Partikel i en låda

Några banor för en partikel i en låda enligt Newtons lagar för klassisk mekanik (A) , och enligt Schrödingers kvantmekaniks ekvation (B–F). I (B–F) är den horisontella axeln position, och den vertikala axeln är den verkliga delen (blå) och den imaginära delen (röd) av vågfunktionen . Tillstånden (B,C,D) är energiegentillstånd , men (E,F) är det inte.

Inom kvantmekaniken beskriver partikeln i en lådmodell (även känd som den oändliga potentialbrunnen eller den oändliga kvadratiska brunnen) en partikel som är fri att röra sig i ett litet utrymme omgivet av ogenomträngliga barriärer . Modellen används främst som ett hypotetiskt exempel för att illustrera skillnaderna mellan klassiska och kvantsystem. I klassiska system, till exempel, kan en partikel som fångas inuti en stor låda röra sig med vilken hastighet som helst i lådan och det är inte mer troligt att den hittas på en position än en annan. Men när brunnen blir mycket smal (på en skala av några nanometer) blir kvanteffekter viktiga. Partikeln kan bara uppta vissa positiva energinivåer . Likaså kan den aldrig ha noll energi, vilket innebär att partikeln aldrig kan "sitta still". Dessutom är det mer sannolikt att det finns på vissa positioner än på andra, beroende på dess energinivå. Partikeln kanske aldrig detekteras vid vissa positioner, så kallade rumsliga noder.

Partikeln i en lådmodell är ett av de mycket få problemen inom kvantmekaniken som kan lösas analytiskt, utan approximationer. På grund av sin enkelhet tillåter modellen insikt i kvanteffekter utan behov av komplicerad matematik. Det fungerar som en enkel illustration av hur energikvantiseringar (energinivåer), som finns i mer komplicerade kvantsystem som atomer och molekyler, uppstår. Det är ett av de första kvantmekaniska problemen som lärs ut i fysikkurser på grundnivå, och det används ofta som en approximation för mer komplicerade kvantsystem.

Endimensionell lösning

Barriärerna utanför en endimensionell låda har oändligt stor potential, medan lådans inre har en konstant nollpotential. Den förskjutna brunnen visas med ${\textstyle x_{c}=L/2}$

Den enklaste formen av partikeln i en lådmodell betraktar ett endimensionellt system. Här får partikeln bara röra sig bakåt och framåt längs en rak linje med ogenomträngliga barriärer i vardera änden. Väggarna i en endimensionell låda kan ses som områden i rymden med en oändligt stor potentiell energi . Omvänt har lådans inre en konstant, noll potentiell energi. Detta innebär att inga krafter verkar på partikeln inuti lådan och den kan röra sig fritt i det området. Men oändligt stora krafter stöter bort partikeln om den vidrör lådans väggar, vilket hindrar den från att fly. Den potentiella energin i denna modell anges som

$$V(x)={\begin{cases}0,&x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}},\\\infty ,&{\text{annars,}}\end{cases}},$$

där L är längden på lådan, x _c är platsen för mitten av lådan och x är läget för partikeln i lådan. Enkla fall inkluderar den centrerade rutan ( x _c = 0) och den förskjutna rutan ( x _c = L /2) (bilden).

Positionsvågfunktion

Inom kvantmekaniken ger vågfunktionen den mest grundläggande beskrivningen av en partikels beteende; partikelns mätbara egenskaper (såsom dess position, rörelsemängd och energi) kan alla härledas från vågfunktionen. Vågfunktionen $\psi (x,t)$ kan hittas genom att lösa Schrödinger-ekvationen för systemet

$$i\hbar {\frac { \partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{ 2}}}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t),$$

där $\hbar$ är den reducerade Planck-konstanten , $m$ är partikelns massa , $i$ är den imaginära enheten och $t$ är tid.

