Pauli–Lubanski pseudovektor

För notationen, se Ricci calculus .

Inom fysik är Pauli-Lubanski-pseudovektorn en operatör som definieras från momentum och vinkelmomentum , som används i den kvantrelativistiska beskrivningen av rörelsemängd. Den är uppkallad efter Wolfgang Pauli och Józef Lubański ,

Den beskriver spinntillstånden för rörliga partiklar. Det är generatorn för den lilla gruppen i Poincaré-gruppen , det vill säga den maximala undergruppen (med fyra generatorer) som lämnar egenvärdena för fyrmomentvektorn P _μ invarianta.

Definition

Det betecknas vanligtvis med W (eller mindre ofta med S ) och definieras av:

$W_{\mu }\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\tfrac {1}{2} }\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }J^{\nu \rho }P^{\sigma },$

var

• $\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }$ är den fyrdimensionella totalt antisymmetriska Levi-Civita-symbolen ;
• $J^{\nu \rho }$ är den relativistiska vinkelmomenttensoroperatorn ( ${\displaystyle M^{\nu \rho }})$ ;
• $P^{\sigma }$ är fyrmomentumoperatorn .

På språket exteriör algebra kan det skrivas som Hodge-dual av en trivektor ,

$$\mathbf {W} =\star (\mathbf {J} \wedge \mathbf {p} ).$$

Notera $W_{0}={\vec {J}}\cdot {\vec {P}}$ och ${\vec {W}}=E{\vec {J}}-{\vec {P}}\times {\vec {K}}.$

W _μ uppfyller tydligen

$$P^{\mu }W_{\mu }=0,$$

samt följande kommutatorrelationer ,

$${\begin{aligned}\left[P^{\mu },W^{\nu}\right]&=0,\\\left[J^{\mu \nu},W^{\rho }\right]&=i\left(g^{\rho \ nu }W^{\mu }-g^{\rho \mu }W^{\nu}\right),\end{aligned}}$$

Följaktligen,

$$\left[W_{\mu },W_{\nu}\right]=-i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }W^{\rho }P^{\sigma }.$$

Skalären W _μ W ^μ är en Lorentz-invariant operator, och pendlar med fyra momentum, och kan därmed tjäna som en etikett för irreducerbara enhetliga representationer av Poincaré-gruppen . Det vill säga, den kan fungera som etiketten för spinn , en egenskap hos representationens rumtidsstruktur, utöver den relativistiskt invarianta etiketten P _μ P ^μ för massan av alla tillstånd i en representation.

Liten grupp

På ett egenrum $S$ av 4-momentumoperatorn $P$ med 4-momentumegenvärde $k$ av Hilbertrymden i ett kvantsystem (eller för den delen standardrepresentationen med ℝ ⁴ tolkas som momentumrymd som påverkas av 5×5-matriser med det övre vänstra 4×4-blocket en vanlig Lorentz-transformation, den sista kolumnen reserverad för översättningar och åtgärden som utförs på elementen p {\ $p}$ (kolumnvektorer) i momentumrymden med 1 bifogad som en femte rad, se standardtexter) gäller följande:

• Komponenterna i $W$ med $P^{\mu }$ ersatt av $k^{\mu }$ bildar en Lie-algebra. Det är Lie-algebra för den lilla gruppen $L_{k}$ av $k$ , dvs undergruppen av den homogena Lorentz-gruppen som lämnar $k$ invariant.
• För varje irreducibel enhetsrepresentation av $L_{k}$ finns det en irreducerbar enhetsrepresentation av hela Poincaré-gruppen som kallas en inducerad representation .
• Ett representationsutrymme för den inducerade representationen kan erhållas genom successiv applicering av element från den fullständiga Poincaré-gruppen på ett icke-noll-element av $S$ och förlängning med linjäritet.

Den irreducerbara enhetsrepresentationen av Poincaré-gruppen kännetecknas av egenvärdena för de två Casimir-operatorerna $P^{2}$ och $W^{2}$ . Det bästa sättet att se att en irreducerbar enhetsrepresentation faktiskt erhålls är att visa dess verkan på ett element med godtyckligt 4-momentum egenvärde $p$ i representationsutrymmet som sålunda erhålls. Oreducerbarhet följer av konstruktionen av representationsrummet.

