Axel-vinkelrepresentation

För en bredare täckning av detta ämne, se 3D-rotationsgrupp .

Vinkeln θ och axelenhetsvektorn e definierar en rotation, kortfattat representerad av rotationsvektorn θ e .

I matematik parametriserar axel -vinkelrepresentationen av en rotation en rotation i ett tredimensionellt euklidiskt utrymme med två kvantiteter: en enhetsvektor e som indikerar riktningen för en rotationsaxel, och en vinkel θ som beskriver storleken på rotationen runt axel. Endast två tal, inte tre, behövs för att definiera riktningen för en enhetsvektor e som är rotad vid origo eftersom storleken på e är begränsad. Till exempel höjd- och azimutvinklar för e räcker för att placera den i någon speciell kartesisk koordinatram.

Med Rodrigues rotationsformel bestämmer vinkeln och axeln en transformation som roterar tredimensionella vektorer. Rotationen sker i den mening som föreskrivs av högerregeln . Rotationsaxeln kallas ibland Euleraxeln .

Det är en av många rotationsformalismer i tre dimensioner . Axel-vinkelrepresentationen är baserad på Eulers rotationssats , som dikterar att varje rotation eller sekvens av rotationer av en stel kropp i ett tredimensionellt utrymme är ekvivalent med en ren rotation kring en enda fast axel.

Rotationsvektor

Axel-vinkelrepresentationen är ekvivalent med den mer koncisa rotationsvektorn , även kallad Euler-vektorn . I detta fall representeras både rotationsaxeln och vinkeln av en vektor som är samriktad med rotationsaxeln vars längd är rotationsvinkeln θ ,

$${\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {e} \,.$$

Den används för exponential- och logaritmkartorna som involverar denna representation.

Många rotationsvektorer motsvarar samma rotation. Speciellt kodar en rotationsvektor med längden θ + 2 πM , för vilket heltal M som helst , exakt samma rotation som en rotationsvektor med längden θ . Således finns det åtminstone en räknebar oändlighet av rotationsvektorer som motsvarar vilken rotation som helst. Dessutom är alla rotationer med 2 πM desamma som ingen rotation alls, så för ett givet heltal M , alla rotationsvektorer med längden 2 πM , i alla riktningar, utgör en tvåparametrar oräknelig oändlighet av rotationsvektorer som kodar för samma rotation som nollvektorn. Dessa fakta måste beaktas vid invertering av exponentialkartan, det vill säga när man hittar en rotationsvektor som motsvarar en given rotationsmatris. Den exponentiella kartan är på men inte en-till-en .

Exempel

Säg att du står på marken och du väljer gravitationsriktningen som den negativa z- riktningen. Om du sedan svänger till vänster kommer du att rotera π / 2 radianer (eller 90° ) runt z- axeln. Om man ser axel-vinkelrepresentationen som ett ordnat par , skulle detta vara

$$(\mathrm {axel} ,\mathrm {vinkel} )=\left({\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}},\ theta \right)=\left({\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},{\frac {\pi }{2}}\right).$$

Ovanstående exempel kan representeras som en rotationsvektor med en storlek på π / 2 som pekar i z -riktningen,

$${\begin{bmatrix}0\\0\\{\frac {\pi }{2}}\end{bmatrix}}.$$

Används

Axel-vinkelrepresentationen är praktisk när det gäller stel kroppsdynamik . är användbart att både karakterisera rotationer och även för att konvertera mellan olika representationer av stel kroppsrörelse, såsom homogena transformationer ] och vridningar.

När en stel kropp roterar runt en fast axel är dess axel-vinkeldata en konstant rotationsaxel och rotationsvinkeln är kontinuerligt beroende av tid .

Att plugga in de tre egenvärdena 1 och e ^{± iθ} och deras associerade tre ortogonala axlar i en kartesisk representation i Mercers sats är en bekväm konstruktion av den kartesiska representationen av rotationsmatrisen i tre dimensioner.

Rotera en vektor

Huvudartikel: Rodrigues rotationsformel

Rodrigues rotationsformel , uppkallad efter Olinde Rodrigues , är en effektiv algoritm för att rotera en euklidisk vektor, givet en rotationsaxel och en rotationsvinkel. Med andra ord tillhandahåller Rodrigues formel en algoritm för att beräkna den exponentiella kartan från ${\mathfrak {so}}(3)$ till SO(3) utan att beräkna hela matrisexponentialen.

