Partikel i en sfäriskt symmetrisk potential

Inom kvantmekaniken är en partikel i en sfäriskt symmetrisk potential ett kvantsystem med en potential som endast beror på avståndet mellan partikeln och en definierad mittpunkt . Ett exempel på en sfäriskt symmetrisk potential är elektronen i en väteatom. Elektronens potential beror bara på dess avstånd från protonen i atomkärnan. Denna potential kan härledas från Coulombs lag .

I det allmänna fallet styrs dynamiken hos en partikel i en sfäriskt symmetrisk potential av en Hamiltonian av följande form:

$${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m_{0}}}+V( r)$$

Där $m_{0}$ är partikelns massa, ${\hat {p}}$ är momentumoperatorn och potentialen $V(r)$ beror endast på $r$ , radievektorns modul . De möjliga kvanttillstånden för partikeln kan hittas genom att använda ovanstående Hamiltonian för att lösa Schrödinger-ekvationen för dess egenvärden och deras motsvarande egentillstånd , som är vågfunktioner .

För att beskriva dessa sfäriskt symmetriska system är det naturligt att använda sfäriska koordinater , $r$ , $\theta$ och $\phi$ . När detta är gjort är den tidsoberoende Schrödinger-ekvationen för systemet separerbar . Detta innebär att lösningar på ekvationens vinkeldimensioner kan hittas oberoende av den radiella dimensionen. Detta lämnar en vanlig differentialekvation endast i termer av radien, $r$ , som bestämmer egentillstånden för den speciella potentialen, $V(r)$ .

Egenfunktionernas uppbyggnad

Systemets egentillstånd har formen :

$$\psi (r,\theta ,\phi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\ phi )$$

där de sfäriska polära vinklarna θ och φ representerar kolitud respektive azimutvinkel . De två sista faktorerna av ψ grupperas ofta tillsammans som sfäriska övertoner , så att egenfunktionerna tar formen:

$$\psi (r,\theta ,\phi )=R(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ).$$

Differentialekvationen som kännetecknar funktionen $R(r)$ kallas radiellakvationen .

Härledning av den radiella ekvationen

Den kinetiska energioperatorn i sfäriska polära koordinater är:

$${\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m_{0}}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\nabla ^{ 2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}\,r^{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^ {2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)-{\hat {L}}^{2}\right].$$

De sfäriska övertonerna uppfyller

$${\hat {L}}^{2}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )\equiv \left\{-{\frac {1}{\sin ^{2}\theta } }\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]\right\}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )=\ell (\ell +1)Y_{ \ell m}(\theta ,\phi ).$$

​​ersätter detta med Schrödinger-ekvationen får vi en endimensionell egenvärdesekvation,

$${\frac {1} {r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)-{\frac {\ell (\ell + 1)}{r^{2}}}R+{\frac {2m_{0}}{\hbar ^{2}}}\left[EV(r)\right]R=0.$$

Denna ekvation kan reduceras till en ekvivalent 1-D Schrödinger-ekvation genom att ersätta $R(r)=u(r)/r$ , där $u(r)$ uppfyller

$${d^{2}u \over dr^{2}}+{\frac {2m_{0 }}{\hbar ^{2}}}\left[E-V_{\mathrm {eff} }(r)\right]u=0$$

vilket är just den endimensionella Schrödinger-ekvationen med en effektiv potential som ges av

$$V_{\mathrm {eff} }(r)=V(r)+{\hbar ^ {2}\ell (\ell +1) \över 2m_{0}r^{2}},$$

där den radiella koordinaten r sträcker sig från 0 till $\infty$ . Korrigeringen till potentialen V ( r ) kallas centrifugalbarriärtermen .

Om ${\textstil \lim _{r\to 0}r^{2}V(r)=0},$ då nära origo, $R\ sim r^{\ell }$ .

Lösningar för potentialer av intresse

Fem specialfall uppstår, av särskild vikt:

1. $V(r)=0$ , eller att lösa vakuumet på grundval av sfäriska övertoner , vilket fungerar som grund för andra fall.
2. $V(r)=V_{0}$ (ändlig) för $r<r_{0}$ och noll på andra ställen.
3. $V(r)=0$ för $r<r_{0}$ och oändlig på andra ställen, den sfäriska motsvarigheten till den kvadratiska brunnen , användbar för att beskriva bundna tillstånd i en kärna eller kvantprick.
4. $V(r)\propto r^{2}$ för den tredimensionella isotropiska harmoniska oscillatorn.
5. $V(r)\propto {\frac {1}{r}}$ för att beskriva bundna tillstånd för väteliknande atomer .

