Heegaard splittring

Inom det matematiska fältet av geometrisk topologi är en Heegaard-delning ( danska: [ˈhe̝ˀˌkɒˀ] ( lyssna ) ) en nedbrytning av en kompakt orienterad 3-grenrör som är resultatet av att dela den i två handtag .

Definitioner

Låt V och W vara handtag av släktet g , och låt ƒ vara en orientering som vänder homeomorfism från gränsen för V till gränsen för W. Genom att limma V till W längs ƒ får vi det kompaktorienterade 3-grenröret

M=V\cup _{f}W.

Varje stängt, orienterbart tregrenrör kan erhållas så; detta följer av djupa resultat om triangulerbarheten hos tre grenrör på grund av Moise . Detta står i stark kontrast till flerdimensionella grenrör som inte behöver tillåta jämna eller bitvis linjära strukturer. Om man antar jämnhet följer förekomsten av en Heegaard-splittring också av Smales arbete om handtagsupplösningar från Morse-teorin.

Nedbrytningen av M till två handtagskroppar kallas en Heegaard-klyvning , och deras gemensamma gräns H kallas Heegaard-ytan av klyvningen. Splittringar anses vara upp till isotopi .

Limningskartan ƒ behöver endast specificeras fram till att man tar en dubbel coset i mappningsklassgruppen H . Denna koppling med kartläggningsklassgruppen gjordes först av WBR Lickorish .

Heegaard klyvningar kan också definieras för kompakta 3-grenrör med gräns genom att byta ut handtag med kompressionskroppar . Limningskartan ligger mellan de positiva gränserna för kompressionskropparna.

En sluten kurva kallas väsentlig om den inte är homotop till en punkt, en punktering eller en gränskomponent.

En Heegaard-delning är reducerbar om det finns en väsentlig enkel sluten kurva $\alpha$ på H som avgränsar en skiva i både V och W . En splittring är irreducerbar om den inte är reducerbar. Av Hakens Lemma följer att i ett reducerbart grenrör är varje klyvning reducerbar.

En Heegaard-delning stabiliseras om det finns väsentliga enkla slutna kurvor $\alpha$ och $\beta$ på H där $\alpha$ avgränsar en skiva i V , $\beta$ begränsar en skiva i W , och $\alpha$ och $\beta$ skär varandra exakt en gång. Det följer av Waldhausens teorem att varje reducerbar splittring av ett irreducerbart grenrör stabiliseras.

En Heegaard-delning är svagt reducerbar om det finns disjunkta väsentliga enkla slutna kurvor $\alpha$ och $\beta$ på H där $\alpha$ begränsar en skiva i V och $\ beta$ begränsar en disk i W . En splittring är starkt oreducerbar om den inte är svagt reducerbar.

En Heegaard-delning är minimal eller minimal släkt om det inte finns någon annan delning av det omgivande tre-grenröret av lägre släkte . Det minimala värdet g för klyvningsytan är Heegaard-släktet av M .

Generaliserade Heegaard-splittringar

En generaliserad Heegaard-delning av M $V_{i},W_{i},i=1,\dotsc ,n$ en sönderdelning i kompressionskroppar ytor $H_{i},i=1,\dotsc ,n$ så att $+}W_{i}=H_{i}}$ ${\displaystyle \partial _{+}V_ {i}=\partial _$ $\partial _{-}W_{i}=\partial _{ -}V_{i+1}$ och . Det inre av kompressionskropparna måste vara parvis osammanhängande och deras förening måste helt vara av $M$ . Ytan $H_{i}$ bildar en Heegaard-yta för undergrenröret $V_{i}\cup W_{i}$ av $M$ . (Observera att här får varje V _i och Wi ₎ ha mer än en komponent.

En generaliserad Heegaard-delning kallas starkt irreducerbar om varje $V_{i}\cup W_{i}$ är starkt irreducerbar.

