Perfekt karta

Inom matematiken , särskilt topologin , är en perfekt karta en speciell typ av kontinuerlig funktion mellan topologiska rum . Perfekta kartor är svagare än homeomorfismer , men tillräckligt starka för att bevara vissa topologiska egenskaper som lokal kompakthet som inte alltid bevaras av kontinuerliga kartor.

Formell definition

Låt $X$ och $Y$ vara topologiska rum och låt $p$ vara en karta från $X$ till $Y$ som är kontinuerlig , stängd , surjektiv och så att varje fiber $p^{-1}(y)$ är kompakt i förhållande till $X$ för varje $y$ i $Y$ . Då $p$ känd som en perfekt karta.

Exempel och egenskaper

1. Om $p\colon X\to Y$ är en perfekt karta och $Y$ är kompakt , då är $X$ kompakt.
2. Om $p\colon X\to Y$ är en perfekt karta och $X$ är regelbunden , då är $Y$ regelbunden. (Om $p$ bara är kontinuerlig, så även om $X$ är regelbunden, behöver $Y$ inte vara regelbunden. Ett exempel på detta är om $X$ är en vanlig space och $Y$ är en oändlig mängd i den indiskreta topologin.)
3. Om $p\colon X\to Y$ är en perfekt karta och om $X$ är lokalt kompakt så är $Y$ lokalt kompakt.
4. Om $p\colon X\to Y$ är en perfekt karta och om $X$ är andra räkningsbar, då är $Y$ andra räkningsbar .
5. Varje injektiv perfekt karta är en homeomorfism . Detta följer av det faktum att en bijektiv sluten karta har en kontinuerlig invers.
6. Om $p\colon X\to Y$ är en perfekt karta och om $Y$ är ansluten , behöver inte $X$ kopplas. Till exempel är den konstanta kartan från ett kompakt frånkopplat utrymme till ett singleton-utrymme en perfekt karta.
7. En perfekt karta behöver inte vara öppen. Tänk faktiskt på kartan $p\colon [1,2]\cup [3,4]\to [1,3]$ ges av $p(x)=x$ om $x\in [1,2]$ och $p(x)=x-1$ om $x\in {}[3,4]$ . Denna karta är stängd, kontinuerlig (genom att klistra in lemma ) och surjektiv och är därför en perfekt karta (det andra villkoret är trivialt uppfyllt). Men p är inte öppen, för bilden av [1, 2] under p är [1, 2] som inte är öppen i förhållande till [1, 3] (intervallet för p ). Observera att den här kartan är en kvotkarta och att kvotoperationen "limmar" två intervaller.
8. Lägg märke till hur, för att bevara egenskaper som lokal koppling , andra räknebarhet, lokal kompakthet etc. ... kartan inte bara måste vara kontinuerlig utan också öppen. En perfekt karta behöver inte vara öppen (se tidigare exempel), men dessa egenskaper är fortfarande bevarade under perfekta kartor.
9. Varje homeomorfism är en perfekt karta. Detta följer av det faktum att en bijektiv öppen karta är stängd och att eftersom en homeomorfism är injektiv måste inversen av varje element i området vara finit i domänen (i själva verket måste inversen ha exakt ett element).
10. Varje perfekt karta är en kvotkarta. Detta följer av att en sluten, kontinuerlig surjektiv karta alltid är en kvotkarta.
11. Låt G vara en kompakt topologisk grupp som verkar kontinuerligt på X . Då är kvotkartan från X till X / G en perfekt karta.
12. Perfekta kartor är korrekta . Det omvända är sant, förutsatt att topologin för Y är Hausdorff och kompakt genererad.

Se även

• Öppna och stängda kartor – En funktion som skickar öppna (resp. stängda) delmängder till öppna (resp. stängda) delmängder
• Quotient space – Topologisk rymdkonstruktion
• Korrekt karta – Karta mellan topologiska utrymmen med egenskapen att förbilden av varje kompakt är kompakt

•   Munkres, James (1999). Topologi (2:a uppl.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2 .