Relativistisk vinkelmomentum

Huvudartikel: Vinkelmomentum

Inom fysik hänvisar relativistisk rörelsemängd till de matematiska formalismer och fysiska begrepp som definierar rörelsemängd i speciell relativitet (SR) och allmän relativitet (GR). Den relativistiska kvantiteten skiljer sig subtilt från den tredimensionella kvantiteten i klassisk mekanik .

Vinkelmomentum är en viktig dynamisk storhet som härrör från position och momentum. Det är ett mått på ett föremåls rotationsrörelse och motstånd mot förändringar i dess rotation. Också, på samma sätt som rörelsemängdsbevarande motsvarar translationssymmetri, motsvarar rörelsemängdsbevarande rotationssymmetri - kopplingen mellan symmetrier och bevarandelagar görs av Noethers sats . Även om dessa begrepp ursprungligen upptäcktes i klassisk mekanik , är de också sanna och betydelsefulla i speciell och allmän relativitet. När det gäller abstrakt algebra beskrivs invariansen av vinkelmomentum, fyramomentum och andra symmetrier i rumtid av Lorentz-gruppen , eller mer allmänt Poincaré-gruppen .

Fysikaliska storheter som förblir separata i klassisk fysik kombineras naturligt i SR och GR genom att genomdriva relativitetspostulaten. Mest anmärkningsvärt är att rymd- och tidskoordinaterna kombineras till fyra-positionen , och energi och momentum kombineras till fyra-momentum . Komponenterna i dessa fyra vektorer beror på referensramen som används och ändras under Lorentz-transformationer till andra tröghetsramar eller accelererade ramar .

Relativistisk vinkelmomentum är mindre uppenbart. Den klassiska definitionen av vinkelmomentum är korsprodukten av position x med momentum p för att erhålla en pseudovektor x × p , eller alternativt som den yttre produkten för att erhålla en andra ordningens antisymmetrisk tensor x ∧ p . Vad förenar detta med, om något? som inte ofta diskuteras – det är det tidsvarierande massmomentet polarvektorn ( inte tröghetsmomentet ) relaterat till ökningen av systemets masscentrum , och detta kombineras med den klassiska vinkelmomentpseudovektorn att bilda en antisymmetrisk tensor av andra ordningen, på exakt samma sätt som det elektriska fältets polarvektor kombineras med magnetfältets pseudovektor för att bilda den elektromagnetiska fältets antisymmetriska tensor. För roterande mass-energifördelningar (såsom gyroskop , planeter , stjärnor och svarta hål ) istället för punktliknande partiklar, uttrycks rörelsemängdstensorn i termer av spänningsenergitensorn för det roterande föremålet.

Enbart i speciell relativitetsteori, i viloramen av ett snurrande föremål, finns det ett inneboende vinkelmomentum analogt med "snurrandet" i kvantmekaniken och den relativistiska kvantmekaniken , fastän för en utsträckt kropp snarare än en punktpartikel. I relativistisk kvantmekanik har elementarpartiklar spin och detta är ett ytterligare bidrag till den orbitala rörelsemängdsoperatorn, vilket ger den totala rörelsemängdstensoroperatorn. I vilket fall som helst kan det inneboende "snurr"-tillägget till ett objekts omloppsrörelsemängd uttryckas i termer av Pauli–Lubanski-pseudovektorn .

Definitioner

Ytterligare information: Euklidisk vektor och pseudovektor

Det 3-vinkelmoment som en bivector (plan element) och axiell vektor , av en partikel med massan m med momentan 3-position x och 3-momentum p .

Orbital 3d rörelsemängd

För referens och bakgrund ges två närbesläktade former av rörelsemängd.

Inom klassisk mekanik definieras rörelsemängdsrörelsen för en partikel med momentan tredimensionell positionsvektor x = ( x , y , z ) och rörelsemängdsvektorn p = ( p _x , p _y , p _z ) , som den axiella vektorn

$$\mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p}$$

som har tre komponenter, som systematiskt ges av cykliska permutationer av kartesiska riktningar (t.ex. ändra x till y , y till z , z till x , upprepa)

$${\begin{aligned}L_{x}&=yp_{z}-zp_{y}\,,\\L_{y}&=zp_{x}-xp_{z}\,,\\L_ {z}&=xp_{y}-yp_{x}\,.\end{aligned}}$$

En relaterad definition är att uppfatta orbital rörelsemängd som ett plant element . Detta kan uppnås genom att ersätta korsprodukten med den yttre produkten på språket för yttre algebra , och vinkelmomentet blir en kontravariant andra ordningens antisymmetrisk tensor

$$\mathbf {L} =\mathbf {x} \wedge \mathbf {p}$$

eller skriva x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = ( x , y , z ) och momentumvektor p = ( p ₁ , p ₂ , p ₃ ) = ( p _x , p _y , p _z ) , komponenter kan kompakt förkortas i tensorindexnotation

$$L^{ij}=x^{i}p^{j}-x^{j}p^{i}$$

där indexen i och j tar värdena 1, 2, 3. Å andra sidan kan komponenterna systematiskt visas fullständigt i en 3 × 3 antisymmetrisk matris

$${\begin{aligned}\mathbf {L} &={\begin{pmatrix}L^{11}&L^ {12}&L^{13}\\L^{21}&L^{22}&L^{23}\\L^{31}&L^{32}&L^{33}\\\end{pmatrix}} ={\begin{pmatrix}0&L_{xy}&L_{xz}\\L_{yx}&0&L_{yz}\\L_{zx}&L_{zy}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&L_ {xy}&-L_{zx}\\-L_{xy}&0&L_{yz}\\L_{zx}&-L_{yz}&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&xp_ {y}-yp_{x}&-(zp_{x}-xp_{z})\\-(xp_{y}-yp_{x})&0&yp_{z}-zp_{y}\\zp_{x} -xp_{z}&-(yp_{z}-zp_{y})&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}$$

Denna kvantitet är additiv, och för ett isolerat system bevaras det totala vinkelmomentet för ett system.