Det finns en analog uppfattning om tunn position, definierad för knutar, för Heegaard-splittringar. Komplexiteten hos en ansluten yta S , c(S) , definieras som $\operatornamn {max} \left\{0,1-\chi (S)\ höger\}$ ; komplexiteten hos en frånkopplad yta är summan av komplexiteten hos dess komponenter. Komplexiteten i en generaliserad Heegaard-delning är multi-uppsättningen {c(S_i)} , där indexet löper över Heegaard-ytorna i den generaliserade uppdelningen. Dessa multi-uppsättningar kan vara välordnade genom lexikografisk ordning (monotont avtagande). En generaliserad Heegaard-delning är tunn om dess komplexitet är minimal.

Exempel

Tre-sfär: Tre-sfären $S^{3}$ är uppsättningen av vektorer i $\mathbb {R} ^{4}$ med längd ett. Genom att skära detta med $xyz$ hyperplanet ger en tvåsfär . Detta är standardsläktets nolldelning av $S^{3}$ . Omvänt, enligt Alexander's Trick , är alla grenrör som medger en släktets nolldelning homeomorfa till $S^{3}$ . Under den vanliga identifieringen av $\mathbb {R} ^{4}$ med $\mathbb {C} ^{2}$ kan vi se $S^{3}$ som bor i $\mathbb {C} ^{2}$ . $\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$ bildar uppsättningen punkter där varje koordinat har norm 1/2 en Clifford-torus , $\displaystyle T^{2}}$ . Detta är standardgenus ett-delningen av $S^{3}$ . (Se även diskussionen i Hopf-paketet .)
Stabilisering: Givet en Heegaard-delning H i M bildas stabiliseringen av H genom att ta den sammankopplade summan av paret ( $\displaystyle (M,H)}$ med paret $\left(S^{3},T^{2}\right)$ . Det är lätt att visa att stabiliseringsproceduren ger stabiliserade klyvningar. Induktivt är en klyvning standard om den är stabiliseringen av en standardklyvning.
Linsutrymmen: Alla har en standarduppdelning av genus ett. Detta är bilden av Clifford torus i $S^{3}$ under kvotkartan som används för att definiera linsutrymmet i fråga. Det följer av strukturen för kartläggningsklassgruppen för tvåtorusen att endast linsutrymmen har splittringar av släktet ett.
Tre-torus: Kom ihåg att tre-torus $T^{3}$ är den kartesiska produkten av tre kopior av $S^{1}$ ( cirklar ). Låt $x_{0}$ vara en punkt av $S^{1}$ och betrakta grafen $\Gamma =S^{1}\times \{x_{0}\}\times \{x_{0}\}\cup \{x_{ 0}\}\ gånger S^{1}\ gånger \{x_{0}\}\kopp \{x_{0}\}\ gånger \{x_{0}\}\ gånger S^{1}$ . Det är en enkel övning att visa att V , en vanlig grannskap av $\Gamma$ , är en handtag liksom $T^{3}-V$ . Sålunda är gränsen för V i $T^{3}$ en Heegaard-delning och detta är standarddelningen av $T^{3}$ . Det bevisades av Charles Frohman och Joel Hass att varje annan släkte 3 Heegaard-delning av tre-torus är topologiskt likvärdig med denna. Michel Boileau och Jean-Pierre Otal bevisade att i allmänhet varje Heegaard-delning av tre-torus är likvärdig med resultatet av att stabilisera detta exempel.

Satser

Alexanders lemma: Fram till isotopin finns det en unik ( bitvis linjär ) inbäddning av tvåsfären i tresfären. (I högre dimensioner är detta känt som Schoenflies-satsen . I dimension två är detta Jordan-kurvans sats. ) Detta kan omformuleras enligt följande: genusnolldelningen av $S^{3}$ är unik.
Waldhausens sats: Varje uppdelning av $S^{3}$ erhålls genom att stabilisera den unika uppdelningen av släktet noll.

Antag nu att M är ett slutet orienterbart tre-grenrör.

Reidemeister–Singer-satsen: För alla par av splittringar $H_{1}$ och $H_{2}$ i M finns det en tredje splittring $H$ i M som är en stabilisering av både.
Hakens lemma: Antag att $S_{1}$ är en väsentlig tvåsfär i M och H är en Heegaard-delning. Sedan finns det en väsentlig tvåsfär $S_{2}$ i M möter H i en enda kurva.