Inuti boxen verkar inga krafter på partikeln, vilket innebär att den del av vågfunktionen inuti boxen svänger genom rum och tid med samma form som en fri partikel :

$$\psi (x,t)=\left[A\sin(kx) +B\cos(kx)\right]e^{-i\omega t},$$

 

 

 

 

()

där $A$ och $B$ är godtyckliga komplexa tal . Svängningarnas frekvens genom rum och tid ges av vågnumret k $\displaystyle k}$ respektive vinkelfrekvensen $\omega$ . Dessa är båda relaterade till partikelns totala energi genom uttrycket

$$E=\hbar \omega ={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}},$$

vilket är känt som dispersionsrelationen för en fri partikel. Här måste man lägga märke till att nu, eftersom partikeln inte är helt fri utan under påverkan av en potential (potentialen V som beskrivs ovan), är energin hos partikeln som anges ovan inte samma sak som ${ \frac {p^{2}}{2m}}$ där p är partikelns rörelsemängd, och därmed beskriver vågnumret k ovan faktiskt partikelns energitillstånd, inte rörelsemängdstillstånden (dvs. det visar sig att rörelsemängden av partikeln ges inte av $p=\hbar k$ ). I denna mening är det ganska farligt att kalla numret k för ett vågnummer, eftersom det inte är relaterat till momentum som "vågnummer" vanligtvis är. Skälet för att kalla k vågnumret är att det räknar upp antalet toppar som vågfunktionen har inuti rutan, och i denna mening är det ett vågnummer. Denna avvikelse kan ses tydligare nedan, när vi får reda på att partikelns energispektrum är diskret (endast diskreta energivärden är tillåtna) men momentumspektrumet är kontinuerligt (momentet kan variera kontinuerligt) och i synnerhet relationen $E={\frac {p^{2}}{2m}}$ för partikelns energi och rörelsemängd håller inte. Som sagt ovan, anledningen till att denna relation mellan energi och rörelsemängd inte håller är att partikeln inte är fri, utan det finns en potential V i systemet, och partikelns energi är $E= T+V$ , där T är kinetiken och V den potentiella energin.

Initiala vågfunktioner för de första fyra tillstånden i en endimensionell partikel i en låda

Storleken (eller amplituden ) av vågfunktionen vid en given position är relaterad till sannolikheten att hitta en partikel där genom $P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}$ . Vågfunktionen måste därför försvinna överallt bortom lådans kanter. Vågfunktionens amplitud kanske inte "hoppar" abrupt från en punkt till nästa. Dessa två villkor uppfylls endast av vågfunktioner med formen

$$\ psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin \left(k_{n}\left(x-x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\right) \right)e^{-i\omega _{n}t}\quad &x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2} }\\0&{\text{annars}}\end{cases}},$$

var

$$k_{n}={\frac {n\pi }{L}},$$

och

$$E_{n}=\hbar \omega _{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2} \hbar ^{2}}{2mL^{2}}},$$

där n är ett positivt heltal (1, 2, 3, 4, ...). För en förskjuten låda ( x _c = L /2) är lösningen särskilt enkel. De enklaste lösningarna, $k_{n}=0$ eller $A=0$ ger båda den triviala vågfunktionen $\psi (x)=0$ , som beskriver en partikel som inte finns någonstans i systemet. Negativa värden på $n$ försummas, eftersom de ger vågfunktioner identiska med de positiva $n$ -lösningarna förutom en fysiskt oviktig teckenändring. Här ser man att endast en diskret uppsättning energivärden och vågtal k är tillåtna för partikeln. Vanligtvis krävs inom kvantmekaniken också att derivatan av vågfunktionen utöver själva vågfunktionen ska vara kontinuerlig; här skulle detta krav leda till att den enda lösningen är den konstanta nollfunktionen, vilket inte är vad vi önskar, så vi ger upp detta krav (eftersom detta system med oändlig potential kan betraktas som ett icke-fysiskt abstrakt begränsande fall, kan vi behandla det som sådana och "böja reglerna"). Observera att att ge upp detta krav innebär att vågfunktionen inte är en differentierbar funktion vid boxens gräns, och därför kan man säga att vågfunktionen inte löser Schrödinger-ekvationen vid gränspunkterna x = {\displaystyle x $x=0$ and $x=L$ (but does solve it everywhere else).

Slutligen kan den okända konstanten $A$ hittas genom att normalisera vågfunktionen så att den totala sannolikheten för att hitta partikeln i systemet är 1.

Matematiskt,

$$\int _{0}^{L}\left\vert \psi (x)\right\vert ^{2}dx=1$$

(Partikeln måste vara någonstans )

Det följer att

$$\left|A\right|={\sqrt {\frac {2}{L}}}.$$

Således kan A vara vilket komplext tal som helst med ett absolut värde √ 2/ L ; dessa olika värden på A ger samma fysiska tillstånd, så A = √ 2/ L kan väljas för att förenkla.