Dynamiskt massmoment

I klassisk mekanik, den tredimensionella storheten för en partikel med massa m som rör sig med hastigheten u

$$\mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {u} \right)=m\mathbf {x} -t\mathbf {p}$$

har måtten massmoment – ​​längd multiplicerad med massa . Det är lika med massan av partikeln eller systemet av partiklar multiplicerat med avståndet från rymdens ursprung till masscentrum ( COM ) vid tidpunkten (t=0), mätt i labbramen . Det finns ingen universell symbol, inte ens ett universellt namn, för denna kvantitet. Olika författare kan beteckna det med andra symboler om några (till exempel μ ), kan beteckna andra namn och kan definiera N som negativt av det som används här. Ovanstående form har fördelen att den liknar den välbekanta galileiska transformationen för position, som i sin tur är den icke-relativistiska boosttransformationen mellan tröghetsramar.

Denna vektor är också additiv: för ett system av partiklar är vektorsumman resultanten

$$\sum _{n}\mathbf {N} _{n}=\sum _{n}m_{n}\left(\mathbf {x} _{n}-t\mathbf {u} _ {n}\right)=\left(\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }\summa _{n}m_{n}-t\summa _{n}m_{n}\mathbf {u} _{n}\right)=M_{\text{tot}}(\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }-\mathbf {u} _{\mathrm {COM} }t)$$

där systemets masscentrumposition och hastighet respektive totalmassa är

$${\begin{aligned}\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }&={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {x} _{n}}{\ summa _{n}m_{n}}},\\[3pt]\mathbf {u} _{\mathrm {COM} }&={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {u } _{n}}{\summa _{n}m_{n}}},\\[3pt]M_{\text{tot}}&=\summa _{n}m_{n}.\end{aligned }}$$

För ett isolerat system bevaras N i tid, vilket kan ses genom att differentiera med avseende på tid. Vinkelmomentet L är en pseudovektor, men N är en "vanlig" (polär) vektor och är därför invariant under inversion.

Den resulterande N _tot för ett multipartikelsystem har den fysiska visualiseringen att, oavsett den komplicerade rörelsen för alla partiklar, de rör sig på ett sådant sätt att systemets COM rör sig i en rak linje. Detta betyder inte nödvändigtvis att alla partiklar "följer" COM, inte heller att alla partiklar alla rör sig i nästan samma riktning samtidigt, bara att alla partiklars rörelse är begränsad i förhållande till massans centrum.

I speciell relativitet, om partikeln rör sig med hastigheten u i förhållande till labbramen, då

$${\begin{aligned}E&=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}c^{2},&\ mathbf {p} &=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}\mathbf {u} \end{aligned}}$$

var

$$\gamma (\mathbf {u} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \ mathbf {u} }{c^{2}}}}}}$$

är Lorentz-faktorn och m är massan (dvs vilomassan) av partikeln. Motsvarande relativistiska massmoment i termer av m , u , p , E , i samma labbram är

$$\mathbf {N} ={\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {x} -\mathbf {p} t=m\gamma (\mathbf {u} )(\mathbf { x} -\mathbf {u} t).$$

De kartesiska komponenterna är

$${\begin{ aligned}N_{x}=mx-p_{x}t&={\frac {E}{c^{2}}}x-p_{x}t=m\gamma (u)(x-u_{x} t)\\N_{y}=my-p_{y}t&={\frac {E}{c^{2}}}y-p_{y}t=m\gamma (u)(y-u_{ y}t)\\N_{z}=mz-p_{z}t&={\frac {E}{c^{2}}}z-p_{z}t=m\gamma (u)(z- u_{z}t)\end{aligned}}$$

Särskild relativitet

Koordinera transformationer för en boost i x-riktningen

Betrakta en koordinatram F′ som rör sig med hastigheten v = ( v , 0, 0) i förhållande till en annan ram F, längs riktningen för de sammanfallande xx′ -axlarna. Ursprunget för de två koordinatramarna sammanfaller vid tidpunkterna t = t ′ = 0 . Mass-energin E = mc ² och momentumkomponenterna p = ( p _x , p _y , p _z ) för ett objekt, samt positionskoordinaterna x = ( x , y , z ) och tiden t i ram F omvandlas till E ′ = m ′ c ² , p ′ = ( p _x ′, p _y ′, p _z ′ ) , x ′ = ( x ′, y ′, z ′) och t ′ i F′ enligt Lorentz-transformationerna

$${\begin{aligned}t'&=\gamma (v )\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\,,\quad &E'&=\gamma (v)\left(E-vp_{x}\right)\ \x'&=\gamma (v)(x-vt)\,,\quad &p_{x}'&=\gamma (v)\left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{ 2}}}\right)\\y'&=y\,,\quad &p_{y}'&=p_{y}\\z'&=z\,,\quad &p_{z}'&=p_ {z}\\\end{aligned}}$$

Lorentz-faktorn gäller här för hastigheten v , den relativa hastigheten mellan ramarna. Detta är inte nödvändigtvis detsamma som hastigheten u för ett föremål.

För det orbitala 3-vinkelmomentet L som en pseudovektor har vi

$${\begin{aligned}L_{x}'&=y'p_{z}'-z' p_{y}'=L_{x}\\L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'=\gamma (v)(L_{y}-vN_{z} )\\L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'=\gamma (v)(L_{z}+vN_{y})\\\end{aligned}}$$

Härledning

För x-komponenten

$$'=y'p_{z}'-z'p_{y}' =yp_{z}-zp_{y}=L_{x}}$$

y-komponenten

$${\begin {aligned}L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'\\&=z\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{ 2}}}\right)-\gamma \left(x-vt\right)p_{z}\\&=\gamma \left[zp_{x}-z{\frac {vE}{c^{2} }}-xp_{z}+vtp_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left(zp_{x}-xp_{z}\right)+v\left(p_{z}tz{ \frac {E}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{y}-vN_{z}\right)\end{aligned}}$$

och z-komponent

$${\begin {aligned}L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'\\&=\gamma \left(x-vt\right)p_{y}-y\gamma \left (p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\höger)\\&=\gamma \left[xp_{y}-vtp_{y}-yp_{x}+y{\ frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma \left[\left(xp_{y}-yp_{x}\right)+v\left(y{\frac {E }{c^{2}}}-tp_{y}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{z}+vN_{y}\right)\end{aligned}}$$

I de andra termerna av L _y ′ och L _z ′ kan y- och z -komponenterna för korsprodukten v × N härledas genom att känna igen cykliska permutationer av v _x = v och v _y = v _z = 0 med komponenterna av N ,

$${\begin{aligned} -vN_{z}&=v_{z}N_{x}-v_{x}N_{z}=\left(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)_{y}\\vN_ {y}&=v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}=\left(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)_{z}\\\end{ Justerat}}$$

