 301–314. doi : 10.1016/S0166-8641(99)00163-7 . ISSN 0166-8641 .
•   Michael, EA (1972). "En femdubbla kvotuppdrag" . Allmän topologi och dess tillämpningar . 2 (2): 91–138. doi : 10.1016/0016-660X(72)90040-2 . ISSN 0016-660X .
•   Olson, Roy C. (1974). "Kartor med två kvoter, uträkneligt bi-sekventiella utrymmen och relaterade ämnen" . Allmän topologi och dess tillämpningar . 4 (1): 1–28. doi : 10.1016/0016-660X(74)90002-6 . ISSN 0016-660X .
•    Shou, Lin; Chuan, Liu; Mumin, Dai (1997). "Bilder på lokalt separerbara metriska utrymmen". Acta Mathematica Sinica . 13 (1): 1–8. doi : 10.1007/BF02560519 . ISSN 1439-8516 . S2CID 122383748 .
•   Siwiec, Frank (1971). "Sekvens-täckande och räkneligt bi-kvotmappningar" . Allmän topologi och dess tillämpningar . 1 (2): 143–154. doi : 10.1016/0016-660X(71)90120-6 . ISSN 0016-660X .
•   Siwiec, Frank; Mancuso, Vincent J. (1971). "Relationer mellan vissa kartläggningar och villkor för deras likvärdighet" . Allmän topologi och dess tillämpningar . 1 (1): 33–41. doi : 10.1016/0016-660X(71)90108-5 . ISSN 0016-660X .