Ändlig potential brunn

Den finita potentiella brunnen (även känd som den finita kvadratiska brunnen ) är ett koncept från kvantmekaniken . Det är en förlängning av brunnen med oändlig potential , där en partikel är begränsad till en "låda", men en som har " väggar" med ändlig potential . Till skillnad från den oändliga potentialbrunnen finns det en sannolikhet förknippad med att partikeln hittas utanför boxen. Den kvantmekaniska tolkningen skiljer sig från den klassiska tolkningen, där om partikelns totala energi är mindre än väggarnas potentiella energibarriär, kan den inte hittas utanför boxen. I kvanttolkningen finns det en sannolikhet som inte är noll för att partikeln befinner sig utanför boxen även när partikelns energi är mindre än väggarnas potentiella energibarriär (jfr kvanttunneling ) .

Partikel i en 1-dimensionell låda

För det 1-dimensionella fallet på x -axeln kan den tidsoberoende Schrödinger-ekvationen skrivas som:

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi$$

 

 

 

 

()

var

• $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ är den reducerade Plancks konstant,
• $h$ är Plancks konstant ,
• $m$ är massan av partikeln,
• $\psi$ är den (komplext värderade) vågfunktionen som vi vill hitta,
• $V(x)$ är en funktion som beskriver den potentiella energin vid varje punkt x , och
• $E$ är energin , ett reellt tal, ibland kallat egenenergi.

För fallet med partikeln i en 1-dimensionell låda med längden L är potentialen $V_{0}$ utanför rutan, och noll för x mellan $-L/2$ och $L/2$ . Vågfunktionen anses vara uppbyggd av olika vågfunktioner vid olika intervall av x beroende på om x är inuti eller utanför boxen. Därför definieras vågfunktionen så att:

$$\psi ={\begin{cases}\psi _{1},&{\text{if }}x<-L/2{\text{ (området utanför rutan )}}\\\psi _{2},&{\text{if }}-L/2<x<L/2{\text{ (området inuti rutan)}}\\\psi _{3 },&{\text{if }}x>L/2{\text{ (området utanför rutan)}}\end{cases}}$$

I lådan

För området inuti rutan, V ( x ) = 0 och ekvation 1 reduceras till

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=E\psi _{2 }.$$

Uthyrning

$$k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }},$$

ekvationen blir

$${\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=-k^{2}\psi _{2}.$$

Detta är ett väl studerat differentialekvations- och egenvärdesproblem med en generell lösning av

$$\psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\,.$$

Därav,

$$E={\frac {k^{2}\hbar ^{2}}{2m}}.$$

Här kan A och B vara alla komplexa tal och k kan vara vilket reellt tal som helst.

Utanför boxen

För området utanför boxen, eftersom potentialen är konstant, $V(x)=V_{0}$ och ekvation 1 blir:

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=(E-V_{0})\psi _{1}$$

Det finns två möjliga familjer av lösningar, beroende på om E är mindre än $V_{0}$ (partikeln är bunden i potentialen) eller E är större än $V_{0}$ (partikeln är gratis).

För en fri partikel, $E>V_{0}$ och låt

$$k'={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }}$$

producerar

$${\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=-k'^{2}\ psi _{1}$$

med samma lösningsform som insidan av brunnen:

$$\psi _{1}=C\sin(k'x)+D\cos(k'x)$$

Denna analys kommer att fokusera på det bundna tillståndet, där $E<V_{0}$ . Uthyrning

$$\alpha ={\frac {\sqrt {2m(V_{0}-E)}}{\hbar }}$$

producerar

$${\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=\alpha ^{2}\psi _{ 1}$$

där den allmänna lösningen är exponentiell:

$$\psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}$$

På samma sätt, för den andra regionen utanför boxen:

$$\psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}$$

aktuella problemet måste vi specificera lämpliga randvillkor och hitta värdena för A , B , F , G , H och I som uppfyller dessa villkor.

Hitta vågfunktioner för det bundna tillståndet

Lösningar på Schrödinger-ekvationen måste vara kontinuerliga och kontinuerligt differentierbara. Dessa krav är randvillkor för de differentialekvationer som tidigare härletts, det vill säga matchningsvillkoren mellan lösningarna i och utanför brunnen.