Nu är L _x parallell med den relativa hastigheten v och de andra komponenterna L _y och L _z är vinkelräta mot v . Den parallell-vinkelräta överensstämmelsen kan underlättas genom att dela upp hela 3-vinkelmomentum-pseudovektorn i komponenter parallella (∥) och vinkelräta (⊥) till v , i varje bildruta,

$$\mathbf {L} =\mathbf {L} _{\parallel }+\mathbf {L} _{\perp }\,,\quad \mathbf {L} '=\mathbf {L} _{\ parallell }'+\mathbf {L} _{\perp }'\,.$$

Sedan kan komponentekvationerna samlas in i pseudovektorekvationerna

$${\begin{aligned}\mathbf {L} _{\parallel }'&=\mathbf {L} _ {\parallel }\\\mathbf {L} _{\perp }'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \times \ mathbf {N} \right)\\\end{aligned}}$$

Därför förändras inte komponenterna i rörelsemängdsrörelsen längs rörelseriktningen, medan komponenterna vinkelräta ändras. I motsats till omvandlingarna av rum och tid ändras tid och rumsliga koordinater längs rörelseriktningen, medan de vinkelräta inte gör det.

Dessa transformationer är sanna för alla v , inte bara för rörelse längs xx′ -axlarna.

Med tanke på L som en tensor får vi ett liknande resultat

$$\mathbf {L} _{\perp }'=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {L} _{ \perp }+\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)$$

var

$${\begin{aligned}v_{z}N_{x }-v_{x}N_{z}&=\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)_{zx}\\v_{x}N_{y}-v_{y}N_ {x}&=\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)_{xy}\\\end{aligned}}$$

Ökningen av det dynamiska massmomentet längs x -riktningen är

$${\displaystyle {\begin{aligned}N_{x}'&=m'x'-p_{x$$

Härledning

För x-komponenten

$${\begin{aligned}N_{x}'&={\frac {E'}{c^{2}}}x'-t'p_{x}'\\& ={\frac {\gamma }{c^{2}}}(E-vp_{x})\gamma (x-vt)-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2 }}}\right)\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac { 1}{c^{2}}}\left(E-vp_{x}\right)(x-vt)-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right) \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{c^ {2}}}-{\frac {Evt}{c^{2}}}-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}}}+{\frac {vp_{x}vt} {c^{2}}}-tp_{x}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{x}+t{\frac {vE}{c^{2}}}-{ \frac {xv}{c^{2}}}{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{ c^{2}}}{\avbryt {-{\frac {Evt}{c^{2}}}}}{\avbryt {-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}} }}}+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}p_{x}t-tp_{x}{\avbryt {+{\frac {xv}{c^{2}} }p_{x}}}{\avbryt {+t{\frac {vE}{c^{2}}}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}{\ frac {Ex}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma ^{2}\left[\left({\frac {Ex}{c^{2}}}-tp_{x} \right)+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\left(p_{x}t-{\frac {Ex}{c^{2}}}\right)\right ]\\&=\gamma ^{2}\left[1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right]N_{x}\\&=\gamma ^{2 }{\frac {1}{\gamma ^{2}}}N_{x}\end{aligned}}$$

y-komponenten

$${\begin{aligned}N_{y}'& ={\frac {E'}{c^{2}}}y'-t'p_{y}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_ {x})y-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{ c^{2}}}(E-vp_{x})y-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\right]\\&= \gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}Ey-{\frac {1}{c^{2}}}vp_{x}y-tp_{y}+{\frac { xv}{c^{2}}}p_{y}\right]\\&=\gamma \left[\left({\frac {1}{c^{2}}}Ey-tp_{y}\ höger)+{\frac {v}{c^{2}}}(xp_{y}-yp_{x})\right]\\&=\gamma \left(N_{y}+{\frac {v }{c^{2}}}L_{z}\right)\end{aligned}}$$

och z-komponent

$${\begin{aligned}N_{z}'& ={\frac {E'}{c^{2}}}z'-t'p_{z}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_ {x})z-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{ c^{2}}}(E-vp_{x})z-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\right]\\&= \gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}Ez-{\frac {1}{c^{2}}}vp_{z}z-tp_{z}+{\frac { xv}{c^{2}}}p_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left({\frac {1}{c^{2}}}Ez-tp_{z}\ höger)+{\frac {v}{c^{2}}}(xp_{z}-zp_{x})\right]\\&=\gamma \left(N_{z}-{\frac {v }{c^{2}}}L_{y}\right)\end{aligned}}$$

Samlar parallella och vinkelräta komponenter som tidigare

$${\begin{aligned}\mathbf {N} _{\parallel }'&=\mathbf { N} _{\parallel }\\\mathbf {N} _{\perp }'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} _{\perp }-{\frac {1 }{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)\\\end{aligned}}$$

Återigen, komponenterna parallella med den relativa rörelsens riktning förändras inte, de som är vinkelräta ändras.

Vektortransformationer för ett lyft åt alla håll

Än så länge är dessa bara de parallella och vinkelräta nedbrytningarna av vektorerna. Transformationerna på de fullständiga vektorerna kan konstrueras från dem enligt följande (här L en pseudovektor för konkretitet och kompatibilitet med vektoralgebra).

Introducera en enhetsvektor i riktningen v , given av n = v / v . De parallella komponenterna ges av vektorprojektionen av L eller N i n

$$\mathbf {L} _{\parallel }=(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf { n} \,,\quad \mathbf {N} _{\parallel }=(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$$

medan den vinkelräta komponenten genom vektoravstötning av L eller N från n

$$\mathbf {L} _{\perp }=\mathbf {L} -(\mathbf {L} \ cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {N} _{\perp }=\mathbf {N} -(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$$

och förvandlingarna är

$${\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\gamma (\mathbf {v} )(\mathbf {L} +v\mathbf {n } \times \mathbf {N} )-(\gamma (\mathbf {v} )-1)(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\mathbf {N} ' &=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} -{\frac {v}{c^{2}}}\mathbf {n} \times \mathbf {L} \right)- (\gamma (\mathbf {v} )-1)(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\end{aligned}}$$

eller återinföra v = v n ,

$${\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\gamma (\mathbf {v} )(\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \mathbf {N} )-(\gamma (\mathbf {v} )-1){\frac {(\mathbf {L} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} }{ v^{2}}}\\\mathbf {N} '&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} -{\frac {1}{c^{2}}}\ mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)-(\gamma (\mathbf {v} )-1){\frac {(\mathbf {N} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v } }{v^{2}}}\\\end{aligned}}$$

Dessa är mycket lika Lorentz-transformationerna av det elektriska fältet E och magnetfältet B , se Klassisk elektromagnetism och speciell relativitetsteori .