Lösningarna skisseras i dessa fall, som bör jämföras med sina motsvarigheter i kartesiska koordinater , jfr. partikel i en låda . Följande härledningar förlitar sig starkt på Bessel-funktioner och Laguerre-polynom .

Vacuum case säger

Låt oss nu betrakta V ( r ) = 0 (om $V_{0}$ , ersätt E överallt med $E-V_{0}$ ). Vi introducerar den dimensionslösa variabeln

$$\rho \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ kr,\qquad k\ {\stackrel {\ mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {2m_{0}E \over \hbar ^{2}}}$$

ekvationen blir en Bessel-ekvation för J definierad av $J(\rho )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\rho }}R(r)$ (därav notationsvalet för J ):

$$\rho ^{2}{\frac {d^{2}J}{ d\rho ^{2}}}+\rho {\frac {dJ}{d\rho }}+\left[\rho ^{2}-\left(\ell +{\frac {1}{2} }\right)^{2}\right]J=0$$

vilka vanliga lösningar för positiva energier ges av så kallade Bessel-funktioner av det första slaget $J_{\ell +1/2}(\rho )$ så att lösningarna skrivna för R är den så kallade sfäriska Bessel-funktionen ${\textstyle R(r)=j_ {l}(kr)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\pi /(2kr)}}J_{\ell +1/2}(kr)}$ .

Lösningarna av Schrödinger-ekvationen i polära koordinater för en partikel med massa ${\displaystyle m_{0}} i$$[ 0,\infty )$ är märkta med tre kvanttal: diskreta index ℓ och m , och k som varierar kontinuerligt i :

$$\psi (\mathbf {r} )=j_{\ell }(kr)Y_{\ell m}(\theta , \phi )$$

där $k\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {2m_{0}E}}/\hbar$ , ${ \displaystyle j_{\ell }}$ är de sfäriska Bessel-funktionerna och $Y_{\ell m}$ är de sfäriska övertonerna.

Dessa lösningar representerar tillstånd av bestämt rörelsemängd, snarare än av bestämt (linjärt) rörelsemängd, som tillhandahålls av plana vågor $\exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r } )$ .

Sfär med ändlig "fyrkantig" potential

₀ Låt oss nu betrakta potentialen $V(r)=V_{0}$ för $r<r_{0}$ och $V( r)=0$ någon annanstans. Det vill säga, inom en sfär med radien $r_{0}$ är potentialen lika med V och den är noll utanför sfären. En potential med en sådan ändlig diskontinuitet kallas en kvadratpotential.

Vi betraktar först bundna tillstånd, dvs tillstånd som visar partikeln mestadels inuti lådan (begränsade tillstånd). De har en energi E som är mindre än potentialen utanför sfären, dvs de har negativ energi, och vi kommer att se att det finns ett diskret antal sådana tillstånd, som vi ska jämföra med positiv energi med ett kontinuerligt spektrum, som beskriver spridning på sfär (av obundna tillstånd). Också värt att notera är att till skillnad från Coulomb-potentialen, med ett oändligt antal diskreta bundna tillstånd, har den sfäriska kvadratiska brunnen bara ett ändligt (om något) tal på grund av dess ändliga intervall (om den har ändligt djup).

Upplösningen följer i huvudsak vakuumets med normalisering av den totala vågfunktionen adderad, och löser två Schrödinger-ekvationer - inom och utanför sfären - av det tidigare slaget, dvs med konstant potential. Även följande begränsningar gäller:

1. Vågfunktionen måste vara regelbunden vid origo.
2. Vågfunktionen och dess derivata måste vara kontinuerliga vid den potentiella diskontinuiteten.
3. Vågfunktionen måste konvergera i oändligheten.

Den första begränsningen kommer från det faktum att Neumann N och Hankel H funktioner är singular vid ursprunget. Det fysiska argumentet att ψ måste definieras överallt valde Bessel-funktion av det första slaget J framför de andra möjligheterna i vakuumfallet. Av samma anledning kommer lösningen att vara av det här slaget inne i sfären:

$$R(r)=Aj_{\ell }\left({\sqrt {\frac {2m_{0 }(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}}r\right),\qquad r<r_{0}$$

med A en konstant som ska bestämmas senare. Observera att för bundna tillstånd, $V_{0}<E<0$ .