I detta fall är den ändliga potentialbrunnen symmetrisk, så symmetri kan utnyttjas för att minska de nödvändiga beräkningarna.

Sammanfattning av föregående avsnitt:

$$\psi ={\begin{cases}\psi _{1},&{\text{if }}x<-L/2{\text{ (området utanför rutan) }}\\\psi _{2},&{\text{if }}-L/2<x<L/2{\text{ (området inuti rutan)}}\\\psi _{3} &{\text{if }}x>L/2{\text{ (området utanför rutan)}}\end{cases}}$$

där vi fann $\psi _{1}$ , $\psi _{2}$ och $\psi _{3}$ vara:

$${\begin {aligned}\psi _{1}&=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\\\psi _{2}&=A\sin(kx)+B\cos(kx) \\\psi _{3}&=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\end{aligned}}$$

Vi ser att när $x$ går till $-\infty$ , så går termen $F$ till oändlighet. På samma sätt, eftersom $x$ går till $+\infty$ , går termen $I$ till oändlighet. För att vågfunktionen ska vara kvadratisk integrerbar måste vi sätta ${\displaystyle F=I=0} ,$ och vi har:

$$\psi _{1}=Ge^{\alpha x}$$

och

$$\psi _{3}=He^{-\alpha x}$$

Därefter vet vi att den övergripande $\psi$ -funktionen måste vara kontinuerlig och differentierbar. Med andra ord måste värdena för funktionerna och deras derivator matcha vid delningspunkterna:

$\psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)$		$\psi _{2}(L/2)=\psi _{3}(L/2)$
$\left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=-L/2}=\left.{\frac {d\ psi _{2}}{dx}}\right|_{x=-L/2}$		$\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=L/2}=\left.{\frac {d\psi _ {3}}{dx}}\right|_{x=L/2}$

Dessa ekvationer har två sorters lösningar, symmetriska, för vilka $A=0$ och $G=H$ och antisymmetriska, för vilka $B=0$ och $G=-H$ . För det symmetriska fallet får vi

$$He^{-\alpha L/2}=B\cos(kL/2)$$

$$-\alpha He^{-\alpha L/2}=-kB\sin(kL/2)$$

så att ta förhållandet ger

$$\alpha =k\tan(kL/2).$$

På samma sätt för det antisymmetriska fallet vi får

$$\alpha =-k\cot(kL/2).$$

Kom ihåg att både $\alpha$ och $k$ beror på energin. Vad vi har funnit är att kontinuitetsvillkoren inte kan uppfyllas för ett godtyckligt värde på energin; eftersom det är ett resultat av det oändliga potentiella brunnsfallet. Således är endast vissa energivärden, som är lösningar på en eller någon av dessa två ekvationer, tillåtna. Därför finner vi att energinivåerna för systemet under $V_{0}$ är diskreta; motsvarande egenfunktioner är bundna tillstånd . (Däremot är för energinivåerna över $V_{0}$ kontinuerliga.)

Energiekvationerna kan inte lösas analytiskt. Icke desto mindre kommer vi att se att i det symmetriska fallet finns det alltid minst ett bundet tillstånd, även om brunnen är mycket grund. Grafiska eller numeriska lösningar på energiekvationerna underlättas genom att skriva om dem lite. Om vi ​​introducerar de dimensionslösa variablerna $u=\alpha L/2$ och $v=kL/2$ , och notera från definitionerna av $\alpha$ och $k$ att $u^{2}=u_{0}^{2}-v^{2}$ , där ${\displaystyle u_{0}^{2}=mL^{2}V_{0}/2\hbar ^{2}} ,$ masterekvationerna läses

$${\sqrt {u_{0}^{2}-v^{2}}}= {\begin{cases}v\tan v,&{\text{(symmetriskt skiftläge) }}\\-v\cot v,&{\text{(antisymmetriskt skiftläge) }}\end{cases}}$$

I diagrammet till höger, för $u_{0}^{2}=20$ , finns lösningar där den blå halvcirkeln skär de lila eller grå kurvorna ( $v\tan v$ och $-v\cot v$ ). Varje lila eller grå kurva representerar en möjlig lösning, $v_{i}$ inom intervallet ${\textstyle {\frac {\pi }{2} }(i-1)\leq v_{i}<{\frac {\pi }{2}}i}$ . Det totala antalet lösningar, $N$ , (dvs antalet lila/grå kurvor som skärs av den blå cirkeln) bestäms därför genom att dividera radien för den blå cirkeln, u {\ $u_{0 }}$ , av intervallet för varje lösning $\pi /2$ och med golv- eller takfunktionerna:

$$N=\left\lfloor {\frac {2u_{0}}{\pi }}\right\rfloor +1=\left\lceil { \frac {2u_{0}}{\pi }}\right\rceil$$

I det här fallet finns det exakt tre lösningar, eftersom $N=\lfloor 2{\sqrt {20}}/\pi \rgolv +1=\lgolv 2,85\rgolv +1=2+1=3$ .