Alternativt, utgående från vektorn Lorentz transformationer av tid, rum, energi och momentum, för en ökning med hastighet v ,

$${\begin{aligned}t'& =\gamma (\mathbf {v} )\left(t-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)\,,\\\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +{\frac {\gamma (\mathbf {v} )-1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} ) \mathbf {v} -\gamma (\mathbf {v} )t\mathbf {v} \,,\\\mathbf {p} '&=\mathbf {p} +{\frac {\gamma (\mathbf { v} )-1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} -\gamma (\mathbf {v} ){\frac {E}{ c^{2}}}\mathbf {v} \,,\\E'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(E-\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} \right) \,,\\\end{aligned}}$$

att infoga dessa i definitionerna

$${\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} '\,,&\mathbf {N} '&={\frac {E'}{c^{2}}}\mathbf {r} '-t'\mathbf {p} '\end{aligned }}$$

ger förvandlingarna.

Härledning av vektortransformationer direkt

Det orbitala vinkelmomentet i varje bildruta är

$$\mathbf {L} '=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} '\,,\quad \mathbf {L} =\ mathbf {r} \times \mathbf {p}$$

så tar man korsprodukten av transformationerna

$${\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\left[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n } -\gamma tv\mathbf {n} \right]\times \left[\mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} - \gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {n} \right]\\&=[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\ gånger \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )[ \mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\ gånger \mathbf {n} -\ gamma {\frac {E}{c^{2}}}v[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\ gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} \\&=\mathbf {r} \times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n } )\mathbf {n} \times \mathbf {p} -\gamma tv\mathbf {n} \times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {r} \times \mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {r} \times \mathbf {n} \\&=\mathbf { L} +\vänster[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right]\mathbf {v} \ gånger \mathbf {p} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E} {c^{2}}}\right]\mathbf {r} \times \mathbf {v} \\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[\left({\frac { \gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right)\mathbf {p} -\left({\frac {\gamma - 1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right)\mathbf {r} \ höger]\\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\left((\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {p} -(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {r} \right)+\gamma \left({\frac {E}{c^{ 2}}}\mathbf {r} -t\mathbf {p} \right)\right]\end{aligned}}$$

Använder trippelproduktregeln _

$${\begin{aligned }\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} ( \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} &=(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a } )\mathbf {b} -(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} \\\end{aligned}}$$

ger

$${\begin{aligned}(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )\times \mathbf {v} &=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {p} -(\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} )\mathbf {r} \\(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {p} -(\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} )\mathbf {r} &=\mathbf {L} \times \mathbf {v} \\\end{aligned}}$$

och tillsammans med definitionen av N har vi

$$\mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac { \gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {L} \times \mathbf {v} +\gamma \mathbf {N} \right]$$

Återställer enhetsvektorn n ,

$$\mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {n} \times \left[(\gamma -1)\mathbf {L} \times \mathbf {n} +v\gamma \mathbf {N} \right]$$

Eftersom det i transformationen finns en korsprodukt till vänster med n ,

$$\mathbf {n} \times (\mathbf {L} \times \mathbf {n} )=\mathbf {L} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} )-\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )=\mathbf {L} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )$$

sedan

$${ \displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +(\gamma -1)(\mathbf {L} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} ))+\ beta \gamma c\mathbf {n} \times \mathbf {N} =\gamma (\mathbf {L} +v\mathbf {n} \times \mathbf {N} )-(\gamma -1)\mathbf { n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )}$$

4d rörelsemängd som en bivector

Inom relativistisk mekanik kombineras COM-förstärkningen och 3-rymds rörelsemängd för ett roterande objekt till en fyrdimensionell bivector i termer av fyrpositionen X och fyrmomentet P för objektet

$$\mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P}$$

I komponenter

$$M^{\alpha \beta }=X^{\alpha }P^{\beta }-X^{\beta }P^{\alpha }$$

som är sex oberoende storheter totalt. Eftersom komponenterna i X och P är ramberoende, så är M också det . Tre komponenter

$$M^{ij}=x^{i}p^{j}-x^{j}p^{i}=L^ {I j}$$

är de av det välbekanta klassiska 3-rymds vinkelmomentet, och de andra tre

$$M^{0i}=x^{0}p^{i}-x^ {i}p^{0}=c\,\left(tp^{i}-x^{i}{\frac {E}{c^{2}}}\right)=-cN^{i}$$

är det relativistiska massmomentet, multiplicerat med − c . Tensorn är antisymmetrisk;

$$M^{\alpha \beta }=-M^{\beta \alpha }$$

Tensorens komponenter kan systematiskt visas som en matris

$${\begin{aligned}\mathbf {M } &={\begin{pmatrix}M^{00}&M^{01}&M^{02}&M^{03}\\M^{10}&M^{11}&M^{12}&M^{13 }\\M^{20}&M^{21}&M^{22}&M^{23}\\M^{30}&M^{31}&M^{32}&M^{33}\end{pmatrix} }\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|ccc}0&-N^{1}c&-N^{2}c&-N^{3}c\\\hline N^ {1}c&0&L^{12}&-L^{31}\\N^{2}c&-L^{12}&0&L^{23}\\N^{3}c&L^{31}&-L^ {23}&0\end{array}}\right)\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|c}0&-\mathbf {N} c\\\hline \mathbf {N } ^{\mathrm {T} }c&\mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \\\end{array}}\right)\end{aligned}}$$

där den sista matrisen är en ^blockmatris x∧p bildad att genom behandla N som en radvektor vilken matris transponerar till kolumnvektorn NT , och som en 3 × 3 antisymmetrisk matris . Linjerna infogas bara för att visa var blocken är.

Återigen är denna tensor additiv: den totala rörelsemängden för ett system är summan av rörelsemängdstensorerna för varje beståndsdel i systemet:

$$\mathbf {M} _{\text{tot}}=\summa _{n}\mathbf {M} _{n}=\summa _{n}\mathbf {X} _{n}\wedge \mathbf {P} _{n}\,.$$

Var och en av de sex komponenterna bildar en bevarad kvantitet när den aggregeras med motsvarande komponenter för andra objekt och fält.

Vinkelmomenttensorn M är verkligen en tensor, komponenterna förändras enligt en Lorentz transformationsmatris Λ, vilket illustreras på vanligt sätt med tensorindexnotation

$${\begin{aligned}{M'}^{\alpha \beta }&={X'}^{\alpha } {P'}^{\beta }-{X'}^{\beta }{P'}^{\alpha }\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }X^{\ gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }P^{\delta }-{\Lambda ^{\beta}}_{\delta }X^{\delta }{\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }P^{\gamma }\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }{\Lambda ^{\beta}}_{\delta }\left(X^ {\gamma }P^{\delta}-X^{\delta}P^{\gamma}\right)\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }{\Lambda ^{\ beta }}_{\delta }M^{\gamma \delta }\\\end{aligned}},$$

där, för en boost (utan rotationer) med normaliserad hastighet β = v / c , Lorentz-transformationsmatriselementen är

$${\begin{aligned}{\Lambda ^{0}}_{0 }&=\gamma \\{\Lambda ^{i}}_{0}&={\Lambda ^{0}}_{i}=-\gamma \beta ^{i}\\{\Lambda ^{ i}}_{j}&={\delta ^{i}}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{i}\beta _{ j}\end{aligned}}$$

och de kovarianta βi- _. och kontravarianta βi ^- komponenterna av β är desamma eftersom dessa bara är parametrar

Med andra ord kan man Lorentz-transformera fyra positioner och fyra momentum separat, och sedan antisymmetrisera de nyfunna komponenterna för att erhålla vinkelmomentumtensorn i den nya ramen.

Vektortransformationer härledda från tensortransformationerna

Omvandlingen av boostkomponenter är

$${\begin{aligned}M'^{k0}&={\Lambda ^{k}}_{\mu }{\Lambda ^{0 }}_{\nu }M^{\mu \nu }\\&={\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{0}M^{00}+{ \Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_ {j}M^{0j}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{ij}\\&=\left({\Lambda ^{ k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}\right)M^{ i0}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{ij}\\\end{aligned}}$$

när det gäller rörelsemängden i omloppsbanan

$${\begin{aligned}{M'}^{k\ell }&={\Lambda ^{k }}_{\mu }{\Lambda ^{\ell }}_{\nu}M^{\mu \nu }\\&={\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{ \ell }}_{0}M^{00}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}M^{i0}+{\Lambda ^{ k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{0j}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell}}_{j }M^{ij}\\&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0 }{\Lambda ^{\ell }}_{i}\right)M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell}}_{j}M^ {ij}\end{aligned}}$$

Uttrycken i Lorentz-transformationsposterna är

$${\begin{aligned}{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0} {\Lambda ^{\ell }}_{i}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\ beta ^{k}\beta _{i}\right]\left(-\gamma \beta ^{\ell }\right)-\left(-\gamma \beta ^{k}\right)\left[{ \delta ^{\ell }}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell}\beta _{i}\right]\\& =\gamma \left[\beta ^{k}{\delta ^{\ell }}_{i}-\beta ^{\ell }{\delta ^{k}}_{i}\right]\\ {\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}& =\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right] \gamma -(-\gamma \beta ^{k})(-\gamma \beta ^{i})\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}-\gamma \beta ^{k}\beta ^{i}\right]\\&=\ gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}-\gamma \right)\beta ^{k} \beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma -\gamma \beta ^{2}- 1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i} +\left({\frac {\gamma ^{-1}-1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\ gamma {\delta ^{k}}_{i}-\left[{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right]\beta ^{k}\beta _{i} \\{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\ gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\left[{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\ gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\right]\\&={\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{ \ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{ j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{ k}\beta _{i}\end{aligned}}$$

ger

$${\begin{aligned}cN'^{k}&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}\right)cN^{i}+{\Lambda ^{k} }_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\left[\gamma {\delta ^{k}}_{i}-\ vänster({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]cN^{i}+-\gamma \beta ^ {j}\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\ höger]\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\gamma cN^{k}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\left(\beta _{i}cN^{i}\right)-\gamma \beta ^{j}{\delta ^{k}}_{i}\varepsilon ^{ijn}L_{ n}-\gamma {\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{j}\beta ^{k}\beta _{i}\varepsilon ^{ijn}L_{n }\\&=\gamma cN^{k}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\left(\beta _{ i}cN^{i}\right)-\gamma \beta ^{j}\varepsilon ^{kjn}L_{n}\\\end{aligned}}$$

eller i vektorform, dividerat med c

$$\mathbf {N} '=\gamma \mathbf {N} -\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right){\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {N} \right)-{\ frac {1}{c}}\gamma {\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {L}$$

eller återinföra β = v / c ,

$$\mathbf {N} '=\gamma \mathbf {N} -\left({\frac {\ gamma -1}{v^{2}}}\right)\mathbf {v} \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {N} \right)-\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {L}$$

och

$${\begin{aligned}L'^{k\ell }&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell}}_{0}-{\ Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}\right)cN^{i}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ ell }}_{j}L^{ij}\\&=\gamma c\left(\beta ^{k}{\delta ^{\ell}}_{i}-\beta ^{\ell }{ \delta ^{k}}_{i}\right)N^{i}+\left[{\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{ \frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{j}+{\frac {\gamma - 1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^ {2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{k}\beta _{i}\right ]L^{ij}\\&=\gamma c\left(\beta ^{k}N^{\ell }-\beta ^{\ell}N^{k}\right)+L^{k\ ell }+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}L^{kj}+{\frac {\gamma -1}{ \beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}L^{i\ell }\\\end{aligned}}$$

eller konvertera till pseudovektorform

$${\begin{aligned}\varepsilon ^{k\ell n}L'_{n}&=\gamma c\left(\beta ^{k}N^{\ell }-\beta ^{\ell }N^{k}\right)+\varepsilon ^{k\ell n}L_{n}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}} \left(\beta ^{\ell }\beta _{j}\varepsilon ^{kjn}L_{n}-\beta ^{k}\beta _{i}\varepsilon ^{\ell in}L_{n }\right)\\\end{aligned}}$$

i vektornotation

$$\mathbf {L} '=\gamma c{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {N } +\mathbf {L} +{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\boldsymbol {\beta }}\times ({\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf { L} )$$

eller återinföra β = v / c ,

$$\mathbf {L} '=\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {N} +\mathbf { L} +{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {v} \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)$$