Massiva fält

I kvantfältteorin , i fallet med ett massivt fält, beskriver Casimir-invarianten W _μ W ^μ partikelns totala spinn , med egenvärden

$$W^{2}=W_{\mu }W^{\mu }=-m^{2}s(s+1 ),$$

där s är partikelns spinnkvantnummer och m är dess vilomassa .

Det är enkelt att se detta i partikelns viloram , ovanstående kommutator som verkar på partikelns tillstånd uppgår till [ W _j , W _k ] = i ε _jkl W _l m ; alltså W → = mJ → och ⁰ W = 0 , så att den lilla gruppen uppgår till rotationsgruppen,

$$W_{\mu }W^{\mu}=-m^{2}{\vec {J}}\cdot {\vec {J}}.$$

Eftersom detta är en Lorentz invariant kvantitet kommer den att vara densamma i alla andra referensramar .

Det är också vanligt att ta W ³ för att beskriva spinnprojektionen längs den tredje riktningen i viloramen.

I rörliga ramar, nedbrytning av ₀ W = ( W , W → ) till komponenter ( W ₁ , W ₂ , W ₃ ) , med W ₁ och W ₂ ortogonala mot P → och W ₃ parallella med P → , Pauli–Lubanski-vektorn kan uttryckas i termer av spinvektorn S → = ( S ₁ , S ₂ , S ₃ ) (liknande nedbruten) som

$${\begin{aligned}W_{0}&=PS_{3},&W_ {1}&=mS_{1},&W_{2}&=mS_{2},&W_{3}&={\frac {E}{c^{2}}}S_{3},\end{aligned }}$$

var

$$E^{2}=P^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$$

är förhållandet energi-momentum .

De tvärgående komponenterna W ₁ , W ₂ , tillsammans med S ₃ , uppfyller följande kommutatorrelationer (som gäller generellt, inte bara för massrepresentationer som inte är noll),

$${\begin{aligned}[][W_{1},W_{2}]&={\frac {ih}{2\pi }}\left(\left({\frac {E}{c ^{2}}}\right)^{2}-\left({\frac {P}{c}}\right)^{2}\right)S_{3},&[W_{2},S_ {3}]&={\frac {ih}{2\pi }}W_{1},&[S_{3},W_{1}]&={\frac {ih}{2\pi }}W_ {2}.\end{aligned}}$$

För partiklar med massa som inte är noll och de fält som är associerade med sådana partiklar,

$$[W_{1},W_{2}]={\frac {ih}{2\pi }}m^{2}S_{3}.$$

Masslösa fält

Huvudartikel: masslös partikel

I allmänhet kan vid icke-massiva representationer två fall skiljas åt. För masslösa partiklar,

$$W^ {2}=W_{\mu }W^{\mu}=-E^{2}\left((K_{2}-J_{1})^{2}+(K_{1}+J_{2 })^{2}\right)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} -E^{2}\left(A^{2}+B^{2}\right),$$

där K → är den dynamiska massmomentvektorn . Så, matematiskt, P ² = 0 inte W ² = 0.

Kontinuerliga spinrepresentationer

I det mer allmänna fallet kan komponenterna i W → tvärs P → vara icke-noll, vilket ger den familj av representationer som kallas de cylindriska luxonerna ("luxon" är en annan term för "masslös partikel"), deras identifierande egenskap är att komponenterna av W → bildar en Lie subalgebra som är isomorf till den 2-dimensionella euklidiska gruppen ISO(2) , där den longitudinella komponenten av W → spelar rollen som rotationsgeneratorn och de tvärgående komponenterna rollen som translationsgeneratorer. Detta motsvarar en gruppsammandragning av SO(3) , och leder till vad som är känt som de kontinuerliga spinnrepresentationerna . Det finns dock inga kända fysiska fall av fundamentala partiklar eller fält i denna familj. Det kan hävdas att kontinuerliga spinntillstånd har en inre frihetsgrad som inte ses i observerade masslösa partiklar.