Bundna tillstånd ger nyheten jämfört med vakuumfallet att E nu är negativ (i vakuumet skulle det vara positivt). Detta, tillsammans med den tredje begränsningen, väljer Hankel-funktion av det första slaget som den enda konvergerande lösningen i oändligheten (singulariteten vid ursprunget för dessa funktioner spelar ingen roll eftersom vi nu är utanför sfären):

$$R(r)=Bh_{\ell }^{(1)}\left(i{\ sqrt {\frac {-2m_{0}E}{\hbar ^{2}}}}r\right),\qquad r>r_{0}$$

Den andra begränsningen för kontinuitet för ψ vid $r=r_{0}$ tillsammans med normalisering tillåter bestämning av konstanterna A och B . Kontinuitet för derivatan (eller logaritmisk derivata för bekvämlighet) kräver kvantisering av energi.

Sfär med oändlig "fyrkantig" potential

I fall där potentialbrunnen är oändligt djup, så att vi kan ta $V_{0}=0$ inuti sfären och $\infty$ utanför, blir problemet att matcha vågfunktionen inuti sfär (de sfäriska Bessel-funktionerna ) med identiskt noll vågfunktion utanför sfären. Tillåtna energier är de för vilka den radiella vågfunktionen försvinner vid gränsen. Således använder vi nollorna för de sfäriska Bessel-funktionerna för att hitta energispektrum och vågfunktioner. Genom att kalla $u_{\ell ,k}$ den k : ^te nollan av $j_{\ell }$ , har vi:

$$E_{kl}={\frac {u_{\ell ,k}^{2}\hbar ^{2}}{2m_{0} r_{0}^{2}}}$$

Så att man reduceras till beräkningarna av dessa nollor ${\displaystyle u_{\ell ,k}} ,$ typiskt genom att använda en tabell eller kalkylator, eftersom dessa nollor inte är lösbara för det allmänna fallet.

I specialfallet $\ell =0$ (sfäriska symmetriska orbitaler), är den sfäriska Bessel-funktionen ${\textstyle j_{0}(x)={\frac {\ sin x}{x}}}$ , vilka nollor lätt kan ges som $u_{0,k}=k\pi$ . Deras energiegenvärden är således:

$$E_{k0}={\frac {(k\pi )^{2}\hbar ^{2} }{2m_{0}r_{0}^{2}}}={\frac {k^{2}h^{2}}{8m_{0}r_{0}^{2}}}$$

3D isotropisk harmonisk oscillator

Potentialen hos en 3D isotropisk harmonisk oscillator är

$$V(r)={\frac {1}{2}}m_{0}\omega ^{2}r^{2}.$$

En N -dimensionell isotropisk harmonisk oscillator har energierna

$$E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {N}{2}}\right) \quad {\text{with}}\quad n=0,1,\ldots ,\infty ,$$

dvs n är ett icke-negativt heltal; ω är (samma) grundfrekvens för oscillatorns N -moder. I detta fall N = 3, så att den radiella Schrödinger-ekvationen blir,

$${ \displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\hbar ^{2} \ell (\ell +1) \över 2m_{0}r^{2}}+{\frac {1}{2}}m_{0}\omega ^{2}r^{2}-\hbar \ omega \left(n+{\tfrac {3}{2}}\right)\right]u(r)=0.}$$

Introducerar

$$\gamma \equiv {\frac {m_{0}\omega }{\hbar }}$$

och med tanke på att ${\displaystyle u(r)=rR(r)} ,$ kommer vi att visa att den radiella Schrödinger-ekvationen har den normaliserade lösningen,

$$R_{n\ell }(r )=N_{n\ell }\,r^{\ell }\,e^{-{\frac {1}{2}}\gamma r^{2}}\;L_{{\frac {1} {2}}(n-\ell )}^{\scriptscriptstyle \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)}(\gamma r^{2}),$$

där funktionen $L_{k}^{(\alpha )}(\gamma r^{2})$ är ett generaliserat Laguerrepolynom i γr ² av ordningen k (dvs. , den högsta potensen av polynomet är proportionell mot γ ^k r ^{2 k} ).