Styv kroppsrotation

Se även: Ehrenfest-paradox

För en partikel som rör sig i en kurva ger korsprodukten av dess vinkelhastighet ω (en pseudovektor) och position x dess tangentiella hastighet

$$\mathbf {u} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {x}$$

som inte kan överstiga en storlek på c , eftersom i SR kan translationshastigheten för något massivt föremål inte överstiga ljusets hastighet c . Matematiskt är denna begränsning 0 ≤ | u | < c , de vertikala staplarna anger storleken på vektorn. Om vinkeln mellan ω och x är θ (antas vara icke-noll, annars skulle u vara noll vilket motsvarar ingen rörelse alls), då | u | = | ω | | x | sin θ och vinkelhastigheten begränsas av

$$0\leq |{\boldsymbol {\omega }}|<{\frac {c}{|\mathbf {x} |\sin \theta }}$$

Den maximala vinkelhastigheten för ett massivt föremål beror därför på föremålets storlek. För en given | x |, den lägsta övre gränsen inträffar när ω och x är vinkelräta, så att θ = π /2 och sin θ = 1 .

För en roterande stel kropp som roterar med en vinkelhastighet ω , är u tangentiell hastighet vid en punkt x inuti objektet. För varje punkt i objektet finns en maximal vinkelhastighet.

Vinkelhastigheten (pseudovektor) är relaterad till vinkelmomentet (pseudovektor) genom tröghetsmomentet tensor I

$$\mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\quad \rightleftharpoons \quad L_{i}=I_ {ij}\omega _{j}$$

(punkten · anger tensorkontraktion på ett index). Det relativistiska vinkelmomentet begränsas också av föremålets storlek.

Snurra i speciell relativitetsteori

Fyra snurr

En partikel kan ha en "inbyggd" rörelsemängd oberoende av dess rörelse, kallad spin och betecknad s . Det är en 3d-pseudovektor som orbital vinkelmoment L .

Spinnet har ett motsvarande magnetiskt spinsmoment , så om partikeln är föremål för interaktioner (som elektromagnetiska fält eller spin-omloppskoppling ), kommer riktningen för partikelns spinnvektor att ändras, men dess storlek kommer att vara konstant.

Utvidgningen till speciell relativitetsteori är enkel. För en del labbram F, låt F′ vara resten av partikeln och anta att partikeln rör sig med konstant 3-hastighet u . Sedan förstärks F′ med samma hastighet och Lorentz-transformationerna gäller som vanligt; det är bekvämare att använda β = u / c . Som en fyrvektor i speciell relativitet, tar fyrsnurret S i allmänhet den vanliga formen av en fyrvektor med en tidsliknande komponent s _t och rumsliga komponenter s , i labbramen

$$\mathbf {S} \equiv \left(S^{0},S^{ 1},S^{2},S^{3}\right)=(s_{t},s_{x},s_{y},s_{z})$$

även om den i partikelns viloram är definierad så att den tidsliknande komponenten är noll och de rumsliga komponenterna är de för partikelns faktiska spinnvektor, i notationen här s ′, så i partikelns ram

$$\mathbf {S} '\{S\left '}^{0},{S'}^{1},{S'}^{2},{S'}^{3}\right)=\left(0,s_{x}',s_{ y}',s_{z}'\right)$$

Att likställa normer leder till den invarianta relationen

$$s_{t}^{2}-\mathbf {s} \cdot \mathbf {s} =-\mathbf {s} '\cdot \mathbf {s} '$$

så om storleken på spinn ges i vilobilden av partikeln och labramen för en observatör, ges storleken på den tidsliknande komponenten s t också _i labramen.

Vektortransformationer härledda från tensortransformationerna

De förstärkta komponenterna i de fyra snurrarna i förhållande till labbramen är

$${\begin{aligned}{S'}^{0}&={\Lambda ^{0}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{0}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{0}}_{i}S^{i}=\gamma \left(S^{0}-\ beta _{i}S^{i}\right)\\&=\gamma \left({\frac {c}{c}}S^{0}-{\frac {u_{i}}{c} }S^{i}\right)={\frac {1}{c}}U_{0}S^{0}-{\frac {1}{c}}U_{i}S^{i}\ \[3pt]{S'}^{i}&={\Lambda ^{i}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{i}}_{0}S^{0 }+{\Lambda ^{i}}_{j}S^{j}\\&=-\gamma \beta ^{i}S^{0}+\left[\delta _{ij}+{\ frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta _{i}\beta _{j}\right]S^{j}\\&=S^{i}+{\frac { \gamma ^{2}}{\gamma +1}}\beta _{i}\beta _{j}S^{j}-\gamma \beta ^{i}S^{0}\end{aligned} }$$

Här γ = γ ( u ) . S ′ är i partikelns vilobild, så dess tidsliknande komponent är noll, ⁰ S ′ = 0 , inte S ⁰ . Den första är också ekvivalent med den inre produkten av fyrhastigheten (delad med c ) och fyrsnurret. Att kombinera dessa fakta leder till

$${S'}^{0}={\frac {1}{c}}U_{\alpha }S^{\alpha }=0$$

som är en invariant. Sedan leder detta i kombination med transformationen på den tidsliknande komponenten till den upplevda komponenten i labbramen;

$$S^{0}=\beta _{i}S^{i}$$

De omvända förhållandena är

$${\begin{aligned}S^{ 0}&=\gamma \left({S'}^{0}+\beta _{i}{S'}^{i}\right)\\S^{i}&={S'}^{ i}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\beta _{i}\beta _{j}{S'}^{j}+\gamma \beta ^{i} {S'}^{0}\end{aligned}}$$

Den kovarianta begränsningen på spinnet är ortogonalitet mot hastighetsvektorn,

$$U_{\alpha }S^{\alpha }=0$$

I 3-vektors notation för explicititet är transformationerna

$${\begin{aligned}s_{t}&={\boldsymbol {\beta }} \cdot \mathbf {s} \\\mathbf {s} '&=\mathbf {s} +{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\boldsymbol {\beta }}\ vänster({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} \right)-\gamma {\boldsymbol {\beta }}s_{t}\end{aligned}}$$

De omvända relationerna

$${\begin{aligned}s_{t}&=\gamma {\boldsymbol {\beta }} \cdot \mathbf {s} '\\\mathbf {s} &=\mathbf {s} '+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\boldsymbol {\beta }} \left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} '\right)\end{aligned}}$$

är komponenterna i spin labbramen, beräknade från de i partikelns vilaram. Även om partikelns spinn är konstant för en given partikel, verkar den vara annorlunda i labbramen.