Helicitetsrepresentationer

I ett specialfall är ${\vec {W}}$ parallell med ${\vec {P}};$ eller motsvarande ${\displaystyle {\vec {W}}\times {\vec {P}}={\vec {\boldsymbol {0}}}.} För icke-noll W → {\displaystyle {\vec {$ W $}$ denna begränsning kan endast konsekvent införas för luxoner ( masslösa partiklar ), eftersom kommutatorn för de två tvärgående komponenterna av ${\vec {W}}$ är proportionell mot $m^{2}{\vec {J}}\cdot {\vec {P}}\,.$ För denna familj är $W^{2}=0$ och $W^{\mu }=\lambda \,P^{\mu }$ invarianten ges istället av

$$\left(W^{0}\right)^{2}=\left(W^{3}\right)^{2},$$

var

$$W^{0}=-{\vec {J}}\cdot {\vec {P}},$$

så invarianten representeras av helicitetsoperatorn

$$W^{0}/P.$$

Alla partiklar som interagerar med den svaga kärnkraften , till exempel, faller inom denna familj, eftersom definitionen av svag kärnladdning (svag isospin ) involverar helicitet, som enligt ovan måste vara en invariant. Uppkomsten av massa som inte är noll i sådana fall måste sedan förklaras på andra sätt, såsom Higgs-mekanismen . Även efter att ha tagit hänsyn till sådana massgenererande mekanismer fortsätter emellertid fotonen (och därmed det elektromagnetiska fältet)
att ^±
falla i denna klass, även om de andra massegentillstånden för bärarna av den elektrosvaga kraften (W boson och antiboson och
Z ⁰
boson ) förvärva massa som inte är noll.

Neutrinos ansågs tidigare falla i denna klass också. Men eftersom neutriner har observerats oscillera i smak , är det nu känt att åtminstone två av de tre massegentillstånden för vänsterhelicitet neutrinos och högerhelicitets antineutrinerna var och en måste ha icke-noll massa.

Se även

• Masscentrum (relativistisk)
• Wigners klassificering
• Vinkelmomentoperator
• Casimir operatör
• Chiralitet
• Pseudovektor
• Pseudotensor
• Inducerad representation

Anteckningar

•   Bogolyubov, NN (1989). General Principles of Quantum Field Theory (2:a upplagan). Springer Verlag . ISBN 0-7923-0540-X .
•   Brown, LS (1994). Kvantfältteori . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-46946-3 .
•    Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and Representations: An Elementary Entroduction , Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (andra upplagan), Springer, doi : 10.1007/978-3-319-13467-3 , ISBN 978-3319134666 , ISSN 0072-5285
• Lubański, JK (1942A). "Sur la theorie des particules élémentaires de spin quelconque. I". Physica (på franska). 9 (3): 310–324. Bibcode : 1942Phy.....9..310L . doi : 10.1016/S0031-8914(42)90113-7 .
• Lubanski, JK (1942B). "Sur la théorie des particules élémentaires de spin quelconque. II". Physica (på franska). 9 (3): 325–338. Bibcode : 1942Phy.....9..325L . doi : 10.1016/S0031-8914(42)90114-9 .
•   Ohlsson, T. (2011). Relativistisk kvantfysik: Från avancerad kvantmekanik till inledande kvantfältteori . Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-50432-4 .
•   Penrose, R. (2005). Vägen till verkligheten . Vintage böcker. ISBN 978-0-09-944068-0 .
•   Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups - An Introduction Through Linear Groups , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
•   Ryder, LH (1996). Quantum Field Theory (2:a upplagan). Cambridge University Press. ISBN 0-521-47814-6 .
•   Tung, Wu-Ki (1985). Gruppteori i fysik (1:a uppl.). New Jersey·London·Singapore·Hong Kong: World Scientific . ISBN 978-9971966577 .
•   Weinberg, S. (2002) [1995], Foundations , The Quantum Theory of Fields, vol. 1, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-55001-7
•     Wigner, EP (1939). "Om enhetliga representationer av den inhomogena Lorentz-gruppen". Annals of Mathematics . 40 (1): 149–204. Bibcode : 1939AnMat..40..149W . doi : 10.2307/1968551 . JSTOR 1968551 . MR 1503456 . S2CID 121773411 .