Polykub
En polykub är en solid figur som bildas genom att sammanfoga en eller flera lika stora kuber ansikte mot ansikte. Polykuber är de tredimensionella analogerna av de plana polyominoerna . Soma -kuben , Bedlam-kuben , Diabolical-kuben , Slothouber –Graatsma-pusslet och Conway-pusslet är exempel på packningsproblem baserade på polykuber.
Uppräkning av polykuber
Liksom polyominoer kan polykuber räknas upp på två sätt, beroende på om kirala par av polykuber räknas som en polykub eller två. Till exempel har 6 tetrakuber spegelsymmetri och en är kiral , vilket ger en räkning av 7 respektive 8 tetrakuber. Till skillnad från polyominoer räknas polykuber vanligtvis med spegelpar åtskilda, eftersom man inte kan vända en polykub för att reflektera den som man kan en polyomino given tre dimensioner. I synnerhet Somakuben båda formerna av den kirala tetrakuben.
Polykuber klassificeras efter hur många kubiska celler de har:
| n | Namn på n -polykub |
Antal ensidiga n -polykuber (reflektioner räknas som distinkta) (sekvens A000162 i OEIS ) |
Antal fria n -polykuber (reflektioner räknade tillsammans) (sekvens A038119 i OEIS ) |
|---|---|---|---|
| 1 | monokub | 1 | 1 |
| 2 | dikub | 1 | 1 |
| 3 | trikub | 2 | 2 |
| 4 | tetrakub | 8 | 7 |
| 5 | pentacube | 29 | 23 |
| 6 | hexacube | 166 | 112 |
| 7 | heptacube | 1023 | 607 |
| 8 | octacube | 6922 | 3811 |
Polykuber har räknats upp till n =16. På senare tid har specifika familjer av polykuber undersökts.
Symmetrier av polykuber
Precis som med polyominoer kan polykuber klassificeras efter hur många symmetrier de har. Polykubsymmetrier (konjugationsklasser av undergrupper av den akirala oktaedriska gruppen ) räknades upp först av WF Lunnon 1972. De flesta polykuber är asymmetriska, men många har mer komplexa symmetrigrupper, hela vägen upp till den fullständiga symmetrigruppen av kuben med 48 element . Många andra symmetrier är möjliga; till exempel finns det sju möjliga former av 8-faldig symmetri
Egenskaper hos pentakuber
12 pentakuber är platta och motsvarar pentominoerna . 5 av de återstående 17 har spegelsymmetri, och de andra 12 bildar 6 kirala par.
Pentakubernas begränsningsrutor har storlekarna 5×1×1, 4×2×1, 3×3×1, 3×2×1, 4×2×2, 3×2×2 och 2×2×2 .
En polykub kan ha upp till 24 orienteringar i det kubiska gittret, eller 48, om reflektion tillåts. Av pentakuberna har 2 plattor (5-1-1 och korset) spegelsymmetri i alla tre axlarna; dessa har bara tre orienteringar. 10 har en spegelsymmetri; dessa har 12 orienteringar. Var och en av de återstående 17 pentakuberna har 24 orienteringar.
Octacube och hypercube utveckningar
Tesserakten (fyrdimensionell hyperkub ) har åtta kuber som dess facetter , och precis som kuben kan vecklas ut till en hexomino , kan tesserakten vecklas ut till en oktakub . Särskilt en utvikning efterliknar den välkända utvikningen av en kub till ett latinskt kors : den består av fyra kuber staplade ovanpå varandra, med ytterligare fyra kuber fästa vid de exponerade fyrkantiga ytorna på den andra uppifrån kuben av stapeln, för att bilda en tredimensionell dubbelkorsform . Salvador Dalí använde denna form i sin målning Crucifixion (Corpus Hypercubus) från 1954 och den beskrivs i Robert A. Heinleins novell från 1940 " And He Built a Crooked House" . För att hedra Dalí har denna oktakub kallats Dalí-korset . Det kan kakel utrymme .
Mer allmänt (som svarar på en fråga som ställdes av Martin Gardner 1966), av alla 3811 olika fria oktakuber, är 261 uppenbarelser av tesserakten.
Gränsanslutning
Även om kuberna i en polykub måste vara anslutna kvadrat-till-kvadrat, krävs det inte att kvadraterna på dess gräns är anslutna kant-till-kant. Till exempel är 26-kuben som bildas genom att göra ett 3×3×3 rutnät av kuber och sedan ta bort mittkuben en giltig polykub, där gränsen för det inre tomrummet inte är kopplad till den yttre gränsen. Det krävs inte heller att gränsen för en polykub bildar ett grenrör . Till exempel har en av pentakuberna två kuber som möts kant-till-kant, så att kanten mellan dem är sidan av fyra gränsrutor.
Om en polykub har den ytterligare egenskapen att dess komplement (uppsättningen heltalskuber som inte hör till polykuben) är sammankopplade med banor av kuber som möts kvadrat-till-kvadrat, så är polykubens gränskvadrater nödvändigtvis också förbundna med banor av rutor som möter kant till kant. Det vill säga, i detta fall bildar gränsen en polyominoid .
Kan varje polykub med en ansluten gräns vecklas ut till en polyomino? Om så är fallet, kan varje sådan polykub vecklas ut till en polyomino som plattar planet?
Varje k -kub med k < 7 såväl som Dalí-korset (med k = 8 ) kan vikas ut till en polyomino som plattar planet. Det är ett öppet problem huruvida varje polykub med en ansluten gräns kan vikas ut till en polyomino, eller om detta alltid kan göras med det ytterligare villkoret att polyominot plattar planet.
Dubbel graf
Strukturen av en polykub kan visualiseras med hjälp av en "dubbelgraf" som har en vertex för varje kub och en kant för varje två kuber som delar en kvadrat. Detta skiljer sig från de liknande begreppen om en dubbel polyhedron och den dubbla grafen för en ytinbäddad graf.
Dubbla grafer har också använts för att definiera och studera speciella underklasser av polykuberna, till exempel de vars dubbla graf är ett träd.
Se även
externa länkar
- Hexakubpussel i trä från Kadon
- Polycube symmetrier
- Polycube solver Program (med Lua-källkod) för att fylla rutor med polykuber med hjälp av Algoritm X .
| Polyominoer | |
|---|---|
| Högre dimensioner | |
| Andra | |
| Spel och pussel | |