Pauli–Lubanskis pseudovektor

Pauli -Lubanski-pseudovektorn

$$S_{\rho }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\lambda \mu \nu \rho }P^ {\lambda }J^{\mu \nu },$$

gäller både massiva och masslösa partiklar .

Spin-orbital nedbrytning

I allmänhet delas den totala rörelsemängdstensorn i en orbitalkomponent och en spinnkomponent ,

$$J^{\mu \nu }=M^{\mu \nu }+S^{\mu \nu }~.$$

Detta gäller en partikel, en mass–energi–momentumfördelning eller fält.

Vinkelmomentum för en mass–energi–momentumfördelning

Huvudartiklar: Spin tensor och Pauli–Lubanski pseudovector

Vinkelmomentum från mass-energi-momentumtensorn

Följande är en sammanfattning från MTW . Genomgående för enkelhets skull antas kartesiska koordinater. I speciell och allmän relativitetsteori beskrivs en fördelning av massa–energi–momentum, t.ex. en vätska, eller en stjärna, av spänningsenergitensorn T βγ ( ett andra ^ordningens tensorfält beroende på rum och tid). Eftersom T ⁰⁰ är energitätheten, är T ^{j 0} för j = 1, 2, 3 den j :te komponenten av objektets 3d rörelsemängd per volymenhet, och T ^ij bildar komponenter i spänningstensorn inklusive skjuvning och normalspänningar, den orbitala vinkeln momentumdensitet kring positionen 4-vektor X ^β ges av en 3:e ordningens tensor

$${\mathcal {M}}^{\alpha \beta \gamma }=\left (X^{\alpha }-{\bar {X}}^{\alpha}\right)T^{\beta \gamma }-\left(X^{\beta}-{\bar {X}}^ {\beta }\right)T^{\alpha \gamma }$$

Detta är antisymmetriskt i α och β . I speciell och allmän relativitetsteori T en symmetrisk tensor, men i andra sammanhang (t.ex. kvantfältteori) kanske det inte är det.

Låt Ω vara ett område av 4d rumtid. Gränsen är en 3d rymdtidshyperyta ("rymdtidsytvolym" i motsats till "spatial ytarea"), betecknad ∂Ω där "∂" betyder "gräns" . Att integrera rörelsemängdstätheten över en 3d rymdtidshyperyta ger rörelsemängdstensorn omkring X ,

$$M^{\alpha \beta }\left({\bar {X}}\right)=\oint _{\partial \ Omega }{\mathcal {M}}^{\alpha \beta \gamma }d\Sigma _{\gamma }$$

där dΣ _γ är volym 1-formen som spelar rollen som en enhetsvektor vinkelrät mot en 2d yta i det vanliga 3d euklidiska rymden. Integralen tar över koordinaterna X , inte X . Integralen inom en rymdliknande yta av konstant tid är

$$M^{ij }=\oint _{\partial \Omega }{\mathcal {M}}^{ij0}d\Sigma _{0}=\oint _{\partial \Omega }\left[\left(X^{i} -Y^{i}\right)T^{j0}-\left(X^{j}-Y^{j}\right)T^{i0}\right]dx\,dy\,dz$$

som tillsammans bildar rörelsemängdstensorn.

Vinkelmomentum kring massans centrum

Det finns ett inneboende vinkelmomentum i masscentrumramen, med andra ord, vinkelmomentet för varje händelse

$$\mathbf {X} _{\text{COM}}=\left(X_{\text{COM}}^{0 },X_{\text{COM}}^{1},X_{\text{COM}}^{2},X_{\text{COM}}^{3}\right)$$

på ordlinjen för föremålets massacentrum. Eftersom T ⁰⁰ är objektets energitäthet, ges de rumsliga koordinaterna för masscentrum av

$$X_{\text{COM}}^{i}={\frac {1}{m_{0}}}\int _{\partial \Omega }X^{i}T^{00}dxdydz$$

Inställningen Y = X _COM erhåller den orbitala vinkelmomentdensiteten kring objektets masscentrum.

Vinkelmomentbevarande

Bevarandet av energi-momentum ges i differentialform av kontinuitetsekvationen

$$\partial _{\gamma }T^{\beta \gamma }=0$$

där ∂ _γ är fyrgradienten . (I icke-kartesiska koordinater och generell relativitetsteori skulle detta ersättas av den kovarianta derivatan ). Den totala rörelsemängdsbevarandet ges av en annan kontinuitetsekvation

$$\partial _{\gamma }{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }=0$$

Integralekvationerna använder Gauss sats i rumtid

$${\begin{aligned}\int _{\mathcal {V}}\partial _{\gamma }T^{\beta \gamma }\,cdt\,dx\, dy\,dz&=\oint _{\partial {\mathcal {V}}}T^{\beta \gamma }d^{3}\Sigma _{\gamma }=0\\\int _{\mathcal { V}}\partial _{\gamma }{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }\,cdt\,dx\,dy\,dz&=\oint _{\partial {\mathcal {V }}}{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }d^{3}\Sigma _{\gamma }=0\end{aligned}}$$

Vridmoment i speciell relativitet

Vridmomentet som verkar på en punktliknande partikel definieras som derivatan av den vinkelmomenttensor som anges ovan med avseende på korrekt tid:

$${\boldsymbol {\Gamma }}={\frac {d\mathbf {M} }{d\tau }}=\mathbf {X} \wedge \mathbf { F}$$

eller i tensorkomponenter:

$$\Gamma _{\alpha \beta }=X_{\alpha }F_{\beta }-X_{\beta }F_{\alpha }$$

där F är den 4d kraft som verkar på partikeln vid händelsen X . Som med rörelsemängd är vridmoment additivt, så för ett utsträckt objekt summerar man eller integrerar över fördelningen av massa.