Det förväntas att egenvärdena , dvs energin $E_{n}$ för rutan bör vara densamma oavsett dess position i rymden, men $\psi _{ n}(x,t)$ ändringar. Lägg märke till att $x_{c}-{\tfrac {L}{2}}$ representerar en fasförskjutning i vågfunktionen. Denna fasförskjutning har ingen effekt när man löser Schrödinger-ekvationen och påverkar därför inte egenvärdet .

Om vi ​​ställer in ursprunget för koordinater till mitten av rutan, kan vi skriva om den rumsliga delen av vågfunktionen kortfattat som:

$$\psi _{n}(x)={\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin(k_{n}x)\quad {}{\text{ för }}n{\text{ jämn}}\\{\sqrt {\frac {2}{L}}}\cos(k_{n}x)\quad {}{\text{för }}n{\ text{ udda}}.\end{cases}}$$

Momentumvågsfunktion

Momentumvågfunktionen är proportionell mot Fouriertransformen av positionsvågfunktionen. Med $k=p/\hbar$ (observera att parametern k som beskriver momentumvågfunktionen nedan inte är exakt den speciella k _n ovan, kopplad till energiegenvärdena), ges momentumvågfunktionen av

$$\phi _{n}(p,t)={\frac {1}{ \sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x,t)e^{-ikx}\,dx={\sqrt {\ frac {L}{\pi \hbar }}}\left({\frac {n\pi}{n\pi +kL}}\höger)\,\operatörsnamn {sinc} \left({\tfrac {1} {2}}(n\pi -kL)\right)e^{-ikx_{c}}e^{i(n-1){\tfrac {\pi }{2}}}e^{-i\ omega _{n}t},$$

där sinc är kardinal sinus sinc-funktionen , sinc( x ) = sin( x )/ x . För den centrerade rutan ( x _c = 0 ) är lösningen verklig och särskilt enkel, eftersom fasfaktorn till höger reduceras till enhet. (Med försiktighet kan det skrivas som en jämn funktion av s .)

Man kan se att rörelsemängdsspektrumet i detta vågpaket är kontinuerligt, och man kan dra slutsatsen att för det energitillstånd som beskrivs av vågnumret k _n kan rörelsemängden mätt även uppnå andra värden bortom ${ \displaystyle p=\pm \hbar k_{n}}$ .

Därför verkar det också som att eftersom energin är ${\textstyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}k_{n}^{2}}{2m }}}$ för n :te egentillståndet gäller inte relationen ${\textstyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$ strikt för det uppmätta momentumet p ; energiegentillståndet $\psi _{n}$ är inte ett momentumegentillstånd, och faktiskt inte ens en superposition av två momentumegentillstånd, som man kan frestas att föreställa sig från ekvation ( 1 ) ovan: speciellt: , den har inget väldefinierat momentum före mätning!

Sannolikhetsfördelningar för position och momentum

I klassisk fysik kan partikeln detekteras var som helst i rutan med lika stor sannolikhet. Inom kvantmekaniken är dock sannolikhetstätheten för att hitta en partikel vid en given position härledd från vågfunktionen som $P(x)=|\psi (x)|^{2}.$ För partikeln i en ruta beror sannolikhetsdensiteten för att hitta partikeln vid en given position på dess tillstånd, och ges av

$$\displaystyle P_{ n}(x,t)={\begin{cases}{\frac {2}{L}}\sin ^{2}\left(k_{n}\left(x-x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\right)\right),&x_{c}-{\frac {L}{2}}<x<x_{c}+{\frac {L}{2}},\\ 0,&{\text{annars,}}\end{cases}}}$$

Sålunda, för alla värden på n större än ett, finns det områden inom rutan för vilka $P(x)=0$ , vilket indikerar att det finns rumsliga noder där partikeln inte kan hittas.

Inom kvantmekaniken ges medelvärdet eller förväntningsvärdet för en partikels position av

$$\langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }xP_{n}(x)\,\mathrm {d} x.$$

För steady state-partikeln i en låda kan det visas att medelpositionen alltid är ${\displaystyle \langle x\rangle =x_{c}} ,$ oavsett partikelns tillstånd. För en superposition av tillstånd kommer positionens förväntade värde att ändras baserat på korstermen som är proportionell mot $\cos(\omega t)$ .

Variansen i positionen är ett mått på osäkerheten i partikelns position:

$$\mathrm {Var} (x) =\int _{-\infty }^{\infty }(x-\langle x\rangle )^{2}P_{n}(x)\,dx={\frac {L^{2}}{12 }}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)$$

Sannolikhetstätheten för att hitta en partikel med ett givet momentum härleds från vågfunktionen som $P(x)=|\phi (x)|^{2}$ . Liksom med position beror sannolikhetens täthet för att hitta partikeln vid ett givet momentum på dess tillstånd, och ges av

$$P_{n}(p)={\frac {L}{ \pi \hbar }}\left({\frac {n\pi}{n\pi +kL}}\right)^{2}\,{\textrm {sinc}}^{2}\left({\ tfrac {1}{2}}(n\pi -kL)\right)$$

där, återigen, $k=p/\hbar$ . Förväntningsvärdet för momentumet beräknas sedan till noll, och variansen i momentumet beräknas vara:

$$\mathrm {Var} (p)=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}$$

Osäkerheterna i position och momentum ( $\Delta x$ och $\Delta p$ ) definieras som lika med kvadratroten av deras respektive varianser, så att:

$$\Delta x\Delta p={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}$$

Denna produkt ökar med ökande n , med ett minimivärde för n =1. Värdet på denna produkt för n =1 är ungefär lika med 0,568 $\hbar$ vilket följer Heisenbergs osäkerhetsprincip, som säger att produkten kommer att vara större än eller lika med $\hbar /2$

Ett annat mått på osäkerhet i position är informationsentropin för sannolikhetsfördelningen H _x :

$$H_{x}=\int _{-\infty }^ {\infty }P_{n}(x)\log(P_{n}(x)x_{0})\,dx=\log \left({\frac {2L}{e\,x_{0}} }\höger)$$

₀ där x är en godtycklig referenslängd.

Ett annat mått på osäkerhet i momentum är informationsentropin för sannolikhetsfördelningen H _p :

$$H_{p}(n)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{n}(p)\log(P_{n}(p)p_{0})\,dp$$

$$\lim _{n\to \infty }H_{p}(n)=\log \ vänster({\frac {4\pi \hbar \,e^{2(1-\gamma )}}{L\,p_{0}}}\höger)$$

där γ är Eulers konstant . Den kvantmekaniska entropiska osäkerhetsprincipen säger att för $x_{0}\,p_{0}=\hbar$

$$H_{x}+H_{p}(n)\geq \log(e\,\pi )\approx 2,14473. ..$$

( nats )

För ${\displaystyle x_{0}\,p_{0}=\hbar } ,$ ger summan av positions- och momentumentropierna:

$$H_{x}+H_{p}(\infty )=\log \left(8\pi \,e^{1-2\gamma}\right)\approx 3,06974...$$

( nats )

som uppfyller principen om kvantentropisk osäkerhet.

Energinivåer

Energin hos en partikel i en låda (svarta cirklar) och en fri partikel (grå linje) beror båda på vågnumret på samma sätt. Men partikeln i en låda kan bara ha vissa, diskreta energinivåer.

De energier som motsvarar vart och ett av de tillåtna vågnumren kan skrivas som

$$E_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^ {2}}{8mL^{2}}}.$$

Energinivåerna ökar med $n^{2}$ , vilket betyder att höga energinivåer separeras från varandra mer än låga energinivåer. Den lägsta möjliga energin för partikeln (dess nollpunktsenergi ) finns i tillstånd 1, vilket ges av

$$E_{1}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}.$$

Partikeln har därför alltid en positiv energi. Detta står i kontrast till klassiska system, där partikeln kan ha noll energi genom att vila orörligt. Detta kan förklaras i termer av osäkerhetsprincipen som säger att produkten av osäkerheterna i en partikels position och rörelsemängd begränsas av

$$\Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}$$

Det kan visas att osäkerheten i partikelns läge är proportionell mot lådans bredd. Således är osäkerheten i momentum ungefär omvänt proportionell mot lådans bredd. Den kinetiska energin för en partikel ges av ${\displaystyle E=p^{2}/(2m)} ,$ och därför är den minsta kinetiska energin för partikeln i en låda omvänt proportionell mot massan och kvadraten på brunnens bredd, i kvalitativ överensstämmelse med beräkningen ovan.