$v_{1}=1,28,v_{2}=2,54$ och $v_{3}=3,73$ , med motsvarande energier

$$E_{n}={2\hbar ^{2}v_{n}^{2} \over mL^{2}}.$$

Om vi ​​vill kan vi gå tillbaka och hitta värdena för konstanterna $A,B,G,H$ i ekvationerna nu (vi måste också införa normaliseringsvillkoret). Till höger visar vi energinivåerna och vågfunktionerna i detta fall (där ${\textstyle x_{0}\equiv \hbar /{\sqrt {2mV_{0}}}} )$ :

Vi noterar att hur litet $u_{0}$ än är (hur grunt eller smalt brunnen än är), så finns det alltid minst ett bundet tillstånd.

Två specialfall är värda att notera. När potentialens höjd blir stor, $V_{0}\to \infty$ , blir halvcirkelns radie större och rötterna kommer närmare och närmare värdena ${ \displaystyle v_{n}=n\pi /2}$ , och vi återställer fallet med den oändliga kvadraten väl .

Det andra fallet är det för en mycket smal, djup brunn - specifikt fallet $V_{0}\to \infty$ och $L\to 0$ med $V_{ 0}L$ fast. Eftersom $u_{0}\propto V_{0}L^{2}$ kommer den att tendera mot noll, så det kommer bara att finnas ett bundet tillstånd. Den ungefärliga lösningen är då ${\displaystyle v^{2}=u_{0}^{2}-u_{0}^{4}} ,$ och energin tenderar att $E=-mL^{2}V_{0}^{2}/2\hbar ^{2}$ . Men detta är bara energin för det bundna tillståndet för en deltafunktionspotential med styrka ${\displaystyle V_{0}L} ,$ som den borde vara.

En enklare grafisk lösning för energinivåerna kan erhållas genom att normalisera potentialen och energin genom multiplikation med ${8m}{L^{2}}/h^{2}$ . De normaliserade kvantiteterna är

$${\tilde {V}}_{0}=V_{0}{\frac {8m}{h^{2 }}}L^{2}\qquad {\tilde {E}}=E{\frac {8m}{h^{2}}}L^{2}$$

ger direkt relationen mellan de tillåtna paren $(V_{0},E)$ som

$${\sqrt {{\tilde {V}}_{0}}}={\sqrt {\tilde {E}}}\,\left|{\sec({\sqrt {\tilde {E} }}\,{\pi }/{2})}\right|,\qquad {\sqrt {{\tilde {V}}_{0}}}={\sqrt {\tilde {E}}}\ ,\left|{\csc({\sqrt {\tilde {E}}}\,{\pi }/{2})}\right|$$

för jämna och udda paritetsvågfunktioner, respektive. I de föregående ekvationerna måste endast de positiva derivata delarna av funktionerna beaktas. Diagrammet som direkt ger de tillåtna paren $(V_{0},E)$ rapporteras i figuren.

Obundna stater

Om vi ​​löser den tidsoberoende Schrödinger-ekvationen för en energi $E>V_{0}$ kommer lösningarna att vara oscillerande både inuti och utanför brunnen. Således är lösningen aldrig kvadratisk integrerbar; det vill säga det är alltid ett icke-normaliserbart tillstånd. Detta betyder dock inte att det är omöjligt för en kvantpartikel att ha energi större än $V_{0}$ , det betyder bara att systemet har ett kontinuerligt spektrum över $V_{0}$ . De icke-normaliserbara egentillstånden är tillräckligt nära att vara kvadratintegrerbara för att de fortfarande bidrar till Hamiltonianens spektrum som en obegränsad operator.