Normaliseringskonstanten N _nℓ är,

$$N_{n\ell }=\left[{\frac {2^{n+\ell +2}\,\gamma ^{\ell +{\frac {3}{2}}}}{\pi ^{\frac {1}{2}}}}\right]^{\frac {1}{2}}\left[{\frac {\left[{\frac {1}{2}}(n- \ell )\right]!\;\left[{\frac {1}{2}}(n+\ell )\right]!}{(n+\ell +1)!}}\right]^{\frac {1}{2}}.$$

Egenfunktionen R _n,ℓ ( r ) tillhör energin E _n och ska multipliceras med den sfäriska övertonen ${\displaystyle Y_{\ell m}(\theta ,\phi )} ,$ där

$$\ell =n,n-2,\ldots ,\ell _{\min }\quad {\ text{med}}\quad \ell _{\min }={\begin{cases}1&{\text{if}}~n~{\text{odd}}\\0&{\text{if}}~ n~{\text{even}}\end{cases}}$$

Detta är samma resultat som ges i artikeln om harmoniska oscillatorer , med den mindre notationsskillnaden $\gamma =2\nu$ .

Härledning

Först transformerar vi den radiella ekvationen med några successiva substitutioner till den generaliserade Laguerres differentialekvation, som har kända lösningar: de generaliserade Laguerre-funktionerna. Sedan normaliserar vi de generaliserade Laguerre-funktionerna till enhet. Denna normalisering sker med det vanliga volymelementet r ² d r .

Först skalar vi den radiella koordinaten

$$y={\sqrt {\gamma }}r\quad {\text{with}}\quad \gamma \equiv {\frac {m_{0}\omega }{\hbar }},$$

och då blir ekvationen

$$\left[{\frac {d^{2}}{dy^{2 }}}-{\frac {\ell (\ell +1)}{y^{2}}}-y^{2}+2n+3\right]v(y)=0$$

med ${\textstyle v(y)=u\left(y/{\sqrt {\gamma }}\right)}$ .

Övervägande av det begränsande beteendet för v ( y ) vid ursprunget och vid oändligheten föreslår följande ersättning för v ( y ) ,

$$v(y)=y^{\ell +1}e^{-y^{2}/2}f(y).$$

Denna substitution omvandlar differentialekvationen till

$$\left[{\frac {d^{2}}{dy ^{2}}}+2\vänster({\frac {\ell +1}{y}}-y\right){\frac {d}{dy}}+2n-2\ell \right]f( y)=0,$$

där vi dividerade med ${\displaystyle y^{\ell +1}e^{-y^{2}/2}} ,$ vilket kan göras så länge y inte är noll.

Transformation till Laguerre polynom

Om substitutionen $x=y^{2}$ används, $y={\sqrt {x}}$ , och differentialoperatorerna blir

$${\frac {d}{dy}}={\frac {dx}{dy}}{\ frac {d}{dx}}=2y{\frac {d}{dx}}=2{\sqrt {x}}{\frac {d}{dx}},$$

och

$${\frac {d^{2}}{dy^{2}}}={\frac {d}{dy}}\left(2y{\frac {d}{dx}}\right)= 4x{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+2{\frac {d}{dx}}.$$

Uttrycket mellan hakparenteserna som multiplicerar f ( y ) blir differentialekvationen som kännetecknar den generaliserade Laguerre-ekvationen (se även Kummers ekvation ):

$$x{\frac {d^{2} g}{dx^{2}}}+\left(\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)+1-x\right){\frac {dg}{dx}} +{\frac {1}{2}}(n-\ell )g(x)=0$$

med $g(x)\equiv f({\sqrt {x}})$ .

Förutsatt att $k\equiv (n-\ell )/2$ är ett icke-negativt heltal, är lösningarna av dessa ekvationer generaliserade (associerade) Laguerre-polynom

$$g(x)=L_{k}^{\scriptscriptstyle \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)}(x).$$

Av villkoren på k följer: (i) $n\geq \ell$ och (ii) n och ℓ är antingen båda udda eller båda jämna. Detta leder till villkoret på ℓ som anges ovan.