Högdimensionella lådor

(Hyper)rektangulära väggar

Vågfunktionen för en 2D-brunn med n _x =4 och n _y =4

Om en partikel fångas i en tvådimensionell låda kan den röra sig fritt i $x$ och $y$ -riktningarna, mellan barriärer åtskilda av längderna $L_{x}$ och $L_{y}$ respektive. För en centrerad ruta kan positionsvågfunktionen skrivas inklusive rutans längd som $\psi _{n}(x,t,L)$ . Med ett liknande tillvägagångssätt som den endimensionella lådan, kan det visas att vågfunktionerna och energierna för en centrerad låda ges av resp.

$$\psi _{n_{x},n_{y}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\psi _{n_{y}}(y,t,L_{y}),$$

$$E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x },n_{y}}^{2}}{2m}},$$

där den tvådimensionella vågvektorn ges av

$$\mathbf {k} _{n_{x},n_{y}}=k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} ={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}} }\mathbf {\hat {y}} .$$

För en tredimensionell låda är lösningarna

$$\psi _ {n_{x},n_{y},n_{z}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\psi _{n_{y}}(y,t, L_{y})\psi _{n_{z}}(z,t,L_{z}),$$

$$E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac { \hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y},n_{z}}^{2}}{2m}},$$

där den tredimensionella vågvektorn ges av:

$$\mathbf {k} _{n_{x},n_{y},n_{z}}=k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}} \mathbf {\hat {y}} +k_{n_{z}}\mathbf {\hat {z}} ={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} +{\frac {n_{z}\pi }{L_{z}} }\mathbf {\hat {z}} .$$

I allmänhet för en n -dimensionell låda är lösningarna

$$\psi =\prod _{i}\psi _{n_{i}}(x_{i},t,L_{i})$$

De n-dimensionella momentumvågfunktionerna kan likaså representeras av $\phi _{n}(x,t,L_{x})$ och momentumvågfunktionen för en n -dimensionell centrerad låda är då:

$$\phi =\prod _{i}\phi _{n_{i}}(k_{i},t,L_{i})$$

En intressant egenskap hos lösningarna ovan är att när två eller flera av längderna är lika (t.ex. $L_{x}=L_{y}$ ), finns det flera vågfunktioner som motsvarar samma totalsumma energi. Till exempel har vågfunktionen med $n_{x}=2,n_{y}=1$ samma energi som vågfunktionen med ${ \displaystyle n_{x}=1,n_{y}=2}$ . Denna situation kallas degeneration och för det fall där exakt två degenererade vågfunktioner har samma energi sägs energinivån vara dubbelt degenererad . Degeneration beror på symmetri i systemet. För ovanstående fall är två av längderna lika, så systemet är symmetriskt med avseende på en 90° rotation.

Mer komplicerade väggformer

Vågfunktionen för en kvantmekanisk partikel i en låda vars väggar har godtycklig form ges av Helmholtz-ekvationen under förutsättning att vågfunktionen försvinner vid väggarna. Dessa system studeras inom området kvantkaos för väggformer vars motsvarande dynamiska biljardbord är icke-integrerbara.

Ansökningar

På grund av sin matematiska enkelhet används partikeln i en box-modell för att hitta ungefärliga lösningar för mer komplexa fysiska system där en partikel fångas i ett smalt område med låg elektrisk potential mellan två högpotentialbarriärer. Dessa kvantbrunnssystem är särskilt viktiga inom optoelektronik och används i enheter som kvantbrunnslasern , kvantbrunnens infraröda fotodetektor och den kvantbegränsade Stark-effektmodulatorn . Det används också för att modellera ett gitter i Kronig-Penney-modellen och för en finit metall med den fria elektronapproximationen.

Konjugerade polyener

β-karoten är en konjugerad polyen

Konjugerade polyensystem kan modelleras med hjälp av partikel i en låda. Det konjugerade systemet av elektroner kan modelleras som en endimensionell låda med längd lika med det totala bindningsavståndet från en terminal av polyenen till den andra. I detta fall motsvarar varje elektronpar i varje π-bindning deras energinivå. Energiskillnaden mellan två energinivåer, n _f och n _i är:

$$\Delta E={\frac {(n_{f}^{2}-n_{i}^{2})h^ {2}}{8mL^{2}}}$$

Skillnaden mellan grundtillståndsenergin, n, och det första exciterade tillståndet, n+1, motsvarar den energi som krävs för att excitera systemet. Denna energi har en specifik våglängd, och därför ljusets färg, relaterad till:

$$\lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}$$

Ett vanligt exempel på detta fenomen är β-karoten . β-karoten (C ₄₀ H ₅₆ ) är en konjugerad polyen med en orange färg och en molekyllängd på cirka 3,8 nm (även om dess kedjelängd bara är cirka 2,4 nm). På grund av β-karotens höga nivå av konjugation sprids elektroner över hela molekylens längd, vilket gör att man kan modellera den som en endimensionell partikel i en låda. β-karoten har 11 kol - kol dubbelbindningar i konjugering; var och en av dessa dubbelbindningar innehåller två π-elektroner, därför har β-karoten 22 π-elektroner. Med två elektroner per energinivå kan β-karoten behandlas som en partikel i en låda på energinivån n =11. Därför kan den minsta energi som behövs för att excitera en elektron till nästa energinivå beräknas, n =12, enligt följande (med tanke på att en elektrons massa är 9,109 × 10 ⁻³¹ kg):

$$\Delta E={\frac { (n_{f}^{2}-n_{i}^{2})h^{2}}{8mL^{2}}}={\frac {(12^{2}-11^{2} )h^{2}}{8mL^{2}}}=2,3658\ gånger 10^{-19}{\text{ J}}$$

Genom att använda det tidigare förhållandet mellan våglängd och energi, återkallar både Plancks konstant h och ljusets hastighet c :

$$\lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}=0,00000084{\text{m}}=840{\text{nm}}$$

Detta indikerar att β-karoten i första hand absorberar ljus i det infraröda spektrumet, därför skulle det verka vitt för ett mänskligt öga. Den observerade våglängden är dock 450 nm, vilket indikerar att partikeln i en låda inte är en perfekt modell för detta system.

Kvantbrunnslaser

Partikeln i en boxmodell kan appliceras på kvantbrunnslasrar , som är laserdioder som består av ett halvledar-"brunn"-material inklämt mellan två andra halvledarskikt av olika material. Eftersom lagren i denna sandwich är mycket tunna (mellanlagret är typiskt cirka 100 Å tjockt), kvantinneslutningseffekter observeras. Tanken att kvanteffekter kunde utnyttjas för att skapa bättre laserdioder uppstod på 1970-talet. Kvantbrunnslasern patenterades 1976 av R. Dingle och CH Henry.

Specifikt kan kvantbrunnars beteende representeras av partikeln i en finit brunnsmodell. Två randvillkor måste väljas. Den första är att vågfunktionen måste vara kontinuerlig. Ofta väljs det andra gränsvillkoret för att vara derivatan av vågfunktionen måste vara kontinuerlig över gränsen, men i fallet med kvantbrunnen är massorna olika på båda sidor om gränsen. Istället väljs det andra gränsvillkoret för att bevara partikelflödet som ${\displaystyle (1/m)d\phi /dz} ,$ vilket överensstämmer med experimentet. Lösningen till den finita brunnspartikeln i en låda måste lösas numeriskt, vilket resulterar i vågfunktioner som är sinusfunktioner inuti kvantbrunnen och exponentiellt avklingande funktioner i barriärerna. Denna kvantisering av elektronernas energinivåer tillåter en kvantbrunnslaser att emittera ljus mer effektivt än konventionella halvledarlasrar.

På grund av sin ringa storlek visar kvantprickar inte bulkegenskaperna hos den specificerade halvledaren utan visar snarare kvantiserade energitillstånd. Denna effekt är känd som kvantinneslutningen och har lett till många tillämpningar av kvantprickar såsom kvantbrunnslasern.

Forskare vid Princeton University har nyligen byggt en kvantbrunnslaser som inte är större än ett riskorn. Lasern drivs av en enda elektron som passerar genom två kvantpunkter; en dubbel kvantprick. Elektronen rör sig från ett tillstånd med högre energi till ett tillstånd med lägre energi samtidigt som den sänder ut fotoner i mikrovågsområdet. Dessa fotoner studsar från speglar för att skapa en ljusstråle; lasern.

Kvantbrunnslasern är starkt baserad på interaktionen mellan ljus och elektroner. Detta förhållande är en nyckelkomponent i kvantmekaniska teorier som inkluderar De Broglies våglängd och partikel i en låda. Den dubbla kvantpunkten tillåter forskare att få full kontroll över rörelsen av en elektron, vilket följaktligen resulterar i produktionen av en laserstråle.

Kvantprickar

Kvantpunkter är extremt små halvledare (på nanometerskalan). De uppvisar kvantinneslutning genom att elektronerna inte kan fly från "punkten", vilket gör att partikel-i-en-låda-approximationer kan användas. Deras beteende kan beskrivas med tredimensionella partikel-i-en-låda energikvantiseringsekvationer.

Energigapet för en kvantpunkt är energigapet mellan dess valens- och ledningsband . Detta energigap $\Delta E(r)$ är lika med gapet för bulkmaterialet $E_{\text{gap}}$ plus energiekvationen härledd partikel-i- a-box, som ger energin för elektroner och hål . Detta kan ses i följande ekvation, där $m_{e}^{*}$ och $m_{h}^{*}$ är de effektiva massorna för elektronen och hålet , $r$ är radien för punkten, och $h$ är Plancks konstant:

$$\Delta E(r)=E_{\text{gap}}+\left({ \frac {h^{2}}{8r^{2}}}\right)\left({\frac {1}{m_{e}^{*}}}+{\frac {1}{m_{ h}^{*}}}\höger)$$

Därför är kvantpunktens energigap omvänt proportionell mot kvadraten på "lådans längd", dvs kvantpunktens radie.

Manipulering av bandgapet möjliggör absorption och emission av specifika våglängder av ljus, eftersom energin är omvänt proportionell mot våglängden. Ju mindre kvantpunkten är, desto större bandgap och därmed desto kortare absorberas våglängden.

Olika halvledande material används för att syntetisera kvantprickar av olika storlekar och avger därför olika våglängder av ljus. Material som normalt avger ljus i det synliga området används ofta och deras storlekar är finjusterade så att vissa färger avges. Typiska ämnen som används för att syntetisera kvantprickar är kadmium (Cd) och selen (Se). Till exempel, när elektronerna i två nanometer CdSe-kvantprickar slappnar av efter excitation emitteras blått ljus. På liknande sätt sänds rött ljus ut i fyra nanometer CdSe-kvantprickar.

Kvantprickar har en mängd olika funktioner inklusive men inte begränsat till fluorescerande färgämnen, transistorer , lysdioder , solceller och medicinsk avbildning via optiska sonder.

En funktion av kvantprickar är deras användning i lymfkörtelkartering, vilket är möjligt på grund av deras unika förmåga att avge ljus i den nära infraröda (NIR) regionen. Lymfkörtelkartläggning gör att kirurger kan spåra om och var cancerceller finns.

Kvantprickar är användbara för dessa funktioner på grund av deras emission av starkare ljus, excitation av en mängd olika våglängder och högre motståndskraft mot ljus än andra ämnen.

En mer generell modell: partikel i en låda med periodpotential

En mer generell modell är partikeln i en låda med en periodpotentialmodell: Lådans inre har en periodisk potential, och lådan innehåller perioder med ett positivt heltal i varje dimension. En periodisk potential blir en konstant potential och en Bloch-våg blir en plan våg när den inblandade perioden/perioderna blir noll. Den periodiska potentialen är mer generell än den konstanta potentialen; Bloch-vågen är mer allmän än den plana vågen. En ny teori undersökte denna modell baserad på den matematiska teorin för periodiska differentialekvationer.

Problemet kan betraktas som kvantinneslutning av Bloch-vågor, mer generell än kvantinneslutningen av plana vågor som diskuterats i tidigare avsnitt. Den nya teorin fann att i endimensionella fall kan problemet lösas analytiskt. Dessutom kan problemet i många väsentliga och enkla flerdimensionella fall lösas analytiskt baserat på relevanta matematiska satser med hjälp av resonemang av fysikintuitioner. I det följande beskriver vi endast kortfattat några väsentliga slutsatser. Läsare som är intresserade av matematiska resonemang och mer relevanta detaljer hänvisas till originalpublikationer.

Endimensionella fall

Vi betraktar en endimensionell ruta med periodisk potential av ändlig längd $L=Na$ med två ändar vid $\tau$ och $L+\tau$ ( ${\ displaystyle a}$ : potentiell period, $N$ : ett positivt heltal). Vi är främst intresserade av fall där bulkenergibanden har ett bandgap mellan två på varandra följande energiband.

Den nya teorin fann att två olika typer av tillstånd finns i en sådan låda med en periodisk potential . För varje bulkenergiband finns det $N-1$ tillstånd i den finita kristallen vars energier och egenskaper beror på $N$ men inte $\tau$ och kartlägger energibandet exakt . Dessa tillstånd är de stationära Bloch-tillstånden; Det finns alltid ett och bara ett tillstånd för varje bandgap, vars energi och egenskaper beror på $\tau$ men inte $N$ . Detta tillstånd är antingen ett bandkanttillstånd eller ett yttillstånd i bandgapet.

Själva existensen av sådana $\tau$ -beroende tillstånd är den grundläggande skillnaden mellan Bloch-vågornas kvantinneslutning .