Asymmetrisk brunn

Betrakta en endimensionell asymmetrisk potential väl given av potentialen

$$V(x)={\begin{cases}V_{1},&{\text{if }}-\infty <x<0{\text{ (regionen utanför rutan)}}\\0 ,&{\text{if }}0<x<a{\text{ (området inuti rutan)}}\\V_{2}&{\text{if }}a<x<\infty {\text { (regionen utanför rutan)}}\end{cases}}$$

med $V_{2}>V_{1}$ . Motsvarande lösning för vågfunktionen med $E<V_{1}$ visar sig vara

$$\psi (x)={\ börja{fall}c_{1}e^{k_{1}x},&{\text{för }}x<0,{\text{där }}k_{1}={\sqrt {(2m/\ hbar ^{2})(V_{1}-E)}}\\c\sin(kx+\delta ),&{\text{för }}0<x<a,{\text{där }}k= {\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\\c_{2}e^{-k_{2}x},&{\text{för }}x>a,{\text{där }} k_{2}={\sqrt {(2m/\hbar ^{2})(V_{2}-E)}}\end{cases}}$$

och

$$\sin \delta ={\frac {k\hbar }{\sqrt {2mV_{1}}}}.$$

Energinivåerna $E=k^{2}\hbar ^{2}/(2m)$ bestäms när $k$ har lösts som en rot av följande transcendentala ekvation

$$ka=n\pi -\sin ^{-1}\left( {\frac {k\hbar }{\sqrt {2mV_{1}}}}\right)-\sin ^{-1}\left({\frac {k\hbar }{\sqrt {2mV_{2}} }}\höger)$$

där $n=1,2,3,\dots$ Existens av rot till ovanstående ekvation är inte alltid garanterad, till exempel kan man alltid hitta ett värde på $a$ så liten att för givna värden på $V_{1}$ och $V_{2}$ finns det ingen diskret energinivå. Resultaten av symmetriska brunnar erhålls från ovanstående ekvation genom att sätta $V_{1}=V_{2}=V_{o}$ .

Sfärisk hålighet

Resultaten ovan kan användas för att visa att det, när det gäller det endimensionella fallet, finns två bundna tillstånd i en sfärisk kavitet, eftersom sfäriska koordinater motsvarar radien i vilken riktning som helst.

Grundtillståndet (n = 1) för en sfäriskt symmetrisk potential kommer alltid att ha noll omloppsrörelsemängd (ℓ = n−1), och den reducerade vågfunktionen

${\displaystyle U(r)\equiv r\psi (r)}$

uppfyller ekvationen

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\ frac {d^{2}U}{dr^{2}}}+V(r)U(r)=EU(r)}$

där $\psi (r)$ är den radiella delen av vågfunktionen. Lägg märke till att för (n = 1) är vinkeldelen konstant (ℓ = 0).

Detta är identiskt med den endimensionella ekvationen, med undantag för randvillkoren. Som förut,

${\displaystyle U(r) ={\begin{cases}c_{1}\sin({k_{1}r}),&{\text{för }}r<a,{\text{där }}k_{1}={\sqrt {2m/\hbar ^{2}(V_{1}-E)}}\\c\sin(kr+\delta ),&{\text{för }}a<r<b,{\text{där } }k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\\c_{2}e^{-k_{2}r},&{\text{för }}r>b,{\text{ där }}k_{2}={\sqrt {2m/\hbar ^{2}(V_{2}-E)}}\end{cases}}}$

Energinivåerna för $a<r<b$

${\displaystyle E=k^{2}\hbar ^{2}/(2m)}$

bestäms en gång

${\displaystyle k}$

löses som en rot av följande transcendentala ekvation

${\displaystyle k(ba)=n\pi }$

var

${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$

Existensen av rot till ovanstående ekvation är alltid garanterad.

Resultaten är alltid med sfärisk symmetri.

Den uppfyller villkoret där vågen inte hittar någon potential inuti sfären: ${\displaystyle U(a)=U(0)=0}$

Se även

• Potentiell brunn
• Deltafunktionspotential
• Oändlig potential brunn
• Halvcirkelpotentialbrunn
• Kvanttunneling
• Rektangulär potentialbarriär

Vidare läsning

•   Griffiths, David J. (2005). Introduktion till kvantmekanik (2:a upplagan). Prentice-Hall . ISBN 0-13-111892-7 .
• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians , Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer .