Partikel i en ring

Inom kvantmekaniken liknar fallet med en partikel i en endimensionell ring partikeln i en låda . Schrödinger -ekvationen för en fri partikel som är begränsad till en ring (tekniskt sett vars konfigurationsutrymme är cirkeln ${\displaystyle S^{1}} )$ är

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi =E\psi

Vågfunktion

Animerad vågfunktion av ett "koherent" tillstånd bestående av egentillstånd n=1 och n=2.

Med hjälp av polära koordinater på den 1-dimensionella ringen med radien R beror vågfunktionen endast på vinkelkoordinaten , och så

\nabla ^{2}={\frac {1}{R^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \ theta ^{2}}}

Att kräva att vågfunktionen ska vara periodisk i $\ \theta$ med en period $2\pi$ (från kravet att vågfunktionerna ska vara envärdiga funktioner på cirkeln ), och att de är normaliseras leder till förhållandena

\int _{0}^{2\pi }\left|\psi (\theta )\right|^{2}\,d\theta =1\

,

och

\ \psi (\theta )=\ \psi (\theta +2\pi )

Under dessa förhållanden ges lösningen till Schrödinger-ekvationen av

\psi _{\pm }(\theta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ ,e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}\theta }

Energiegenvärden

Energiegenvärdena $\displaystyle E}$ { kvantiseras på grund av de periodiska randvillkoren , och de krävs för att uppfylla

{\displaystyle e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE} }\theta }=e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}(\theta +2\pi )}} ,

eller

e^{\pm i2\pi {\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}}=1=e^{i2\pi n}

Egenfunktionen och egenenergierna är

\psi (\theta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{\pm in\theta }

E_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{2mR^{2}}}

där

n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots

Därför finns det två degenererade kvanttillstånd för varje värde på $n>0$ (motsvarande ${\displaystyle \ e^{\pm in\theta }} )$ . Därför finns det 2 n +1 tillstånd med energier upp till en energi indexerad med talet n .

Fallet med en partikel i en endimensionell ring är ett lärorikt exempel när man studerar kvantiseringen av rörelsemängd för, säg, en elektron som kretsar kring kärnan . De azimutala vågfunktionerna i det fallet är identiska med energiegenfunktionerna hos partikeln på en ring.

Påståendet att vilken vågfunktion som helst för partikeln på en ring kan skrivas som en superposition av energiegenfunktioner är exakt identisk med Fouriersatsen om utvecklingen av valfri periodisk funktion i en Fourierserie .

Denna enkla modell kan användas för att hitta ungefärliga energinivåer för vissa ringmolekyler, såsom bensen.

Ansökan

I organisk kemi innehåller aromatiska föreningar atomringar , såsom bensenringar ( Kekulé -strukturen) som består av fem eller sex, vanligtvis kolatomer . Det gör också ytan på " buckyballs " (buckminsterfulleren). Denna ring beter sig som en cirkulär vågledare , med valenselektronerna kretsande i båda riktningarna. För att fylla alla energinivåer upp till n krävs $2\ gånger (2n+1)=4n+2$ elektroner, eftersom elektroner har ytterligare två möjliga orienteringar av sina snurr . Detta ger exceptionell stabilitet ("aromatisk") och är känd som Hückels regel .

Vidare inom rotationsspektroskopi kan denna modell användas som en approximation av rotationsenerginivåer.

Se även