Om v är en vektor i R ³ och e är en enhetsvektor med rötter vid origo som beskriver en rotationsaxel kring vilken v roteras med en vinkel θ , är Rodrigues rotationsformel för att erhålla den roterade vektorn

$$\mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=(\cos \theta )\mathbf {v} +(\sin \theta )(\mathbf {e} \times \mathbf {v} )+ (1-\cos \theta )(\mathbf {e} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {e} \,.$$

För rotation av en enskild vektor kan det vara mer effektivt än att konvertera e och θ till en rotationsmatris för att rotera vektorn.

Förhållande till andra representationer

Ytterligare information: Diagram om SO(3)

Det finns flera sätt att representera en rotation. Det är användbart att förstå hur olika representationer relaterar till varandra och hur man konverterar mellan dem. Här betecknas enhetsvektorn ω istället för e .

Exponentiell karta från 𝔰𝔬(3) till SO(3)

Ytterligare information: Matrisexponentiell , Ortogonal matris , Lie-algebra § Relation till Lie-grupper och Rotationsgrupp SO(3) § Exponentiell karta

Den exponentiella kartan åstadkommer en transformation från axel-vinkelrepresentationen av rotationer till rotationsmatriser ,

$$\exp \colon {\mathfrak {so}}(3)\to \mathrm {SO} (3)\,.$$

Genom att använda en Taylor-expansion får man i huvudsak en sluten formrelation mellan dessa två representationer. Givet en enhetsvektor ${\textstyle {\boldsymbol {\omega }}\in {\mathfrak {so}}(3)=\mathbb {R} ^{3}} som$ representerar enhetsrotationsaxel, och en vinkel, θ ∈ R , en ekvivalent rotationsmatris R ges enligt följande, där K är tvärproduktmatrisen för ω , det vill säga Kv = ω × v för alla vektorer v ∈ R ³ ,

$$R=\exp(\theta \mathbf {K} )=\summa _{k=0}^{\infty }{\frac {(\theta \mathbf {K} )^{k}}{k !}}=I+\theta \mathbf {K} +{\frac {1}{2!}}(\theta \mathbf {K} )^{2}+{\frac {1}{3!}}( \theta \mathbf {K} )^{3}+\cdots$$

Eftersom K är snedsymmetrisk och summan av kvadraterna av dess ovan diagonala poster är 1, är det karakteristiska polynomet P ( t ) för K P ( t ) = det( K − t I ) = −( t ³ + t ) . Eftersom, enligt Cayley–Hamilton-satsen , P ( K ) = 0, innebär detta att

$$\mathbf {K} ^{3}=-\mathbf {K} \,.$$

Som ett resultat är K ⁴ = – K ² , K ⁵ = K , K ⁶ = K ² , K ⁷ = – K .

Detta cykliska mönster fortsätter i det oändliga, så alla högre potenser av K kan uttryckas i termer av K och K ² . Sålunda, av ovanstående ekvation, följer det att

$$R=I+\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-\cdots \right )\mathbf {K} +\left({\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {\theta ^{6}}{6!}}-\cdots \right)\mathbf {K} ^{2}\,,$$

det är,

$$R=I+(\sin \theta )\mathbf {K} +(1-\cos \theta )\mathbf { K} ^{2}\,,$$

av Taylor-seriens formel för trigonometriska funktioner .

Detta är en Lie-algebraisk härledning, i motsats till den geometriska i artikeln Rodrigues rotationsformel .

På grund av förekomsten av den ovan nämnda exponentiella kartan kallas enhetsvektorn ω som representerar rotationsaxeln och vinkeln θ ibland för exponentialkoordinaterna för rotationsmatrisen R .

Loggkarta från SO(3) till 𝔰𝔬(3)

Ytterligare information: Rotationsgrupp SO(3) och Infinitesimal transformation

Låt K fortsätta att beteckna 3 × 3-matrisen som påverkar korsprodukten med rotationsaxeln ω : K ( v ) = ω × v för alla vektorer v i det följande.