Klassificeringar

Det finns flera klasser av tre-grenrör där uppsättningen av Heegaard-klyvningar är helt känd. Till exempel visar Waldhausens sats att alla uppdelningar av $S^{3}$ är standard. Detsamma gäller linsutrymmen (vilket bevisats av Francis Bonahon och Otal).

Uppdelningar av Seifert-fiberutrymmen är mer subtila. Här kan alla klyvningar vara isotopade för att vara vertikala eller horisontella (vilket bevisats av Yoav Moriah och Jennifer Schultens ).

Cooper & Scharlemann (1999) klassificerade splittringar av torusbuntar (som inkluderar alla tre grenrör med Sol-geometri ). Det följer av deras arbete att alla torusbuntar har en unik splittring av minimalt släkte. Alla andra splittringar av torusbunten är stabiliseringar av det minimala släktet.

Från och med 2008 är de enda hyperboliska tregrenrören vars Heegaard-splittringar klassificeras tvåbrosknutkomplement, i en tidning av Tsuyoshi Kobayashi.

Applikationer och anslutningar

Minimala ytor

Heegaard-klyvningar dök upp i teorin om minimala ytor först i Blaine Lawsons arbete som bevisade att inbäddade minimala ytor i kompakta grenrör med positiv sektionskrökning är Heegaard-klyvningar. Detta resultat utvidgades av William Meeks till platta grenrör, förutom att han bevisar att en inbäddad minimal yta i en platt tre grenrör antingen är en Heegaard-yta eller helt geodetisk .

Meeks och Shing-Tung Yau fortsatte med att använda resultaten från Waldhausen för att bevisa resultat om den topologiska unikheten hos minimala ytor av ändligt släkte i $\mathbb {R} ^{3}$ . Den slutliga topologiska klassificeringen av inbäddade minimala ytor i $\mathbb {R} ^{3}$ gavs av Meeks och Frohman. Resultatet förlitade sig mycket på tekniker utvecklade för att studera topologin för Heegaard-splittringar.

Heegaard Floer homologi

Heegaard-diagram, som är enkla kombinatoriska beskrivningar av Heegaard-delningar, har använts i stor utsträckning för att konstruera invarianter av tre-grenrör. Det senaste exemplet på detta är Heegaard Floer-homologin av Peter Ozsvath och Zoltán Szabó . Teorin använder den $g^{th}$ symmetriska produkten av en Heegaard-yta som det omgivande utrymmet, och tori byggda från meridianskivornas gränser för de två handtagskropparna som de lagrangiska undergrenrören .

Historia

Idén om en Heegaard-delning introducerades av Poul Heegaard ( 1898 ). Medan Heegaard-splittringar studerades omfattande av matematiker som Wolfgang Haken och Friedhelm Waldhausen på 1960-talet, var det inte förrän några decennier senare som fältet föryngrades av Andrew Casson och Cameron Gordon ( 1987 ), främst genom deras koncept av stark irreducibility .

Se även

Farb, Benson ; Margalit, Dan, A Primer on Mapping Class Groups , Princeton University Press
Casson, Andrew J .; Gordon, Cameron McA. (1987), "Reducing Heegaard splittings", Topology and Its Applications , 27 (3): 275–283, doi : 10.1016/0166-8641(87)90092-7 , ISSN 0166-8641 , MR 7 091855
Cooper, Daryl; Scharlemann, Martin (1999), "The structure of a solvmanifold's Heegaard splittings" , Turkish Journal of Mathematics , 23 (1): 1–18, ISSN 1300-0098 , MR 1701636 , arkiverad från originalet 2011-08 hämtad 2020-01-11
Heegaard, Poul (1898), Forstudier til en topologisk Teori for de algebraiske Fladers Sammenhang (PDF) , Avhandling (på danska), JFM 29.0417.02
Hempel, John (1976), 3-manifolds , Annals of Mathematics Studies, vol. 86, Princeton University Press , ISBN 978-0-8218-3695-8 , MR 0415619
Kobayashi, Tsuyoshi (2001), "Heegaard splittings of exteriors of two bridge knots" , Geometry and Topology , 5 (2): 609–650, doi : 10.2140/gt.2001.5.609 , S2CID 1899177