Flerdimensionella fall

Schrödinger-ekvationen med en flerdimensionell periodisk potential är en partiell differentialekvation; matematiken är svårare. Men många grundläggande förståelser kan också erhållas.

I många väsentliga och enkla fall, kvantinneslutning av flerdimensionella Bloch-vågor i en specifik riktning $i$ mellan $\tau _{i}$ och $N_ {i}a_{i}+\tau _{i}$ ( $a_{i}$ : perioden, $N_{i}$ : det positiva heltal som anger boxstorleken i $i$ -riktning) kan producera två typer av tillstånd. Varje bulkenergiband leder till $N_{i}-1$ tillstånd vars energi och egenskaper beror på $N_{i}$ men inte $\tau _{i}$ och ett tillstånd vars energi och egenskaper beror på $\tau _{i}$ men inte $N_{i}$ . De ${\displaystyle N_{i}}-$ tillstånden är stationära Bloch-tillstånd. Energin för det $\tau _{i}$ -beroende tillståndet ligger alltid över de relevanta $N_{i}$ -beroende stationära Bloch-tillstånden.

Återigen, själva existensen av sådana $\tau _{i}$ -beroende tillstånd är en grundläggande distinktion av kvantbegränsningen av flerdimensionella Bloch-vågor.

Till exempel, i några enklaste fall i en enkel ruta med en rektangulär rätvinklig form med $N_{1},N_{2},N_{3}$ punkter separat i tre vinkelräta dimensioner, för varje bulkenergiband finns det ( $N_{1}-1$ ) ( $N_{2}-1$ ) ( $N_{ 3}-1$ ) bulkliknande tillstånd, ( $N_{1}-1$ ) ( $N_{2}-1$ ) $+$ ( $N_{2}-1$ ) ( $N_{3}-1$ ) $+$ ( $N_{3}- 1$ ) ( $N_{1}-1$ ) ytliknande tillstånd, ( $N_{1}-1$ ) $+$ ( $N_{2}-1$ ) $+$ ( $N_{3}-1$ ) kantliknande tillstånd och ett vertexliknande tillstånd.

Egenskaperna och energin för det vertexliknande tillståndet beror på tre ${\displaystyle \tau _{i}} ,$ men ingen $N_{i}$ ; Egenskaperna och energin för varje kantliknande tillstånd beror på två $\tau _{i}$ och den andra $N_{i}$ , men ingen av de motsvarande två ${\ displaystyle N_{i}}$ eller den andra $\tau _{i}$ ; Egenskaperna och energin för varje ytliknande tillstånd beror på två $N_{i}$ och den andra $\tau _{i}$ , men ingen av de motsvarande två ${\ displaystyle \tau _{i}}$ eller den andra $N_{i}$ ; Egenskaperna och energin för varje bulkliknande tillstånd beror på tre $N_{i}$ , men ingendera $\tau _{i}$ .

Bland de ovanstående tillstånden från samma bulkenergiband finns följande allmänna relationer:

Energin för det vertexliknande tillståndet > Energin för varje kantliknande tillstånd > Energin för varje relevant ytliknande tillstånd > Energin för varje relevant bulkliknande tillstånd.

Dessa allmänna samband leder till några slutsatser som skiljer sig från de som traditionellt tros för fysik i lågdimensionella system (se Blochs sats ) .

Relativistiska effekter

Sannolikhetstätheten går inte till noll vid noderna om relativistiska effekter tas med i beräkningen via Dirac-ekvationen.

Se även

• Kvantmekanikens historia
• Ändlig potential brunn
• Deltafunktionspotential
• Gas i en låda
• Partikel i en ring
• Partikel i en sfäriskt symmetrisk potential
• Kvantharmonisk oscillator
• Halvcirkelpotentialbrunn
• Konfigurationsintegral (statistisk mekanik)
• Blochs teorem

Bibliografi

•   Bransden, BH; Joachain, CJ (2000). Kvantmekanik (2:a upplagan). Essex: Pearson Education. ISBN 978-0-582-35691-7 .
• Davies, John H. (2006). The Physics of Low-Dimensional Semiconductors: An Introduction (6:e upplagan). Cambridge University Press.
•   Griffiths, David J. (2004). Introduktion till kvantmekanik (2:a upplagan). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-111892-8 .

externa länkar

• Configuration integral (statistisk mekanik), 2008. denna wikisida är nere; se denna artikel i webbarkivet 2012 28 april .