Prüfer rang

Inom matematiken , särskilt inom det område av algebra som kallas gruppteori , mäter Prüfer -rankningen av en pro-p-grupp storleken på en grupp i termer av rangordningen av dess elementära abeliska sektioner . Rangen är väluppfostrad och hjälper till att definiera analytiska pro-p-grupper. Termen är uppkallad efter Heinz Prüfer .

Definition

Prüfer-rankningen för pro-p-grupp $G$ är

$\sup\{d(H)|H\leq G\}$

där $d(H)$ är rangordningen för den abelska gruppen

$H/\Phi (H)$ ,

där $\Phi (H)$ är Frattini-undergruppen av $H$ .

Eftersom Frattini-undergruppen av $H$ kan ses som gruppen av icke-genererande element i $H$ , kan det ses att $d(H)$ kommer att vara lika med storleken på en minimal genereringsuppsättning av $H$ .

Egenskaper

Dessa profinita grupper med ändlig Prüfer-rang är mer mottagliga för analys.

Specifikt i fallet med ändligt genererade pro-p-grupper , att ha finit Prüfer-rankning motsvarar att ha en öppen normal undergrupp som är kraftfull . Dessa är i sin tur just den klass av pro-p-grupper som är p-adisk analytiska - det vill säga grupper som kan genomsyras av en p-adisk mångfaldig struktur.