För att hämta axel-vinkelrepresentationen för en rotationsmatris , beräkna rotationsvinkeln från kurvan för rotationsmatrisen

$$\theta =\arccos \left({\frac {\operatörsnamn {Tr} (R)-1}{2}}\right)$$

och använd sedan det för att hitta den normaliserade axeln,

$${\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2\sin \theta } }{\begin{bmatrix}R_{32}-R_{23}\\R_{13}-R_{31}\\R_{21}-R_{12}\end{bmatrix}}~,$$

där $R_{ij}$ är komponenten av rotationsmatrisen, $R$ , i $i$ -th raden och $j$ -th kolumnen.

Observera att axelvinkelrepresentationen inte är unik eftersom en rotation av $-\theta$ om $-{\boldsymbol {\omega }}$ är samma som en rotation av $\theta$ om ${\boldsymbol {\omega }}$ .

Ovanstående beräkning av axelvektor $\omega$ fungerar inte om R är symmetrisk. För det allmänna fallet $\omega$ hittas med hjälp av nollrymden av RI , se Rotationsmatris#Bestämma_axeln .

Matrislogaritmen för rotationsmatrisen R är

$$\log R={\begin{cases}0&{\text{if }}\theta =0\\{\dfrac {\theta }{2\sin \theta }}\left(RR^{\mathsf {T}}\right)&{\text{if }}\theta \neq 0{\text{ och }}\theta \in (-\pi ,\pi )\end{cases}}$$

Ett undantag uppstår när R har egenvärden lika med −1 . I det här fallet är loggen inte unik. Men även i fallet där θ = π är Frobenius-normen för loggen

$$\|\log(R)\|_{\mathrm {F} }={\sqrt {2}}|\theta |\,.$$

Givet rotationsmatriserna A och B ,

$$d_{g}(A,B):=\left\|\log \left(A^{\mathsf {T} }B\right)\right\|_{\mathrm {F} }$$

är det geodetiska avståndet på 3D-grenröret av rotationsmatriser.

För små rotationer kan ovanstående beräkning av θ vara numeriskt oprecis eftersom derivatan av arccos går till oändligheten som θ → 0 . I så fall kommer termerna utanför axeln faktiskt att ge bättre information om θ eftersom, för små vinklar, R ≈ I + θ K . (Detta beror på att dessa är de två första termerna i Taylor-serien för exp( θ K ) .)

Denna formulering har också numeriska problem vid θ = π , där termerna utanför axeln inte ger information om rotationsaxeln (som fortfarande är definierad upp till en teckentvetydighet). I så fall måste vi ompröva ovanstående formel.

$$R=I+\mathbf {K} \sin \theta +\mathbf {K} ^{2}(1-\cos \theta )$$

Vid θ = π , har vi

$$R=I+2\mathbf {K} ^{2}=I+2({\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I)=2{\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I$$

och så låt

$$B:={\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}} (R+I)\,,$$

så de diagonala termerna för B är kvadraterna av elementen i ω och tecknen (upp till teckentvetydighet) kan bestämmas från tecknen för termerna utanför axeln för B .

Enhet quaternions

Huvudartikel: Kvaternioner och rumslig rotation

Följande uttryck omvandlar axel–vinkelkoordinater till versors (enhetskvaternioner ) :

$$Q=\left(\cos {\tfrac {\theta }{2}},{\boldsymbol {\omega }}\sin {\tfrac { \theta }{2}}\right)$$

Givet en versor q = s + x representerad med dess skalära s och vektor x , kan axel-vinkelkoordinaterna extraheras med följande:

$${\begin{aligned}\theta &=2\arccos s\\[8px]{\boldsymbol {\omega }}&={\begin{cases}{\dfrac {\mathbf {x} }{\ sin {\tfrac {\theta }{2}}}},&{\text{if }}\theta \neq 0\\0,&{\text{annars}}.\end{cases}}\end{ Justerat}}$$

Ett mer numeriskt stabilt uttryck för rotationsvinkeln använder funktionen atan2 :

$$\theta =2\operatörsnamn {atan2} (|\mathbf {x} |,s)\,,$$

var | x | är den euklidiska normen för 3-vektorn x .

Se även

• Homogena koordinater
• Skruvteori , en representation av stela kroppsrörelser och hastigheter med begreppen vridningar, skruvar och skiftnycklar
• Pseudovektor
• Rotationer utan matris