Återställning av den normaliserade radiella vågfunktionen

Kom ihåg att $u(r)=rR(r)$ , får vi den normaliserade radiella lösningen

$$R_{n\ell }(r)=N_{n\ell }\,r^{\ell }\,e^{-{\frac {1}{2}}\gamma r^{2} }\;L_{{\frac {1}{2}}(n-\ell )}^{\scriptscriptstyle \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)}(\gamma r ^{2}).$$

Normaliseringsvillkoret för den radiella vågfunktionen är

$$\int _{0}^{\infty }r^{2}|R(r)|^{2}\,dr=1.$$

Genom att ersätta $q=\gamma r^{2}$ , ger $dq=2\gamma r\,dr$ och ekvationen blir

$${\display frac {N_{n\ell }^{2}}{2\gamma ^{\ell +{\frac {3}{2}}}}}\int _{0}^{\infty }q^{\ ell +{1 \over 2}}e^{-q}\left[L_{{\frac {1}{2}}(n-\ell )}^{\scriptscriptstyle \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)}(q)\right]^{2}\,dq=1.}$$

Genom att använda ortogonalitetsegenskaperna för de generaliserade Laguerre-polynomen förenklar denna ekvation till

$${\frac {N_{n\ell }^{2}}{2\gamma ^{\ell +{\frac {3}{2}}}}}\cdot {\frac {\ Gamma {\left[{\frac {1}{2}}(n+\ell +1)+1\right]}}{\left[{\frac {1}{2}}(n-\ell )\ höger]!}}=1.$$

Därför kan normaliseringskonstanten uttryckas som

$$N_{n\ell }={\sqrt {\frac {2\,\gamma ^{\ell +{\frac {3}{2}}}\, \left({\frac {n-\ell }{2}}\right)!}{\Gamma {\left({\frac {n+\ell }{2}}+{\frac {3}{2} }\höger)}}}}$$

Andra former av normaliseringskonstanten kan härledas genom att använda egenskaperna hos gammafunktionen, samtidigt som man noterar att n och ℓ båda har samma paritet. Detta betyder att n + ℓ alltid är jämnt, så att gammafunktionen blir

$$\Gamma \left[{\frac {1}{2}}+\left({\frac {n+\ell }{2}}+1\right)\right]={\frac {{\ sqrt {\pi }}(n+\ell +1)!!}{2^{{\frac {n+\ell }{2}}+1}}}={\frac {{\sqrt {\pi }} (n+\ell +1)!}{2^{n+\ell +1}\left[{\frac {1}{2}}(n+\ell )\right]!}},$$

där vi använde definitionen av dubbelfaktorial . Därför ges normaliseringskonstanten också av

$$N_{n\ell }=\left[{\frac {2^{n+\ell +2}\,\gamma ^{\ell +{3 \over 2}}\left[{1 \over 2 }(n-\ell )\right]!\left[{1 \over 2}(n+\ell )\right]!}{\;\pi ^{1 \over 2}(n+\ell +1)! }}\right]^{1 \over 2}={\sqrt {2}}\left({\frac {\gamma }{\pi }}\right)^{1 \over 4}\,({2 \gamma })^{\ell \over 2}\,{\sqrt {\frac {2\gamma (n-\ell )!!}{(n+\ell +1)!!}}}.$$

Väteliknande atomer

Huvudartikel: väteliknande atom

En väteatom (väteliknande) är ett tvåpartikelsystem som består av en kärna och en elektron. De två partiklarna interagerar genom potentialen som ges av Coulombs lag :

$$V(r)=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2} }{r}}$$

var

• ₀ ε är vakuumets permittivitet ,
• Z är atomnumret ( eZ är kärnans laddning),
• e är den elementära laddningen (elektronens laddning),
• r är avståndet mellan elektronen och kärnan.

₀₀₀ Massan m , införd ovan, är den reducerade massan av systemet. Eftersom elektronmassan är cirka 1836 gånger mindre än massan av den lättaste kärnan (protonen), är värdet på m mycket nära massan av elektronen m _e för alla väteatomer. I resten av artikeln gör vi approximationen m = m _e . Eftersom m _e kommer att förekomma explicit i formlerna kommer det att vara lätt att korrigera för denna approximation vid behov.

För att förenkla Schrödinger-ekvationen introducerar vi följande konstanter som definierar atomenheten för energi respektive längd,

$$E_{\textrm {h}}=m_{\textrm {e}}\left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar }}\right) ^{2}\quad {\text{and}}\quad a_{0}={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {m_{\textrm {e}}e ^{2}}}.$$

Ersätt $y=Zr/a_{0}$ och $W=E/(Z^{2}E_{\textrm {h} })$ i den radiella Schrödinger-ekvationen som ges ovan. Detta ger en ekvation där alla naturliga konstanter är dolda,

$$\left[-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac { \ell (\ell +1)}{y^{2}}}-{\frac {1}{y}}\right]u_{\ell }=Wu_{\ell }.$$

Två klasser av lösningar av denna ekvation existerar: (i) W är negativ, motsvarande egenfunktioner är kvadratintegrerbara och värdena på W är kvantiserade (diskret spektrum). (ii) W är icke-negativ. Varje verkligt icke-negativt värde på W är fysiskt tillåtet (kontinuerligt spektrum), motsvarande egenfunktioner är icke-kvadratintegrerbara. Att endast betrakta klass (i)-lösningar begränsar lösningarna till vågfunktioner som är bundna tillstånd , i motsats till klass (ii)-lösningar som är kända som spridningstillstånd .

För klass (i) lösningar med negativ W är kvantiteten $\alpha \equiv 2{\sqrt {-2W}}$ reell och positiv. Skalningen av y , dvs substitution av $x\equiv \alpha y$ ger Schrödinger-ekvationen:

$$\left[{\frac {d^{2}}{dx ^{2}}}-{\frac {\ell (\ell +1)}{x^{2}}}+{\frac {2}{\alpha x}}-{\frac {1}{4 }}\right]u_{\ell }=0,\quad {\text{med }}x\geq 0.$$

För ${\displaystyle x\rightarrow \infty } är$ de inversa potenserna av x försumbara och en lösning för stort x är $\exp[-x/2]$ . Den andra lösningen, ${\displaystyle \exp[x/2]} ,$ är fysiskt inte acceptabel. För $x\rightarrow 0$ dominerar den inversa kvadratpotentialen och en lösning för litet x är x ^{ℓ +1} . Den andra lösningen, x ^{− ℓ} , är fysiskt inte acceptabel. Därför ersätter vi för att få en komplett lösning

$$u_{l}(x)=x^{\ell +1}e^{-x/2}f_{\ell}(x).$$

Ekvationen för f _ℓ ( x ) blir,

$$\left[x{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+(2\ell +2-x){\frac {d}{dx}}+(n-\ ell -1)\right]f_{\ell }(x)=0\quad {\text{with}}\quad n=(-2W)^{-1/2}={\frac {2}{\ alfa }}.$$

Förutsatt att $n-\ell -1$ är ett icke-negativt heltal, säg k , har denna ekvation polynomlösningar skrivna som

$$L_{k}^{(2\ell +1)}(x),\qquad k=0,1,\ldots ,$$

som är generaliserade Laguerre-polynom av ordningen k . Vi kommer att ta konventionen för generaliserade Laguerre-polynom av Abramowitz och Stegun. Observera att Laguerre-polynomen som ges i många kvantmekaniska läroböcker, till exempel Messias bok, är de från Abramowitz och Stegun multiplicerat med en faktor ( 2ℓ +1+ k )!.

Energin blir

$$W=-{\frac {1}{2n^{2}}}\quad {\text{with}}\quad n\equiv k+\ell +1.$$

Det huvudsakliga kvanttalet n uppfyller ${\displaystyle n\geq \ell +1} ,$ eller $\ell \leq n-1$ . Eftersom $\alpha =2/n$ är den totala radiella vågfunktionen

$$R_{n\ell }(r)={\frac {u(r)}{r}}=N_{n\ell }\left({\frac {2Zr}{na_{0}}}\ höger)^{\ell }\;e^{-{\tfrac {Zr}{na_{0}}}}\;L_{n-\ell -1}^{(2\ell +1)}\vänster ({\frac {2Zr}{na_{0}}}\right),$$

med normaliseringskonstant som absorberar extra termer från ${\textstyle {\frac {1}{r}}}$

$$N_{n\ell }=\left[\left({\frac {2Z}{na_{0}}}\right)^{3}\cdot {\frac {(n- \ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]^{3}}}\right]^{1 \över 2}$$

som hör till energin

$$E=-{\frac {Z^{2}}{2n^{2}}}E_{\textrm {h}},\qquad n=1,2,\ldots .$$

Vid beräkningen av normaliseringen användes konstant integralen

$$\int _{0}^{\infty }x^{2\ell +2}e^{-x}\left[L_{n-\ell -1}^{(2\ell +1) }(x)\höger]^{2}dx={\frac {2n(n+\ell )!}{(n-\ell -1)!}}.$$