Vinkelmomentum som genererar rymdtidsförstärkningar och rotationer

Se även: Symmetri i kvantmekanik

Vinkelmomenttensorn är generatorn av förstärkningar och rotationer för Lorentz-gruppen . Lorentz-förstärkningar kan parametriseras av snabbhet och en 3d- enhetsvektor n som pekar i förstärkningens riktning, som kombineras till "snabbhetsvektorn"

$${\boldsymbol {\zeta }}=\zeta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh ^{-1}\beta$$

där β = v / c är hastigheten för den relativa rörelsen dividerad med ljusets hastighet. Rumsliga rotationer kan parametriseras av axel-vinkelrepresentationen , vinkeln θ och en enhetsvektor a som pekar i axelns riktning, som kombineras till en "axelvinkelvektor"

$${\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {a}$$

Varje enhetsvektor har bara två oberoende komponenter, den tredje bestäms utifrån enhetens storlek. Sammanlagt finns det sex parametrar för Lorentz-gruppen; tre för rotationer och tre för förstärkningar. Den (homogena) Lorentz-gruppen är 6-dimensionell.

Boostgeneratorerna K och rotationsgeneratorerna J kan kombineras till en generator för Lorentz-transformationer; M den antisymmetriska rörelsemängdstensorn, med komponenter

$$M^{0i}=-M^{i0}=K_{i}\,,\quad M^{ij}=\varepsilon _{ijk}J_{k}\,.$$

och på motsvarande sätt samlas boost- och rotationsparametrarna in i en annan antisymmetrisk fyrdimensionell matris ω , med poster:

$$\omega _{0i}=-\omega _{i0}=\zeta _{i}\,,\quad \omega _{ij}=\varepsilon _{ijk}\theta _{k}\,,$$

där summeringskonventionen över de upprepade indexen i, j, k har använts för att förhindra klumpiga summeringstecken. Den allmänna Lorentz-transformationen ges sedan av matrisexponentialen

$$\Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol { \theta }})=\exp \left({\frac {1}{2}}\omega _{\alpha \beta}M^{\alpha \beta }\right)=\exp \left({\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \right)$$

och summeringskonventionen har tillämpats på de upprepade matrisindexen a och β .

₀ Den allmänna Lorentz-transformationen Λ är transformationslagen för alla fyra vektorer A = ( A , A ₁ , A ₂ , A ₃ ), vilket ger komponenterna i samma 4-vektor i en annan tröghetsreferensram

$$\mathbf {A} '=\Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})\mathbf {A}$$

Vinkelmomenttensorn bildar 6 av de 10 generatorerna i Poincaré-gruppen , de andra fyra är komponenterna i fyramomentet för rumtidsöversättningar.

Vinkelmomentum i allmän relativitetsteori

Vinkelmomentet för testpartiklar i en mjukt krökt bakgrund är mer komplicerat i GR men kan generaliseras på ett enkelt sätt. Om Lagrangian uttrycks med avseende på vinkelvariabler som de generaliserade koordinaterna , då är vinkelmomentet de funktionella derivatorna av Lagrangianen med avseende på vinkelhastigheterna . Med hänvisning till kartesiska koordinater, ges dessa vanligtvis av de off-diagonala skjuvtermerna för den rymdliknande delen av spännings-energitensorn . Om rumtiden stöder ett dödande vektorfält som tangerar en cirkel, så bevaras rörelsemängden kring axeln.

Man vill också studera effekten av en kompakt, roterande massa på dess omgivande rumtid. Prototyplösningen är av Kerr-metriken , som beskriver rumtiden runt ett axiellt symmetriskt svart hål . Det är uppenbarligen omöjligt att rita en punkt på händelsehorisonten för ett Kerr-svart hål och se det cirkla runt. Lösningen stöder dock en konstant i systemet som agerar matematiskt på samma sätt som en rörelsemängd.

Se även

• Thomas precession – Relativistisk korrigering
• Ljusets vinkelmoment – ​​Fysisk kvantitet som bärs i fotoner
• Tvåkroppsproblem i allmän relativitetsteori – Interaktion mellan två kroppar i allmän relativitetsteori
• Relativistisk mekanik – Teori om rörelse och krafter för föremål nära ljusets hastighet
• Mathisson–Papapetrou–Dixons ekvationer

•   C. Chryssomalakos; H. Hernandez-Coronado; E. Okon (2009). "Masscentrum i speciell och allmän relativitetsteori och dess roll i en effektiv beskrivning av rumtiden". J. Phys. Konf. Ser . Mexiko. 174 (1): 012026. arXiv : 0901.3349 . Bibcode : 2009JPhCS.174a2026C . doi : 10.1088/1742-6596/174/1/012026 . S2CID 17734387 .
•   UE Schroder (1990). Special relativitetsteori . Föreläsningsanteckningar i fysikserien. Vol. 33. World Scientific . sid. 139. ISBN 981-02-0132-X .

Vidare läsning

Särskild relativitet

•   R. Torretti (1996). Relativitet och geometri . Dover böcker om fysik-serien. Courier Dover Publikationer. ISBN 0-486-69046-6 .

Allmän relativitetsteori

•   L. Blanchet; A. Spallicci; B. Whiting (2011). Massa och rörelse i allmän relativitetsteori . Grundläggande fysikteorier. Vol. 162. Springer. sid. 87. ISBN 978-90-481-3015-3 .
•   M. Ludvigsen (1999). Allmän relativitet: en geometrisk metod . Cambridge University Press . sid. 77. ISBN 0-521-63976-X .
•   N. Ashby, DF Bartlett, W. Wyss (1990). General Relativity and Gravitation 1989: Proceedings of the 12th International Conference on General Relativity and Gravitation . Cambridge University Press. ISBN 0-521-38428-1 . {{ citera bok }} : CS1 underhåll: flera namn: lista över författare ( länk )
•   BL Hu; MP Ryan; MP Ryan; CV Vishveshwara (2005). Instruktioner i allmän relativitet: Volym 1: Proceedings of the 1993 . Directions in General Relativity: Proceedings of the 1993 International Symposium, Maryland: Papers in Honor of Charles Misner. Vol. 1. Cambridge University Press. sid. 347. ISBN 0-521-02139-1 .
•   A. Papapetrou (1974). Föreläsningar om allmän relativitet . Springer. ISBN 90-277-0514-3 .

externa länkar

• N. Menicucci (2001). "Relativistisk vinkelmomentum" (PDF) .
• "Särskild relativitet" (PDF) . Arkiverad från originalet (PDF) 2013-11-04 . Hämtad 2013-10-30 .