Rang för en grupp

I det matematiska ämnet gruppteori kan rangen för en grupp G , betecknad rank( G ), hänvisa till den minsta kardinalitet av en genereringsmängd för G , dvs.

\operatörsnamn {rank} (G)=\min\{|X|:X\subseteq G,\langle X\rangle =G\}.

Om G är en ändligt genererad grupp , är rangordningen av G ett icke-negativt heltal. Begreppet rang av en grupp är en gruppteoretisk analog till begreppet dimension av ett vektorrum . Faktum är att för p -grupper är rangordningen för gruppen P dimensionen av vektorrummet P /Φ( P ), där Φ( P ) är Frattini-undergruppen .

Rangen för en grupp definieras också ofta på ett sådant sätt att man säkerställer att undergrupper har en rangordning som är mindre än eller lika med hela gruppen, vilket automatiskt är fallet för dimensioner av vektorrum, men inte för grupper som affingrupper . För att särskilja dessa olika definitioner kallar man ibland denna rang för undergruppsrang . Uttryckligen är undergruppsrangen för en grupp G det maximala av rangorden för dess undergrupper:

\operatorname {sr} (G)=\max _{H\leq G}\min\{|X|:X\subseteq H,\langle X\rangle =H\}.

Ibland är undergruppens rangordning begränsad till abelska undergrupper.

Kända fakta och exempel

För en icke-trivial grupp G har vi rang( G ) = 1 om och endast om G är en cyklisk grupp . Den triviala gruppen T har rank( T ) = 0, eftersom den minimala genererande mängden av T är den tomma mängden .
För en fri ${\rm {rank}}(\mathbb {Z} ^{n})=n.$ grupp $\mathbb {Z} ^{n}$ har vi
Om X är en mängd och G = F ( X ) är den fria gruppen med fri bas X då rank( G ) = | X |.
Om en grupp H är en homomorf bild (eller en kvotgrupp ) av en grupp G då rank( H ) ≤ rank( G ).
Om G är en ändlig icke-abelisk enkel grupp (t.ex. G = A _n , den alternerande gruppen , för n > 4) då rang( G ) = 2. Detta faktum är en konsekvens av klassificeringen av ändliga enkla grupper .
Om G är en ändligt genererad grupp och Φ( G ) ≤ G är Frattini-undergruppen av G (som alltid är normal i G så att kvotgruppen G /Φ( G ) definieras) då rank( G ) = rank( G ) /Φ( G )).
Om G är den grundläggande gruppen av en sluten (det vill säga kompakt och utan gräns) ansluten 3-manifold M då rang( G ) ≤ g ( M ), där g ( M ) är Heegaard-släktet av M .
Om H , K ≤ F ( X ) är ändligt genererade undergrupper av en fri grupp F ( X ) så att skärningspunkten $L=H\cap K$ är icke-trivial, så genereras L ändligt och

rank( L ) − 1 ≤ 2(rank( K ) − 1)(rank( H ) − 1).

Detta resultat beror på Hanna Neumann . Hanna Neumanns gissning säger att man i själva verket alltid har rang( L ) − 1 ≤ (rank( K ) − 1)(rank( H ) − 1). Hanna Neumann-förmodan har nyligen lösts av Igor Mineyev och tillkännagavs oberoende av Joel Friedman.

Enligt den klassiska Grushko-satsen beter sig rank additivt när det gäller att ta gratisprodukter , det vill säga för alla grupper A och B har vi

rank( A

\ast

B ) = rank( A ) + rank( B ) .

Om $G=\langle x_{1},\dots ,x_{n}|r=1\rangle$ är en enrelatorgrupp så att r inte är ett primitivt element i den fria gruppen F ( x ₁ ,..., x _n ), det vill säga r tillhör inte en fri bas av F ( x ₁ ,..., x _n ), då rank( G ) = n .

Rangproblemet

Det finns ett algoritmiskt problem som studeras inom gruppteorin , känt som rangproblemet . Problemet frågar för en viss klass av ändligt presenterade grupper om det finns en algoritm som, givet en ändlig presentation av en grupp från klassen, beräknar rangen för den gruppen. Rangproblemet är ett av de svårare algoritmproblem som studeras inom gruppteorin och relativt lite är känt om det. Kända resultat inkluderar:

Rangproblemet är algoritmiskt oavgörbart för klassen av alla ändligt presenterade grupper . I själva verket, genom ett klassiskt resultat av Adian–Rabin , finns det ingen algoritm för att avgöra om en ändligt presenterad grupp är trivial, så även frågan om rang( G )=0 är obestämbar för ändligt presenterade grupper.
Rangproblemet är avgörbart för finita grupper och för finita genererade abelska grupper .
Rangproblemet kan avgöras för ändligt genererade nilpotenta grupper . Anledningen är att för en sådan grupp G innehåller Frattini -undergruppen av G kommutatorundergruppen av G och följaktligen är rangordningen för G lika med rangordningen för abelianiseringen av G .
Rangproblemet är obestämbart för ordhyperboliska grupper .
Rangproblemet kan avgöras för vridningsfria Kleinian-grupper .
Rangproblemet är öppet för ändligt genererade virtuellt abelska grupper (det vill säga innehåller en abelsk undergrupp av ändligt index ), för praktiskt taget fria grupper och för 3-manifoldiga grupper.

Generaliseringar och relaterade begrepp

Rangen för en ändligt genererad grupp G kan definieras ekvivalent som den minsta kardinaliteten av en mängd X så att det finns en onto homomorfism F ( X ) → G , där F ( X ) är den fria gruppen med fri bas X. Det finns en dubbel uppfattning om samrang för en ändligt genererad grupp G definierad som den största kardinaliteten av X så att det existerar en onto homomorfism G → F ( X ). Till skillnad från rang är co-rank alltid algoritmiskt beräkningsbar för ändligt presenterade grupper , med hjälp av Makanins och Razborovs algoritm för att lösa ekvationssystem i fria grupper. Begreppet medrang är relaterat till begreppet ett snittnummer för 3-grenrör .

Om p är ett primtal , då är p - rangen av G den största rangordningen av en elementär abelisk p -undergrupp. Sektionens p - rang är den största rangordningen för en elementär abelisk p -sektion ( kvoten av en undergrupp).

Se även

Anteckningar